1、第一章 集合與函數概念一：集合的含義與表示1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。2、集合的中元素的三個特性：（1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。（2）元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。（3）元素的無序性: 集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合3、集合的表示： （1）用大寫字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。a、列舉法：將集

2、合中的元素一一列舉出來 a,b,cb、描述法：區間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。xR| x-32 ,x| x-32語言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。4、集合的分類：（1）有限集：含有有限個元素的集合（2）無限集：含有無限個元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合 5、元素與集合的關系： （1）元素在集合里，則元素屬于集合，即：aA （2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：aAu 注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集） 記作：N 正整數集 N*或 N+ 整數集 Z 有理數集 Q 實數集 R6、集合間的

3、基本關系（1）.“包含”關系（1）子集定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。記作：（或B）注意：有兩種可能（1）A是B的一部分；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA（2）.“包含”關系（2）真子集如果集合，但存在元素xB且xA，則集合A是集合B的真子集如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)讀作A真含與B（3）“相等”關系：A=B “元素相同則兩集合相等”如果AB 同時 BA 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規定: 空集是任何集合的子

4、集， 空集是任何非空集合的真子集。（5）集合的性質 任何一個集合是它本身的子集。AA如果 AB, BC ,那么 AC如果AB且BC，那么AC有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集題型1：集合元素的基本特征例1定義集合運算：設，則集合的所有元素之和為（ ）A0；B2；C3；D6解題思路根據的定義，讓在中逐一取值，讓在中逐一取值，在值就是的元素解析：正確解答本題,必需清楚集合中的元素，顯然，根據題中定義的集合運算知=，故應選擇D 【名師指引】這類將新定義的運算引入集合的問題因為背景公平，所以成為高考的一個熱點，這時要充分理解所定義的運算即可，但要特別注意集合元素的互異性。 例2數集與之

5、的關系是（ ）A；B； C；D解題思路可有兩種思路：一是將和的元素列舉出來，然后進行判斷；也可依選擇支之間的關系進行判斷。解析 從題意看，數集與之間必然有關系，如果A成立，則D就成立，這不可能；同樣，B也不能成立；而如果D成立，則A、B中必有一個成立，這也不可能，所以只能是C【名師指引】新定義問題是高考的一個熱點，解決這類問題的辦法就是嚴格根據題中的定義，逐個進行檢驗，不方便進行檢驗的，就設法舉反例。例3(山東高考改編）定義集合運算:,設集合,則集合的所有元素之和為 解析18，根據的定義，得到，故的所有元素之和為187、集合的運算運算類型交 集并 集補 集定 義由所有屬于A且屬于B的元素所組成

6、的集合,叫做A,B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB（讀作A并B），即AB=x|xA，或xB)全集：一般，若一個集合漢語我們所研究問題中這幾道的所有元素，我們就稱這個集合為全集，記作：U設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作，CSA=韋恩圖示性 質A A=A A =A B=BAA BAA BBA U A=A A U =AA U B=B U A A U BA U BB(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu

7、(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=例4 設集合，（1） 若，求實數的值；（2）若，求實數的取值范圍若，解題思路對于含參數的集合的運算，首先解出不含參數的集合，然后根據已知條件求參數。解析因為，（1）由知，從而得，即，解得或當時，滿足條件；當時，滿足條件所以或（2）對于集合，由因為，所以當，即時，滿足條件；當，即時，滿足條件；當，即時，才能滿足條件，由根與系數的關系得，矛盾故實數的取值范圍是【名師指引】對于比較抽象的集合，在探究它們的關系時，要先對它們進行化簡。同時，要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.新題導練 例5若集合，則是（ ）A. ；B. ；C.；

8、D. 有限集解析 A；由題意知，集合表示函數的值域，故集合；表示函數的值域，故練1已知集合，那么集合為（ ）A.；B.；C.；D.解析D；表示直線與直線的交點組成的集合，A、B、C均不合題意。練2集合,且,求實數的值.解析 ；先化簡B得, .由于,故或.因此或,解得或.容易漏掉的一種情況是: 的情形,此時.故所求實數的值為.二、函數的概念1 函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數記作： y=f(x)，xA（1）其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的

9、定義域；（2）與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)| xA 叫做函數的值域2 函數的三要素：定義域、值域、對應法則3 函數的表示方法：（1） 解析法：明確函數的定義域（2） 圖想像：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。（3） 列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。4、函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)

