1、第六章 立體幾何初步6.1 兩條直線之間的位置關系一、知識導學1. 平面的基本性質.公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.公理3：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面.2. 空間兩條直線的位置關系，包括：相交、平行、異面.3. 公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.定理4：如果一個角的兩邊和另一

2、個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.4. 異面直線.異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念；異面直線的公垂線及距離. 5. 反證法.會用反證法證明一些簡單的問題.二、疑難知識導析1異面直線是指不同在任何一個平面內，沒有公共點.強調任何一個平面.2異面直線所成的角是指經過空間任意一點作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角（或直角）.一般通過平移后轉化到三角形中求角，注意角的范圍.3異面直線的公垂線要求和兩條異面直線垂直并且相交，4異面直線的距離是指夾在兩異面直線之間公垂線段的長度.

3、求兩條異面直線的距離關鍵是找到它們的公垂線.5異面直線的證明一般用反證法、異面直線的判定方法：如圖，如果b,A且A,a,則a與b異面.三、經典例題導講例1在正方體ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點，則直線OM( ).A .是AC和MN的公垂線. B .垂直于AC但不垂直于MN.C .垂直于MN，但不垂直于AC. D .與AC、MN都不垂直.錯解:B.錯因：學生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.正解：A. 例2如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點，G,H分別是BC,CD上的點,且,求證:直線EG,FH,AC相交于一點. 錯

4、解：證明：、F分別是AB,AD的中點,BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD, 四邊形EFGH是梯形，設兩腰EG,FH相交于一點T, ,F分別是AD.AC與FH交于一點.直線EG,FH,AC相交于一點正解：證明：、F分別是AB,AD的中點,BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD, 四邊形EFGH是梯形，設兩腰EG,FH相交于一點T, 平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,直線EG,FH,AC相交于一點T.例3判斷：若a,b是兩條異面直線，P為空間任意一點，則過P點有且僅有一個平面與a,b都平行.錯解：認為正確.錯因：空間想像力不夠.忽略P在

5、其中一條線上，或a與P確定平面恰好與b平行，此時就不能過P作平面與a平行.正解：假命題 例4 如圖，在四邊形ABCD中，已知ABCD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面相交于點E，G，H，F求證：E，F，G，H四點必定共線（在同一條直線上）分析：先確定一個平面，然后證明相關直線在這個平面內，最后證明四點共線證明 AB/CD， AB，CD確定一個平面又AB E，AB， E，E，即 E為平面與的一個公共點同理可證F，G，H均為平面與的公共點 兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線， E，F，G，H四點必定共線點評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，先證明這些點都是某兩平面的公

6、共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結論例5如圖，已知平面，且設梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD，求證：AB，CD，共點（相交于一點） 分析：AB，CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點M，只要證明M在上，而是兩個平面，的交線，因此，只要證明M，且M即可證明： 梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的兩條腰 AB，CD必定相交于一點，設 AB CDM又 AB，CD， M，且M M又 ， M，即 AB，CD，共點點評：證明多條直線共點時，與證明多點共線是一樣的 例6已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面 分析：弄清楚四條直線不共點且兩

7、兩相交的含義：四條直線不共點，包括有三條直線共點的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交在此基礎上，根據平面的性質，確定一個平面，再證明所有的直線都在這個平面內證明 1若當四條直線中有三條相交于一點，不妨設a，b，c相交于一點A 直線d和A確定一個平面 又設直線d與a，b，c分別相交于E，F，G，則 A，E，F，G A，E，A，Ea， a同理可證 b，c a，b，c，d在同一平面內2當四條直線中任何三條都不共點時，如圖 這四條直線兩兩相交，則設相交直線a，b確定一個平面設直線c與a，b分別交于點H，K，則 H，K又 H，Kc， c同理可證 d a，b，c，d四條直線在同一平面內點評：證明若干條線

8、(或若干個點)共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證明其余的線(或點)均在這個平面內本題最容易忽視“三線共點”這一種情況因此，在分析題意時，應仔細推敲問題中每一句話的含義 例7 在立方體ABCDA1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜線BD1在平面AC內的射影；（2）直線BD1和直線AC的位置關系如何？（3）直線BD1和直線AC所成的角是多少度？ 解：(1)連結BD, 交AC于點O .(2)BD1和AC是異面直線.(3)過O作BD1的平行線交DD1于點M，連結MA、MC，則MOA或其補角即為異面直線AC和BD1所成的角.不難得到MAMC，而O為AC的中點，因

