n重點難點 n重點：掌握合情推理和演繹推理 n能熟練地運用綜合法和分析法證題 n理解反證法，掌握反證法證題步驟 n難點：用綜合法、分析法、反證法證題的思 路 n知識歸納 n1推理的概念 n根據一個或幾個已知判斷(事實或假設)得出 一個新的判斷的思維過 程叫推理，推理一般 由兩部分組成：前提和結論 n推理一般分為合情推理和演繹推理兩類 n2合情推理 n前提為真時，結論 可能為真的推理叫合情 推理，數學中常見的合情推理是歸納 推理 和類比推理 n歸納 推理和類比推理都是根據已有的事實 ，經過觀 察、分析、比較、聯想，再進行 歸納 、類比，然后提出猜想的推理 n(1)歸納 推理 n根據一類事物的部分對象具有某種性質， 推出該類 事物的所有對象都具有這種性質 的推理，叫做歸納 推理，歸納 推理是由部 分到整體，由特殊到一般的推理 n歸納 推理的一般步驟： n通過觀 察個別情況發現 某些相同性質 n從已知的相同性質中推出一個明確表述的 一般性命題(猜想) n(2)類比推理 n根據兩類不同事物之間具有的某些類似(或 一致)性推測其中一類事物具有與另一類事 物類似(或相同)的性質，這樣 的推理叫類比 推理 n類比推理是由特殊到特殊的一種推理形式， 類比的結論 可能是真的所以類比推理屬 于合情推理 n類比推理的一般步驟： n找出兩類事物之間的相似性或一致性 n用一類事物的性質去推測另一類事物的 性質，得出一個明確的命題(猜想) n3演繹推理 n根據一般性的真命題(或邏輯規則 )推導出 特殊性命題為 真的推理形式稱作演繹推理 n它的特征是：當前提為真時，結論 必然為 真 n(1)假言推理 n假言推理的規則 是：“若pq，p真，則q真” n它的本質是，通過驗證結論 的充分條件為 真，從而判斷結論為 真 n(2)三段論推理 n“若bc，ab，則ac”，這種推理規則 叫三段論推理它包括： n(1)大前提已知的一般性原理M是P n(2)小前提所研究的特殊情況S是M n(3)結論 根據一般原理，對特殊情況做 出的判斷S是P，三段論推理是演繹推理 的一般模式 n(3)關系推理 n推理規則 是：“如果aRb，bRc，則aRc”(其 中R表示具有傳遞 性的關系)，這種推理叫 關系推理，如：由ab，bc，推出ac， 若ab，bc，則ac，都是關系推理 n(4)完全歸納 推理 n把所有情況都考慮在內的演繹推理規則 叫 做完全歸納 推理 n4直接證明 n直接證明是從命題的條件或結論 出發，根 據已知的定義、公理、定理、法則等，直接 推證結論 的真實性 n(1)綜合法 n從已知條件出發，經過 逐步推理，最后達 到待證結論 是一種由因導果的方法 n(2)分析法 n從待證結論 出發，一步一步尋求結論 成立 的充分條件，最后達到題設 的已知條件或已 被證明的事實，是一種執果索因的方法 n分析法的特點是：從“未知”看需知，逐步靠 攏“已知”，其每步推理都是尋求使每一步結 論成立的充分條件，直到最后把要證明的 結論歸納為 判定一個明顯成立的條件為止 n綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步 推向“未知”，其每步推理都是尋找使每一步 結論 成立的必要條件 n5反證法 n一般地，由證明pq，轉向證明 qrt，而t與已知矛盾或與某個真命 題矛盾，從而判定q為假，推出q為真的證 明方法叫做反證法 n數學中的命題，都有題設 條件和結論 兩部 分，反證法是從否定這個命題的結論 出發 ，通過正確、嚴密的邏輯 推理，由此引出 一個新的結論 ，而這個新結論 與已知矛盾 ，得出結論 的反面不正確，從而肯定原結 論是正確的一種間接證明方法 n這里所謂的“與已知矛盾”主要是指： n(1)與假設自相矛盾 n(2)與數學公理、定理、公式、法則、定義 或已被證明了的結論 矛盾 n(3)與公認的簡單 事實矛盾 n反證法主要適用于以下情形： n結論 本身是以否定形式出現的一類命題 ； n關于唯一性、存在性的命題； n結論 以“至多”、“至少”等形式出現的命題 ； n結論 的反面比原結論 更具體、更容易研 究的命題； n要證的結論 與條件之間的聯系不明顯， 直接由條件推出結論 的線索不夠清晰的命 題 n如果從正面證明，需要分成多種情形進行 分類討論 ，而從反面進行證明，只要研究 一種或很少的幾種情形 n誤區警示 n在進行類比推理時要盡量從本質上去類比 ，不要被表面現象迷惑，否則只抓住一點表 面的相似甚至假象就去類比，就會犯機械類 比的錯誤 n注意區分演繹推理和合情推理，當前提為 真時，前者結論一定為真，后者結論可能為 真！ n解題技巧 n1分析法的思維是逆向思維，因此在證題 時，應正確使用“要證”、“只需證”這樣的連 接詞 n2綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡 單，條理清楚，所以實際證題時，可將分析 法、綜合法結合起來使用，即：分析找思路 ，綜合寫過程 n3用反證法證題時，首先要搞清反證法證 題的方法，其次注意反證法是在條件較少， 不易入手時常用的方法 n反證法還常常用在要證的結論 中含有許多 種情形，而結論 的反面則有較少或僅一種 情形的命題的證明中，要注意否定原命題 時，要準確無誤 n應用反證法證明數學命題的一般步驟： n(1)分清命題的條件與結論 n(2)做出與命題結論 相矛盾的假設； n(3)由假設出發，應用演繹推理方法、推出 矛盾的結果 n(4)斷定產生矛盾結果的原因在于開始所做 假設不真，從而肯定原命題為 真 n例1 平面內有n條直線，其中任何兩條都 不平行，任何三條不過同一點，試歸納 它 們的交點個數 n解析：n2時，交點個數：f(2)1. nn3時，交點個數：f(3)3. nn4時，交點個數：f(4)6. nn5時，交點個數：f(5)10. n平面內一條直線可將平面分成兩部分，兩條 直線最多可將平面分成4部分，三條直線最 多可將平面分成幾部分？