,小結與復習,第三章 圓,要點梳理,考點講練,課堂小結,課后作業,一、圓的基本概念及性質,1.圓的定義:到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓.,2.有關概念:,(1)弦、直徑(圓中最長的弦),(2)弧、優弧、劣弧、等弧,(3)弦心距,要點梳理,二、點與圓的位置關系,A,B,C,O,d,r,dr,d=r,dr,三、圓的對稱性,1.圓是軸對稱圖形,經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸.圓有無數條對稱軸.,2.圓是中心對稱圖形,并且繞圓心旋轉任何一個角度都能與自身重合,即圓具有旋轉不變性.,3.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等,4.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等,AM=BM,重視：模型“垂徑定理直角三角形”,若 CD是直徑, CDAB,垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.,四、垂徑定理及推論,垂徑定理的逆定理,CDAB,平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對的兩條弧.,定義:頂點在圓周上，兩邊和圓相交的角，叫做圓周角.,圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角的一半.,BAC= BOC,五、圓周角和圓心角的關系,推論：同弧或等弧所對的圓周角相等.,ADB與AEB 、ACB 是同弧所對的圓周角,ADB=AEB =ACB,推論：直徑所對的圓周角是直角；,90的圓周角所對的弦是圓的直徑.,AB是O的直徑, ACB=90,推論：圓的內接四邊形的對角互補.,六、直線和圓的位置關系,l,d,r,dr,0,d=r,切線,dr,割線,2,dr,d=r,1,七、切線的判定與性質,1.切線的判定一般有三種方法：a.定義法：和圓有唯一的一個公共點b.距離法： d=rc.判定定理：過半徑的外端且垂直于半徑,切線長定理： 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.,切線長： 從圓外一點引圓的切線，這個點與切點間的線段的長稱為切線長.,2.切線長及切線長定理,八、三角形的內切圓及內心,1.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.,2.三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心.,3.這個三角形叫做圓的外切三角形.,4.三角形的內心就是三角形的三個內角角平分線的交點.,三角形的內心到三角形的三邊的距離相等.,重要結論,只適合于直角三角形,九、圓內接正多邊形,O,C,D,A,B,M,半徑R,圓心角,弦心距r,弦a,圓心,中心角,A,B,C,D,E,F,O,半徑R,邊心距r,中心,類比學習,圓內接正多邊形,外接圓的圓心,正多邊形的中心,外接圓的半徑,正多邊形的半徑,每一條邊所對的圓心角,正多邊形的中心角,邊心距,正多邊形的邊心距,正多邊形的內角和=中心角=,圓內接正多邊形的有關概念及性質,（1）弧長公式：（2）扇形面積公式：,十、弧長及扇形的面積,例1 在圖中，BC是O的直徑，ADBC,若D=36,則BAD的度數是（ ）A. 72 B.54 C. 45 D.36 ,解析 根據圓周角定理的推論可知， B= D=36, BAC=90，所以BAD=54 ，故選B.,B,O,考點講練,135,50,例2 工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm,測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm,如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為 mm.,解析 設圓心為O，連接AO,作出過點O的弓形高CD，垂足為D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理進行計算，AD=4mm，所以AB=8mm.,方法歸納 在涉及到求半徑r、弦長a、弦心距d、弓形高h的問題時，通常構造直角三角形來解決.h=r-d, .,8,C,D,O,例3 如圖， O的直徑AE=4cm, B=30 ,則AC= .,2cm,解析 連接CE，則E= B=30 , ACE=90所以AC= AE=2cm.,方法歸納 有直徑，通常構造直徑所對的圓周角，將問題轉化到直角三角形中解決.,4.（多解題）如圖，AB是O的直徑，弦BC=2,F是弦BC的中點， ABC=60 .若動點E以2cm/s的速度從A點出發沿著AB A的方向運動，設運動時間為t（s) (0t3)連接EF，當t= s時， BEF是直角三角形.,F,思路點撥 根據圓周角定理得到直角三角形ABC，再根據含30交點直角三角形的性質得到AB=6cm，則當0t3時，即點E從點A到點B再到點O，此時和點O不重合，若BEF是直角三角形，則BFE=90或BFE=90.,例4 如圖所示，已知NON=30，P是ON上的一點，OP=5，若以P點為圓心，r為半徑畫圓，使射線OM與P只有一個公共點，求r的值或取值范圍.,解：當射線OM與P相切時，射線OM與P只有一個公共點.過點P作PAOM于A，如圖1所示.在RtAOP中，r=PA=OPsinPOA=2.5（）.,當射線OM與P相交且點O在P內時，射線OM與P只有一個公共點.