9、此MOAC，即MOA90，異面直線BD1與AC所成的角為90.例8 已知：在直角三角形ABC中，A為直角，PA平面ABC，BDPC，垂足為D，求證：ADPC證明：PA 平面ABCPABA又BAAC BA平面PACAD是BD在平面PAC內的射影又BDPC ADPC.（三垂線定理的逆定理）四、典型習題導練1如圖, P是ABC所在平面外一點，連結PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六條棱所在的直線中，異面直線的對數為( ) A.2對 B.3對 C.4對 D.6對2. 兩個正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，則異面直線AC和BF所成角的大小為 3. 在棱長為a的正方體ABCDA1B1C

10、1D1中，體對角線DB1與面對角線BC1所成的角是 ，它們的距離是 .4.長方體中，則所成角的大小為_ _.5.關于直角AOB在定平面內的射影有如下判斷：可能是0的角；可能是銳角；可能是直角；可能是鈍角；可能是180的角. 其中正確判斷的序號是_.（注：把你認為正確的序號都填上）. 6在空間四邊形ABCD中，ABCD，AH平面BCD，求證：BHCD 7如圖正四面體中，D、E是棱PC上不重合的兩點；F、H分別是棱PA、PB上的點，且與P點不重合求證：EF和DH是異面直線6.2直線與平面之間的位置關系一、知識導學1. 掌握空間直線與平面的三種位置關系（直線在平面內、相交、平行）.2. 直線和平面所

11、成的角，當直線與平面平行或在平面內時所成的角是，當直線與平面垂直時所成的角是9，當直線與平面斜交時所成的角是直線與它在平面內的射影所成的銳角.3. 掌握直線與平面平行判定定理（如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和平面平行）和性質定理（如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行）.4. 直線與平面垂直的定義是：如果一條直線和一個平面內所有直線垂直，那么這條直線和這個平面垂直；掌握直線與平面垂直的判定定理（如果一條直線和平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面）和性質定理（如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行

12、）.5. 直線與平面的距離（一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離）.6. 三垂線定理（在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直）、逆定理（在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內的射影垂直）.7. 從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短.二、疑難知識導析1.斜線與平面所成的角關鍵在于找射影，斜線與平面所成的角，是這條斜線

13、和這個平面內的直線所成的一切角中最小的角.2.在證明平行時注意線線平行、線面平行及面面平行判定定理和性質定理的反復運用.3.在證明垂直時注意線線垂直、線面垂直及面面垂直判定定理和性質定理的反復運用，同時還要注意三垂線定理及其逆定理的運用.要注意線面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”，如果用“無數”或“兩條”都是錯誤的.4.直線與平面的距離一般是利用直線上某一點到平面的距離.“如果在平面的同一側有兩點到平面的距離（大于0）相等，則經過這兩點的直線與這個平面平行.”要注意“同一側”、“距離相等”.三、經典例題導講例1已知平面平面，直線平面,點P直線,平面、間的距離為8，則在內到點P的距離為10，且

14、到的距離為9的點的軌跡是（ ）A.一個圓 B.四個點 C.兩條直線 D .兩個點 錯解：A.錯因：學生對點線距離、線線距離、面面距離的關系掌握不牢.正解：B. 例2 a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面( ). A有且只有一個 B一個面或無數個 C可能不存在 D可能有無數個錯解：A.錯因：過a與b垂直的平面條件不清.正解：C.例3由平面外一點P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為A,B,C，O為ABC的外心，求證：.錯解：因為O為ABC的外心，所以OAOBOC，又因為PAPBPC，PO公用，所以POA，POB，POC都全等，所以POAPOBPOC，所以.錯因：上述解法中POAPOBPOCRT

15、，是對的，但它們為什么是直角呢？這里缺少必要的證明.正解：取BC的中點D，連PD、OD，例4如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M為AA1的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC1到M點的最短路線長為，設這條最短路線與C1C的交點為N,求: （1）該三棱柱的側面展開圖的對角線長；（2）PC和NC的長；（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反三角函數表示）錯因：（1）不知道利用側面BCC1 B1展開圖求解,不會找 的線段在哪里;(2)不會找二面角的平面角.正解：(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線