4條呢？猜想n條直 線最多可將平面分成幾部分？ n解析：3條直線最多可將平面分成7部分，4 條直線最多可將平面分成11部分如圖 n點評：歸納出的一般性結論，要能使已知的 結論為其特殊情形. n例3 (文)在平面幾何里，有勾股定理：“設 ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2 AC2BC2.”拓展到空間，類比平面幾何定 理，研究三棱錐的側面面積與底面面積的 關系，可以得出的正確結論 是：“設三棱錐 ABCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩 相互垂直，則_” n答案：SABC2SACD2SADB2SBCD2 n(理)如圖(1)，過四面體VABC的底面內任 一點O分別作OA1VA，OB1VB， OC1VC，A1，B1，C1分別是所作直線與 側面交點 n證明：如圖(2)，設平面OA1VABCM， 平面OB1VBACN，平面OC1VCABL ，則有MOA1MAV， NOB1NBV，LOC1LCN.得 n點評：(1)用現代的眼光看，類比就是兩個 同構關系的模型間的推理，模型間的同構關 系，即它們結構或功能上存在的某種對應性 (相似性)，它是進行類比推理的依據 n(2)本例中的三角形與四面體就是平面與空 間中的兩個常見具有同構關系的模型，因而 四面體中的很多性質及證明方法都可以通過 三角形中的性質及證明方法類比得到 n(3)數學中其他一些常見的具有同構關系的 模型有：等式與不等式、分數與分式、橢圓 與雙曲線、等差數列與等比數列、長方形與 長方體、圓與球等 n點評：本例從結構上類比，從等差數列“和 式的差”類比到等比數列“積式的商” n分析：本題主要考查用分析法證明不等式及 分析問題、解決問題的能力可先令x、y為 具體的值，確定出常數C，再給出一般證明 n總結評述：當要證的不等式較復雜，兩端差 異難以消除或者已知條件信息量太少，已知 與待證間的聯系不明顯時，一般可采用分析 法，分析法是步步尋求不等式成立的充分條 件，而實際操作時往往是先從要證的不等式 出發，尋找使不等式成立的必要條件，再考 慮這個必要條件是否充分，這種“逆求”過程 ，能培養學生的發散思維能力，也是分析問 題、解決問題時常用的思考方法. n例6 設有長度分別為 a1、a2、a3、a4和a5 的5條線段，今知其中任何3條都可以構成一 個三角形，證明：其中必有銳角三角形 n證明：為了便于敘述，不妨設 a1a2a3a4a5，并設由它們中的任何3條 組成的都不是銳角三角形，則由余弦定理可 得： na32a12a22，a42a22a32，a52a32a42 ， n有a52a32a42(a12a22)(a22a32) na122a22a32a122a22a12a22 2a123a22. na522a123a222(a12a22)a22 n(a12a22)(a12a22)a22 na122a1a2a22(a1a2)2. na5a1a2.a1，a2，a5能構成三角形的 三邊， n有a5SBOCSCODSBODSBCD； n2(2010福建文)觀察下列等式： ncos22cos21； ncos48cos48cos21； ncos632cos648cos418cos21 ； ncos8128cos8256cos6160cos4 32cos21； ncos10mcos101280cos8 1120cos6ncos4pcos21. n可以推測，mnp_. n答案 962 n解析 由題易知：m29512，p510 50 nm12801120np11， nmnp162. nn400，mnp962. n3某資料室在計算機使用中，編碼 以一定 規律排列，且從左至右以及從上到下都是無 限的，如表所示， 111111 123456 1357911 147101316 159131721 1611162126 n則此表中主對角線上的數構成的數列 1,2,5,10,17，的通項公式為_ n答案 ann22n2，nN* n解析 由編碼可得，第m行是首項為1，公 差為m1的等差數列，則第m行的第n個數 為1(n1)(m1)，令mn，則有an1 (n1)(n1)n22n2，nN*. n4先解答(1)，再根據結構類比解答(2)： n(1)已知a，b為實 數，且|a|ab. n(2)已知a，b，c均為實 數，且|a|abc. n解析 (1)ab1(ab)(a1)(b1)0. n(2)|a|abc， nabc2(ab)c11(abc)1 (ab1)cabc. n你能再用歸納推理方法猜想出更一般地結論 嗎？ n即xiR，|xi|0)(nN*) n(1)求證數列an是等比數列，并求an； n(2)已知集合Ax|x2a(a1)x，問是否 存在實數a，使得對于任意的nN*，都有 SnA？若存在，求出a的取值范圍；若不 存在，說明理由 n解析 (1)當n1時，(a1)S1a(a11) ， na1a(a0)