如圖2所示. 射線OM與P相交，則r2.5 又點O在P內，則rOP，即r5 綜合、可得r5. 綜上所述，當射線OM與P只有一個公共點時，r=2.5或r5.,圖1 圖2,本題之類的題目中，常因混淆了“直線與圓只有一個交點”和“線段與圓只有一個交點”或“射線與圓只有一個交點”的區別.實際上，當直線與圓只有一個交點時，直線與圓一定相切，而線段與圓只有一個交點或射線與圓只有一個交點時，它們與圓的位置關系可能相切，也可能是相交.,5.如圖，直線l：y=x+1與坐標軸交于A，B兩點，點M（m，0）是x軸上一動點，以點M為圓心，2個單位長度為半徑作M，當M與直線l相切時，則m的值為_,例5 如圖，以ABC的邊AB為直徑的O交邊AC于點D， 且過點D的切線DE平分邊BC. 問：BC與O是否相切？,解：BC與O相切理由：連接OD，BD，DE切O于D，AB為直徑，EDOADB90.又DE平分CB，DE2(1)BCBE.EDBEBD.又ODBOBD，ODBEDB90，OBDDBE90，即ABC90.BC與O相切,6. 已知：如圖，PA，PB是O的切線，A、B為切點，過 上的一點C作O的切線，交PA于D，交PB于E.(1)若P70，求DOE的度數；(2)若PA4 cm，求PDE的周長,針對訓練,解：(1)連接OA、OB、OC， O分別切PA、PB、DE于點A、B、C， OAPA，OBPB，OCDE，ADCD， BECE， OD平分AOC，OE平分BOC. DOE2(1)AOB. PAOB180，P70， DOE55.,(2)O分別切PA、PB、DE于A、B、C， ADCD，BECE. PDE的周長PDPEDE PDADBEPE2PA8(cm),例6 如圖所示，在正方形ABCD內有一條折線段，其中AEEF，EFFC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求圖中陰影部分的面積.,【解析】觀察圖形看出，因為四邊形ABCD是正方形，所以AC是圓的直徑.由于AE，CF都與EF垂直，所以AE與CF平行，所以可以把CF平移到直線AE上，如果點E，F重合時，點C到達點CC的位置，則構造出一個直角三角形ACC，在這個直角三角形中利用勾股定理，即可求得正方形ABCD的外接圓的半徑，進而求得陰影部分的面積.,解：將線段FC平移到直線AE上，此時點F與點E重合， 點C到達點C的位置.連接AC，如圖所示.,根據平移的方法可知，四邊形EFCC是矩形., AC=AE+EC=AE+FC=16，CC=EF=8.,在RtACC中，得,正方形ABCD外接圓的半徑為,正方形ABCD的邊長為,當圖中出現圓的直徑時，一般方法是作出直徑所對的圓周角，從而利用“直徑所對的圓周角等于 ”構造出直角三角形，為進一步利用勾股定理或銳角三角函數提供了條件.,7. 如圖，正六邊形ABCDEF內接于半徑為5的O，四邊形EFGH是正方形求正方形EFGH的面積；連接OF、OG，求OGF的度數,解：正六邊形的邊長與其半徑相等，EF=OF=5. 四邊形EFGH是正方形，FG=EF=5，正方形EFGH 的面積是25.正六邊形的邊長與其半徑相等，OFE=600.正方形的內角是900，OFG=OFE +EFG= 600+900=1500.由得OF=FG，OGF= （1800-OFG） = （1800-1500）=150.,例7 （1）一條弧所對的圓心角為135 ，弧長等于半徑為5cm的圓的周長的3倍，則這條弧的半徑為 .（2）一個底面直徑為10cm,母線長為15cm的圓錐，它的側面展開圖圓心角是 度.,40cm,120,解析 (1)要熟記弧長公式及其變形式公式.即 及 ;還要熟記圓錐及其側面展開圖的存在的對應的數量關系，即底面圓的周長等于展開后扇形的弧長，母線長等展開后扇形的半徑.,8.如下圖是一紙杯，它的母線AC和EF延長后形成的立體圖形是圓錐，該圓錐的側面展開圖形是扇形OAB，經測量，紙杯上開口圓的直徑為6cm,下底面直徑為4cm,母線長EF=8cm,求：（1）扇形OAB的圓心角；（2）這個紙杯的表面積.（面積計算結果保留用）.,解：（1）由題意知：AB=6， CD=4 ,設AOB=n ,AO=Rcm,則CO=（R-8）cm，由弧長變形公式得：,（,（,即,解得R=24.,針對訓練,解：（2）由（1）知OA=24cm,則CO=24-8=16cm, S扇形OCD= cm2 .S扇形OAB=S紙杯側=S扇形OAB-S扇形OCD=72 -32 =40 ，S紙杯底=4 ，S紙杯表=40 +4 =44 （cm2).,例8 如圖，在平面直角坐標系中，P經過x軸上一點C，與y軸分別相交于A，B兩點，連接AP并延長分別交P，x軸于點D，E，連接DC并延長交y軸于點F，若點F的坐標為（0，1），點D的坐標為（6，1）.（1）求證：CD=CF；（2）判斷P與x軸的位置關系，并說明理由；（3）求直線AD的函數表達式.,解：（1）證明：過點D作DHx軸于H，則CHD=COF=90，如圖所示.點F（0，1），點D（6，-1），DH=OF=1.FCO=DCH，FOCDHC，CD=CF.（2）P與x軸相切.理由如下：連接CP，如圖所示.AP=PD，CD=CF，CPAF.PCE=AOC=90.P與x軸相切.,（3）由（2）可知CP是ADF的中位線.AF=2CP. AD=2CP，AD=AF.連接BD，如圖所示.AD為P的直徑，ABD=90.,BD=OH=6，OB=DH=OF=1.設AD=x，則AB=AFBF=ADBF=AD(OB+OF）= x2.在RtABD中，由勾股定理，得AD2=AB2+BD2，即x2=（x2）2+62，解得 x=10.OA=AB+OB=8+1=9. 點A（0，9）.設直線AD的函數表達式為y=kx+b，把點A（0，9），D（