16、長為(2)如圖，將側面BC1旋轉使其與側面AC1在同一平面上，點P運動到點P1的位置，連接MP1 ，則MP1就是由點P沿棱柱側面經過CC1到點M的最短路線.設PC，則P1C，在(3)連接PP1（如圖），則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH于H，又CC1平面ABC，連結CH，由三垂線定理的逆定理得，.例5 P是平行四邊形ABCD 所在平面外一點，Q 是PA 的中點，求證：PC 平面BDQ 分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內找到一條直線和已知直線平行就可以了證明：如圖所示，連結AC ，交BD 于點O ，四邊形ABCD 是平行四邊形.AO=CO ，連結OQ ，則OQ

17、 在平面BDQ 內，且OQ 是 的中位線，PCOQ PC 在平面BDQ 外，PC平面BDQ 點評：應用線面平行的判定定理證明線面平行時，關鍵是在平面內找一條直線與已知直線平行.例6 在正方體A1B1C1D1ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點，O是底面ABCD的中點求證：EF垂直平面BB1O證明： 如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點E、F分別是AB、BC的中點，EF是ABC的中位線，EFACB1B平面ABCD,AC平面ABCDACB1B，由正方形ABCD知：ACBO，又BO與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線，AC平面BB1O(線面垂直判定定理)ACEF， EF平面BB1O

18、例7如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，E 是BB1 的中點，O 是底面正方形ABCD 的中心，求證：OE 平面ACD1 分析：本題考查的是線面垂直的判定方法根據線面垂直的判定方法，要證明OE 平面ACD1 ，只要在平面ACD1 內找兩條相交直線與OE 垂直證明：連結B1D 、A!D 、BD ，在B1BD 中，E,O 分別是B1B 和DB 的中點，EOB1D B1A1 面AA1D1D ，DA1 為DB1 在面AA1D1D 內的射影又AD1A1D ，AD1DB1 同理可證B1DD1C 又AD1，AD1,D1C 面ACD1 ，B1D 平面ACD1 B1DOE ，OE 平面ACD1 點評：

19、要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時常用的轉化方法在證明線線垂直時既要注意三垂線定理及其逆定理的應用，也要注意有時是從數量關系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應用例8如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中,點N在BD上, 點M在B1C上,且CM=DN,求證:MN平面AA1B1B.證明：證法一.如圖,作MEBC,交BB1于E,作NFAD,交AB于F,連EF則EF平面AA1B1B.ME=NF又MEBCADNF,MEFN為平行四邊形,MNEF. MN平面AA1B1B.證法二.如圖,連接并延長CN交BA延長線于點P,連B1P,則B1P平面AA1B1B.,又CM=DN,B1C=BD,

20、B1P. B1P平面AA1B1B, MN平面AA1B1B.證法三.如圖,作MPBB1,交BC于點P,連NP.MPBB1,BD=B1C,DN=CM, NPCDAB.面MNP面AA1B1B.MN平面AA1B1B.四、典型習題導練1設a ，b 是空間兩條垂直的直線，且b平面 則在“a平面 ”、“a ”、“a與相交”這三種情況中，能夠出現的情況有（ ）A0個B1C2個D3個2一個面截空間四邊形的四邊得到四個交點，如果該空間四邊形僅有一條對角線與這個截面平行，那么此四個交點圍成的四邊形是（）A梯形B任意四邊形C平行四邊形D菱形3若一直線和一個平面平行，夾在直線和平面間的兩條線段相等，那么這兩條線段的位置

21、關系是（ ）A平行B相交C異面D平行、相交或異面4空間四邊形的邊AB 、BC 、CD 、DA 的中點分別是E 、F 、G 、H ，若兩條對角線BD 、AC 的長分別為2和4，則EG2+HF2 的值（ ）A5B10 C20 D405點P 、Q 、R 、S 分別是空間四邊形ABCD 四邊的中點，則：當AC 時，四邊形PQRS 是_形；當AC=BD 時，四邊形PQRS 是_形6已知兩個全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面內，M 、N 分別在它們的對角線AC ，BF 上，且CM=BN ， 求證：MN 平面BCE 7.如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且(1)

