1、二、 函數的間斷點及其分類,一、 函數連續性的概念,第六節,函數的連續性,三、連續函數的運算法則,四、 初等函數的連續性,第二章,一、函數連續性的概念,第一類可去間斷點,第一類跳躍間斷點,第二類無窮間斷點,第二類間斷點,定義2.9,1. 連續函數的定義,若,且,則稱函數,注,1函數連續的增量定義,那么稱,為自變量的增量(或改變量).,若相應地函數 y 從,變到,稱,為函數的增,量(或改變量).,定義2.10,設有函數 y = f (x). 當自變量 x 從,增量概念:,變到,2,3,定義2.11,f(x)在點 x0處連續的三要素：,證,例1,2. 單側連續,定理,例2,解,討論函數,在點x=1

2、處的連續性.,由于,所以 f(x) 在點 x=1 處不連續.,在區間上每一點都連續的函數, 叫做在該區間上的連續函數, 或者說函數在該區間上連續.,連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線.,3. 函數在區間上的連續性,記作,例3 證明函數,在,內連續 .,證,即,這說明,在,內連續 .,類似可證: 函數,在,內連續 .,4. 已知的連續函數,如果上述三個條件中有一個不滿足，則稱 f (x) 在,二、函數的間斷點及其分類,1. 定義,(或間斷點).,點x0 處不連續(或間斷)，并稱點x0為 f (x)的不連續點,2. 間斷點的分類,振蕩,同時存在,可去,跳躍,無窮,其他,至少有一個不存在,第 二

3、 類,根據：,為其第二類無窮間斷點 .,為其第二類振蕩間斷點 .,為其第一類可去間斷點 .,例4,(4),為其第一類跳躍間斷點 .,例5,指出下列函數的間斷點及其類型：,解,1 找 f(x) 無定義的點,2 判斷間斷點的類型,解,1找 f(x) 無定義的點,2 查分段點：,在各自定義域內連續.,三、連續函數的運算法則,定理2.14 在某點連續的有限個函數,積 ,商(分母0) 運算,結果仍是在該點連續的函數 .,例如：,經有限次和 , 差 ,1. 四則運算的連續性,例6,設,均在,上連續,證明函數,也在,上連續.,證,根據連續函數運算法則 ,可知,也在,上,連續 .,如果函數,例如：,在,上連續

4、單調遞增，,其反函數,(證明略),在1 , 1上也連續單調遞增.,且連續.,(減少),則其反函數,在區間,單調增加,在對應區間,(減少),上亦單調增加,且連續.,類似地,在區間,上連續單調遞減.,2. 反函數的連續性定理2.15,在區間 ( , +)上連續.,證,1,2,例7,由夾逼準則及1，可得,3,3. 復合函數的連續性定理2.16,設函數 y = f u(x)由函數 y = f (u)與函數,u=u(x)復合而成,而函數 y = f(u),可以寫成:,定理2.16的結論,1. 函數記號f 與極限記號可以交換次序;,意義:,例8,解,例9,證,可以證明：,對于取任何實數,均在其定義域內連續

5、.,四、初等函數的連續性,連續函數經四則運算仍連續,連續函數的復合函數連續,定理 基本初等函數在定義域內連續.,基本初等函數在定義域內連續,定義區間是指包含在定義域內的區間.,例如,的連續區間為,(端點為單側連續),的連續區間為,注,1 初等函數僅在其定義區間上連續, 在其 定義域內不一定連續;,如：,在這些孤立點的去心鄰域 (鄰域半徑不超過2)內沒有定義,在O點的去心鄰域(鄰域半徑不超過1)內沒有定義,因此它無連續點.,因此它在 x=0 處不連續，從而在其定義域內不連續.,2 初等函數求極限的方法代入法.,例10,解,x=0是它的定義,區間內的點,例11 設,解,討論復合函數,的連續性 .,

6、故此時連續;,而,故,x = 1為第一類,在點 x = 1 不連續 ,間斷點 .,內容小結,左連續,右連續,第一類間斷點,可去間斷點,跳躍間斷點,左右極限都存在,第二類間斷點,無窮間斷點,振蕩間斷點,左右極限至少有一個不存在,在點,間斷的類型,在點,連續的等價形式,其它間斷點,3. 基本初等函數在定義區間內連續,連續函數的四則運算的結果連續,連續函數的反函數連續,連續函數的復合函數連續,初等函數在定義區間內連續,說明: 分段函數在分段點處是否連續需討論其 左、右連續性.,思考與練習,1. 討論函數,x = 2 是第二類(無窮)間斷點 .,間斷點的類型.,2. 設,時,提示:,為,連續函數.,答

7、案: x = 1 是第一類(可去)間斷點 ,3.,續?,反之是否成立?,解,且,反例：,x 為有理數,x 為無理數,處處間斷,處處連續 ，但,“反之” 不成立 .,4.試分別舉出,是 f (x) 的所有間斷點,且它們都是無窮間斷點；,(2) f (x)在R上處處不連續，但,在R上處處連續；,(3) f (x)在R上處處有定義，但僅在一點連續.,解,具有以下性質的函數 f(x) 的例子：,5. 求,方法1,原式 =,方法2,令,則,原式 =,時，,6 試確定常數 a 使,解,令,則,故,因此,解,備用題例2-1,例2-2,解,例2-3,解,應當怎樣選擇a,使得 f (x) 在 x=0 處連續.,

8、由連續的充要條件,得 a=1.,所以當a=1時，f(x)在x=0處連續.,例2-4,解,即,例4-1,解,討論函數,因為f(x)在x=0處無定義,所以x=0是f(x)的間斷點,又,注 故若補充定義f(0)=1,則函數,在x=0處就連續了,因此, 這類間斷點被稱為可去間斷點.,例5-1 討論函數,解 間斷點,為無窮間斷點;,故,為跳躍間斷點.,間斷點的類型.,例5-2,解,討論函數,在 x=0 處的連續性.,f (x) 在 x=0 處左連續,f (x)在 x=0 處間斷.,函數 f(x) 的圖形在 x=0 處有一個“躍度”,故稱跳躍間斷點.,例5-3,解,故函數在這些點處間斷.,故x=0是第一類間斷點.,是第一類間斷點.,是第二類間斷點.,例8-1,求,解 令,則,原式,特別地，若 a = e，則,例8 求,解,原式,特別地，若 a = e，則,例8-3,證,例8-4,解,原式,例8-5,解,原式=,是由連續函數鏈,故,復合而成 ,例10-1,解,