10、的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . (2) 畫法A、描點法： B、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換，即平移。 （3）函數圖像平移變換的特點： 1）加左減右只對x 2）上減下加只對y 3）函數y=f(x) 關于X軸對稱得函數y=-f(x)4）函數y=f(x) 關于Y軸對稱得函數y=f(-x)5）函數y=f(x) 關于原點對稱得函數y=-f(-x)6）函數y=f(x) 將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動得函數y=| f(x)|7）函數y=f(x) 先作x0的圖像，然后作關于y軸對稱的圖像得函數f(|x|)例6 試判斷以下各組函數是否表示同一函數？（1），

11、；（2），（3），（nN*）；（4），；（5），解題思路要判斷兩個函數是否表示同一個函數，就要考查函數的三要素。解析 （1）由于，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數.（2）由于函數的定義域為，而的定義域為R，所以它們不是同一函數.（3）由于當nN*時，2n1為奇數，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數.（4）由于函數的定義域為，而的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數.（5）函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數.答案（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函數【名師指引】構成函數的三個要素是定義域、對應關系和值域由于值域

12、是由定義域和對應關系確定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數為同一函數。第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數。原因是對函數的概念理解不透，在函數的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母對于函數本身并無影響，比如，都可視為同一函數.三、函數的基本性質1、函數解析式子的求法（1）、函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.（2）、求函數的解析式的主要方法有： 1）代入法：2）待定系數法：3）換元法：4)拼湊法：例7已知二次函數滿足，求方法一：換元法令，則，從而所以方法二：配湊法因為所以

13、方法三：待定系數法因為是二次函數，故可設，從而由可求出，所以2定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義. 例8.函數的定義域為( )A.;B.；C. ;D. 解題思路函數的定義域應是使得函數表達式的各個部分都有意義的

14、自變量的取值范圍。解析欲使函數有意義，必須并且只需，故應選擇 【名師指引】如沒有標明定義域，則認為定義域為使得函數解析式有意義的的取值范圍，實際操作時要注意：分母不能為0； 對數的真數必須為正；偶次根式中被開方數應為非負數；零指數冪中，底數不等于0；負分數指數冪中，底數應大于0；若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集；如果涉及實際問題，還應使得實際問題有意義，而且注意：研究函數的有關問題一定要注意定義域優先原則，實際問題的定義域不要漏寫。 例9設，則的定義域為（ ）A. ；B. ；C. ；D. 解題思路要求復合函數的定義域，應先求的定義域。解析由得，的定義域為，故解得。故的定

15、義域為.選B.【名師指引】求復合函數定義域,即已知函數的定義為，則函數的定義域是滿足不等式的x的取值范圍；一般地，若函數的定義域是，指的是，要求的定義域就是時的值域3、相同函數的判斷方法：表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；定義域一致 (兩點必須同時具備)4、區間的概念：（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間（2）無窮區間（3）區間的數軸表示5、值域 （先考慮其定義域）（1）配方法：對于（可化為）“二次函數型”的函數常用配方法，如求函數，可變為解決（2）基本函數法：一些由基本函數復合而成的函數可以利用基本函數的值域來求，如函數就是利用函數和的值域來求。（3）判別式法：通過對二

16、次方程的實根的判別求值域。如求函數的值域由得，若，則得，所以是函數值域中的一個值；若，則由得，故所求值域是（4）分離常數法：常用來求“分式型”函數的值域。如求函數的值域，因為，而，所以，故（5）利用基本不等式求值域：如求函數的值域當時，；當時，若，則若，則，從而得所求值域是（6）利用函數的單調性求求值域：如求函數的值域因，故函數在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增，從而可得所求值域為（7）圖象法：如果函數的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函數的值域（求某些分段函數的值域常用此法）。例10已知函數，若恒成立，求的值域解題思路應先由已知條件確定取值范圍，然后再將中的絕對值化去之后求值域解

17、析依題意，恒成立，則，解得，所以，從而，所以的值域是【名師指引】求函數的值域也是高考熱點，往往都要依據函數的單調性求函數的最值。新題導練 6.分段函數 （1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。（2）各部分的自變量的取值情況（3）分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集 （4）常用的分段函數有取整函數、符號函數、含絕對值的函數例11 為了預防流感，某學校對教室用藥物消毒法進行消毒。已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為（a為常數），如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：（）從藥物釋放開媽