22、證明C1C;(2) 當的值為多少時，能使A1C平面C1BD？請給出證明.6.3平面與平面之間的位置關系一、基礎知識導學1空間兩個平面的位置關系（有交點的是相交；沒交點的是平行）.2理解并掌握空間兩個平面平行的定義；掌握空間兩個平面平行判定定理（如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行）和性質定理（如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行）.3理解并掌握空間兩個平面垂直的定義（一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面垂直）；判定定理（如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直）和性質定理（如果兩個平面垂直，那么在

23、一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面）.4二面角的有關概念（從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角）與運算； 二面角的平面角（以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常見作法(定義法、三垂線定理及逆定理法、垂面法等).二、疑難知識導析1兩個平面的位置關系關系的判定關鍵看有沒有公共點.2面面平行也是推導線面平行的重要手段；還要注意平行與垂直的相互聯系，如：如果兩個平面都垂直于同一條直線，則這兩個平面平行；如果兩條直線都垂直于一個平面，則這兩條直線平行等.在證明平行時注意線線平行、線面平行及面面平

24、行的判定定理和性質定理的反復運用.3對于命題“三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線互相平行或者相交于同一點.”要會證明.4.在證明垂直時注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定定理和性質定理的反復運用.5注意二面角的范圍是，找二面角的平面角時要注意與棱的垂直直線，這往往是二面角的平面角的關鍵所在.求二面角的大小還有公式,用的時候要進行交代.在二面角棱沒有給出的情況下求二面角大小方法一：補充棱；方法二：利用“如果”；方法三：公式等，求二面角中解三角形時注意垂直（直角）、數據在不同的面上轉換.三、經典例題導講例1一直線與直二面角的兩個面所成的角分別為，則+滿足（ ）.A.+900 D.+900

25、錯解:A.錯因：忽視直線與二面角棱垂直的情況.正解：B.例2.如圖，ABC是簡易遮陽棚，A，B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角應為（ ）.A90 B60 C50 D45錯解:A.正解：C例3已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面邊長是10，高是12，過底面一邊AB，作與底面ABC成角的截面面積是_.錯解：.用面積射影公式求解：S底=S截=.錯因：沒有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形.正解：.例4點是邊長為4的正方形的中心，點，分別是，的中點沿對角線把正方形折成直二面角DACB（1）求的大小；（2）求二面角的大

26、小錯解:不能認識折疊后變量與不變量.不會找二面角的平面角.正解：（1）如圖，過點E作EGAC，垂足為G，過點F作FHAC，垂足為H，則，CDMHGOFABEGHMABCDEFO因為二面角DACB為直二面角， 又在中， （2）過點G作GM垂直于FO的延長線于點M，連EM二面角DACB為直二面角，平面DAC平面BAC，交線為AC，又EGAC，EG平面BACGMOF，由三垂線定理，得EMOF就是二面角的平面角在RtEGM中，所以，二面角的大小為例5如圖，平面平面平面，且在、之間，若和的距離是5，和的距離是3，直線和、分別交于A、B、C，AC12，則AB ，BC . 解:作，與、也垂直，與、分別交于A

27、1、B1、C1.因此，A1B1是與平面間的距離，B1C1是與平面間的距離，A1C1是與之間的距離.A1B15，B1C13，A1C18，又知AC12AB= ， ，BC= .答：AB= ，BC .例6 如圖，線段PQ分別交兩個平行平面、于A、B兩點，線段PD分別交、于C、D兩點，線段QF分別交、于F、E兩點，若PA9，AB12，BQ12，ACF的面積為72，求BDE的面積.解：平面QAFAF，平面QAFBE又，AFBE同理可證：ACBD.FAC與EBD相等成互補由FABE，得：BE：AFQB：QA12：241：2，BE=由BDAC，得：AC：BDPA：PB9：213：7，BD=又ACF的面積為72

28、，即 72S=,答：BDE的面積為84平方單位.例7如圖，B為ACD所在平面外一點，M、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心.（1）求證：平面MNG平面ACD（2）求S：S解:（1）連結BM、BN、BG并延長交AC、AD、CD分別于P、F、HM、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心，則有：連結PF、FH、PH有MNPF又PF 平面ACDMN平面ACD同理：MG平面ACD，MGMNM平面MNG平面ACD.（2）由（1）可知：MG=，又PH=MG= ，同理：NG= ， MNGACD，其相似比為1：3S：S=1：9例8如圖，平面EFGH分別平行于CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、A

