1、積 分 的 應(yīng) 用,不定積分的應(yīng)用,定積分的應(yīng)用,第四章,微分方程,學(xué)習(xí)重點(diǎn),微分方程的概念,一階微分方程的求解,微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。如：,等,特點(diǎn)： 和 可以不出現(xiàn)，但 的導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。,微分方程的階：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。,上面三個(gè)微分方程的階數(shù)分別是二階、一階、三階。,微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)。,特解：滿足微分方程且不含任意常數(shù)的函數(shù)。,通解：滿足 階微分方程且含 個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)的函數(shù)。,微分方程的概念,課堂練習(xí)P175 1及2題,例：對(duì)微分方程：,即：,是它的解，且是通解。,若給定條件：,則可得特解：,也是一特解，但不含于通解中，特別

2、地稱(chēng)為奇解。,稱(chēng)為初始條件。,微分方程的概念,又如：對(duì)于微分方程,容易驗(yàn)證,都是微分方程的解。,通解或特解？,特解,特解,通解,既非特解也非通解,既非特解也非通解,即,例1. 驗(yàn)證下列所給函數(shù)是所給微分方程的解：,解,解,因?yàn)?所以,一. 可分離變量的微分方程,求解方法：兩邊同時(shí)積分,一階微分方程,求解方法：兩邊積分,一. 可分離變量的微分方程,一階微分方程,兩邊積分，得,因此，形如 的微分方程的求解方法是：,兩邊直接積分，得解為,解 原方程可變形為（分離變量）,例2. 求下列微分方程的通解或特解：,兩邊積分，得,所以，原方程的通解為,（隱函數(shù)形式）,解 原方程可變形為,例2. 求下列微分方程

3、的通解或特解：,即,兩邊積分，得,所以，原方程的通解為,解 原方程可變形為,例2. 求下列微分方程的通解或特解：,兩邊積分得,即,得,所以，原方程的通解為,解,將初始條件代入，得特解：,例2. 求下列微分方程的通解或特解：,原方程可變形為,兩邊積分,（課堂練習(xí)）,且線段 PQ 被 Y 軸平分，曲線過(guò)點(diǎn) 求該曲線方程。,解：由題設(shè)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得微分方程：,由曲線過(guò)點(diǎn),（這是一個(gè)多值函數(shù)）,曲線方程為,可將其改寫(xiě)成,對(duì)一階線性齊次微分方程,這是一個(gè)可分離變量的微分方程。,這是（2）的通解。,二. 一階線性微分方程,一階微分方程,（2）的通解是：,猜想（1）的解是：,則,即,這種方法稱(chēng)作 常數(shù)

4、變易法。,故（1）的通解是：,（2）的通解是：,（1）的通解是：,非齊次線性微分方程的通解 = 非齊次的特解 + 對(duì)應(yīng)齊次的通解 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，稱(chēng)為疊加原理。,解 這是一個(gè)一階線性微分方程，方程的通解為,例4 求解下列微分方程,通解公式,（1）,解 原方程的通解為,例4 （2）,湊微分,解：將原方程化為,例4,則方程的通解為,（課堂練習(xí)）,解：將原方程化為,例4.,變通公式,原方程的通解為,解：原方程可化為,例4 （5）,公式的變通：如果微分方程為,則方程的通解為,則方程的通解為,（課堂練習(xí)）,型,可降解的高階微分方程,求解方法：連續(xù)積分n次。,例5 （1）求解微分方程,解 由原方程積分得：,再積分得,再積分得,再積