第三章 函數,課時21 二次函數的綜合應用,知識要點 歸納,1二次函數解析式的確定，用待定系數法求二次函數解析式的一般方法： 已知圖象上三點或三對對應值，通常選擇一般式_； 已知圖象的頂點坐標、對稱軸、最值或最高(低)點等，通常選擇頂點式：_，還需另一個條件求a； 已知圖象與x軸的兩個交點的橫坐標為x1、x2，通常選擇交點式_（不能作結果，要化成一般式或頂點式)，還需另一個條件求a.,yax2bxc,ya(xh)2k,ya(xx1)(xx2),2二次函數yax2bxc(a0)的圖象與字母系數a、b、c的關系,小,上,下,（0，c）,正半軸上,負半軸上,原點,左,右,兩個,一個,無,3.二次函數與幾何圖形的聯系 應用幾何圖形的性質解題,4易錯知識點辨析 (1)求二次函數的解析式要注意選好不同的形式 (2)利用幾何圖形的哪些性質解題,課堂內容 檢測,1(2016聊城)二次函數yax2bxc(a，b，c為常數且a0)的圖象如圖所示，則一次函數yaxb與反比例函數y 的圖象可能是( ),A,2(2015黔東南)若二次函數yax2bxc的圖象如圖所示，則下列結論正確的是( ) Aa0，b0，c0，b24ac0 Ba0，b0，c0，b24ac0 Ca0，b0，c0，b24ac0 Da0，b0，c0，b24ac0 3若拋物線y2x28xm與x軸只有一個公共點，則m_ 4二次函數yx22x3的圖象如圖所示當y0時，自變量x的取值范圍是_,D,8,1x3,考點 專項突破,考點一 二次函數的圖象與a、b、c的關系,例1 (2015咸寧)如圖是二次函數yax2bxc的圖象，下列結論： 二次三項式ax2bxc的最大值為4； 4a2bc0； 一元二次方程ax2bxc1的兩根之和為1； 使y3成立的x的取值范圍是x0. 其中正確的個數有( ) A1 B2 C3 D4,B,分析 根據拋物線的頂點坐標確定二次三項式ax2bxc的最大值； 根據x2時，y0確定4a2bc的符號； 根據拋物線的對稱性確定一元二次方程ax2bxc1的兩根之和； 根據函數圖象確定使y3成立的x的取值范圍 答案 B,觸類旁通1,(2016廣安)已知二次函數yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，并且關于x的一元二次方程ax2bxcm0有兩個不相等的實數根，下列結論： b24ac0；abc0；abc0；m2， 其中，正確結論的個數有( ) A1 B2 C3 D4,B,考點二 待定系數法求解析式,例2 如圖，四邊形ABCD是菱形，點D的坐標是(0， )，以點C為頂點的拋物線yax2bxc恰好經過x軸上A，B兩點 (1)求A，B，C三點的坐標； (2)求經過A，B，C三點的拋物線的解析式,分析 根據菱形的性質及拋物線的對稱性知RtOADRtEBC，即AEEBOA，再由勾股定理即可求出m的值，由此可確定A，B，C的坐標用待定系數法即可求出拋物線解析式,考點三 二次函數與幾何圖形的聯系,例3 (2015蘇州)已知拋物線yax2bxc經過A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點，直線l是拋物線的對稱軸，如圖所示 (1)求拋物線的函數關系式； (2)設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時， 求點P的坐標； (3)在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形？ 若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標； 若不存在，請說明理由,分析 (1)觀察點的坐標特征，選擇一般式、交點式還是頂點式方便求解 (2)如何根據對稱性確定點P的位置 (3)由于MAC的腰和底沒有明確，因此要分幾種情況來討論,觸類旁通2,如圖，已知拋物線C1：ya(x2)25的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，點A的橫坐標是1. (1)求點P坐標及a的值； (2)如圖1，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向左平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點A成中心對稱時，求C3的解析式ya(xh)2k；,(3)如圖2，點Q是x軸負半軸上一動點，將拋物線C1繞點Q旋轉180后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊)，當以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時，求頂點N的坐標,考點四 二次函數中的新定義型問題,例4 (2017安徽模擬)若兩個二次函數圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同簇二次函數” (1)請寫出兩個為“同簇二次函數”的函數； (2)已知關于x的二次函數y12x24mx2m21和y2ax2bx5，其中y1的圖象經過點A(1，1)，若y1y2與y1為“同簇二次函數”，求函數y2的表達式，并求出當0x3時，y2的最大值,分析 (1)只需任選一個點作為頂點，同號兩數作為二次項的系數，用頂點式表示兩個“同簇二次函數”的函數表達式即可 (2)由y1的圖象經過點A(1，1)可以求出m的值，然后根據y1y2與y1為“同簇二次函數”就可以求出函數y2的表達式，然后將函數y2的表達式轉化為頂點式，再利用二次函數的性質就可以解決問題,解答 (1)設頂點為(h，k)的二次函數的關系式為ya(xh)2k， 當a2，h3，k4時， 二次函數的關系式為y2(x3)24. 20， 該二次函數圖象的開口向上 當a3，h3，k4時， 二次函數的關系式為y3(x3)24. 30， 該二次函數圖象的開口向上 兩個函數y2(x3)24與y3(x3)24頂點相同，開口都向上， 兩個函數y2(x3)24與y3(x3)24是“同簇二次函數”,(2)y1的圖象經過點A(1，1)， 2124m12m211. 整理得m22m10. 解得m1m21. y12x24x3 2(x1)21. y1y22x24x3ax2bx5 (a2)x2(b4)x8， y1y2與y1為“同簇二次函數”， y1y2(a2)(x1)21 (a2)x22(a2)x(a2)1. 其中a20，即a2.,函數y2的表達式為y25x210x5. y25x210x55(x1)2. 函數y2的圖象的對稱軸為直線x1. 50， 函數y2的圖象開口向上,當0x1