18、，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數關系式為 ；（）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過 小時后，學生才能回到教室。思路點撥根據題意，藥物釋放過程的含藥量y（毫克）與時間t是一次函數，藥物釋放完畢后，y與t的函數關系是已知的，由特殊點的坐標確定其中的參數，然后再由所得的表達式解決（）解析 （）觀察圖象，當時是直線，故；當時，圖象過所以，即，所以（），所以至少需要經過小時【名師指引】分段函數的每一段一般都是由基本初等函數組成的，解決辦法是分段處理。例12 (2020上海)設函數，在區間上畫出函數的圖像。

19、思路點撥需將來絕對值符號打開，即先解，然后依分界點將函數分段表示，再畫出圖象。解析 ,如右上圖.【名師指引】分段函數的解決辦法是分段處理，要注意分段函數的表示方法，它是用聯立符號將函數在定義域的各個部分的表達式依次表示出來，同時附上自變量的各取值范圍。7映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：AB來說，則應滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的

20、元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。 注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數僅僅是針對數字來說的。所以函數是映射，而映射不一定的函數例13 為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密規則為：明文對應密文例如，明文對應密文當接收方收到密文時，則解密得到的明文為（ ）A；B；C；D解題思路 密文與明文之間是有對應規則的，只要按照對應規則進行對應即可。解析 當接收方收到密文14，9，23，28時，有，解得，解密得到的明文為C【名師指引】理解映射的概念，應注意以下幾點：（1）集合A、B及對

21、應法則f是確定的，是一個整體系統；（2）對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從集合B到集合A的對應關系一般是不同的；（3）集合A中每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區別于一般對應的本質特征；（4）集合A中不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（5）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.8、函數的單調性(局部性質)及最值（1）、增減函數1）設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.2）

22、如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種（2）、 圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.（3）、函數單調區間與單調性的判定方法(A) 定義法：1 任取x1，x2D，且x1x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 變形（通常是因式分解和配方）；4 定號（即

23、判斷差f(x1)f(x2)的正負）；5 下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數的單調性復合函數：如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則 y=fg(x)=F(x)(xA) 稱為f、g的復合函數。復合函數fg(x)的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集. 例14 設,函數.試討論函數的單調性.解題思路分段函數要分段處理，由于每一段都是基本初等函數的復合函數，所以應該用導數來研究。解析: 因為,所以.

24、 (1)當x0， 當時，在上恒成立，故F(x)在區間上單調遞增； 當時，令，解得， 且當時，；當時， 故F(x)在區間上單調遞減,在區間上單調遞增；(2)當x1時， x-10， 當時，在上恒成立，故F(x)在區間上單調遞減； 當時，令，解得，且當時，；當時，故F(x)在區間上單調遞減,在區間上單調遞增；綜上得，當k=0時，F(x)在區間上單調遞增，F(x)在區間上單調遞減；當k0時，F(x)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減,在區間上單調遞增；當時，F(x)在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,在區間上單調遞減.【名師指引】求函數的單調區間或研究函數的單調性是高考的一個熱點，分段落函數用注意分段

25、處理.例15. (2020全國卷)已知函數，（）討論函數的單調區間；（）設函數在區間內是減函數，求的取值范圍解析 （1）；（2）（1）求導：當時，在上遞增當，求得兩根為即在遞增，遞減，遞增（2），且解得：9、函數的奇偶性（整體性質）（1）、偶函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數（2）、奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數（3）、具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱利用定義判斷函數奇偶性的步驟：a、首先確定函數的定義域，并判斷

26、其是否關于原點對稱；若是不對稱，則是非奇非偶的函數；若對稱，則進行下面判斷；b、確定f(x)與f(x)的關系；c、作出相應結論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數（4）利用奇偶函數的四則運算以及復合函數的奇偶性 a、在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數； 奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數； b、復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。 注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件首先看

27、函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定;(2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)f(-x)=1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .例16.（高州中學模擬）已知函數。 （）若為奇函數，求的值； （）若在上恒大于0，求的取值范圍。解析（）；（）的取值范圍為（）的定義域關于原點對稱若為奇函數，則 （）在上在上單調遞增在上恒大于0只要大于0即可,若在上恒大于0，的取值范圍為例17. 已知定義域為的函數是奇函數。（）求的值；（）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；解析（）因為是奇函數，所以，即又由知（）解法一由（）知，易知在上為減函數。又因是奇函數，從而不等式： 等價于，因為減函數，由上式推得：即對一切有：，從而判別式解法二由（）知又由題設條件得：，即，整理得上式對一切均成立，從而判別式10、函數最值、周期性及性質的應用（1）、函數的最值a 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值b 利用圖象求函數的最大（小）值c 利用函數單調性的判