29、C、AD上，且CDa，ABb，CDAB.(1)求證：EFGH是矩形.(2)求當點E在什么位置時，EFGH的面積最大.(1)證明：CD面EFGH,而面EFGH面BCDEF.CDEF同理HGCD.EFHG同理HEGF.四邊形EFGH為平行四邊形由CDEF，HEABHEF為CD和AB所成的角或其補角，又CDAB.HEEF.四邊形EFGH為矩形.(2)解：由(1)可知在BCD中EFCD，其中DEm，EBn由HEAB又四邊形EFGH為矩形S矩形EFGHHEEFbaabmn2，（mn）2mn，當且僅當mn時取等號，即E為BD的中點時,S矩形EFGH=abab，矩形EFGH的面積最大為ab.點評：求最值時經

30、常轉化為函數求最值、不等式求最值、導數求最值、線性規劃求最值等.四、典型習題導練1. 山坡面與水平面成30的角，坡面上有一條公路AB與坡角線BC成45的角，沿公路向上去1公里時，路基升高_米2. 過正方形ABCD的頂點A作線段PA平面ABCD，且PA=AB，則平面ABP與平面CDP所成二面角(小于或等于90)的度數是_3. 在60二面角的棱上，有兩個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內垂直于AB的線段已知：AB4cm，AC=6cm，BD8cm，求CD長4.如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90. 求證：平面ABC平面BSC. 5

31、. 已知：如圖，SA平面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角EBDC的度數. 6.4空間角和距離一、知識導學1.掌握兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角，掌握上述三類空間角的作法及運算.2掌握給出公垂線的兩條異面直線的距離、點到直線（或平面）的距離、直線與平面的距離及兩平行平面間距離的求法.二、疑難知識導析1求空間角的大小時，一般將其轉化為平面上的角來求，具體地將其轉化為某三角形的一個內角.2求二面角大小時，關鍵是找二面角的平面角，可充分利用定義法或垂面法等.3空間距離的計算一般將其轉化為兩點間的距離.求點到平面距離時，

32、可先找出點在平面內的射影（可用兩個平面垂直的性質），也可用等體積轉換法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圓心的距離由勾股定理得4球面上兩點間的距離是指經過這兩點的球的大圓的劣弧的長，關鍵在于畫出經過兩點的大圓以及小圓.5要注意距離和角在空間求值中的相互作用，以及在求面積和體積中的作用.三、經典例題導講例1平面外有兩點A,B，它們與平面的距離分別為a,b，線段AB上有一點P，且AP:PB=m:n，則點P到平面的距離為_.錯解：.錯因：只考慮AB在平面同側的情形，忽略AB在平面兩測的情況.正解：.例2與空間四邊形ABCD四個頂點距離相等的平面共有_個.錯解：4個.錯因：只分1個點與3個點在平面

33、兩側.沒有考慮2個點與2個點在平面兩側.正解：7個.例3一個盛滿水的三棱錐形容器，不久發現三條側棱上各有一個小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用這個容器盛水，則最多可盛原來水的（ ）A. B. C. D. 錯解：A、B、C.由過D或E作面ABC的平行面，所截體計算而得.正解：D.當平面EFD處于水平位置時，容器盛水最多最多可盛原來水得1例4斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形，側棱長等于b，一條側棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求這個三棱柱的側面積.錯解：一是不給出任何證明，直接計算得結果；二是作直截面的方法不當，即“過BC作平

34、面與AA1垂直于M”；三是由條件“A1AB=A1ACAA1在底面ABC上的射影是BAC的平分線”不給出論證.正解：過點B作BMAA1于M，連結CM，在ABM和ACM中，AB=AC，MAB=MAC=450，MA為公共邊，ABMACM，AMC=AMB=900，AA1面BHC，即平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin450=a，BMC周長為2xa+a=(1+)a，且棱長為b，S側=(1+)ab例5已知CA平面，垂足為A；AB ，BDAB，且BD與成30角；AC=BD=b，AB=a.求C，D兩點間的距離.解: 本題應分兩種情況討論：（1）如下左圖.C，D在同側：過D作DF，垂足為F.連BF，則于

35、是.根據三垂線定理BDAB得BFAB.在RtABF中，AF=過D作DEAC于E，則DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故CD=(2)如上右圖.C，D在兩側時：同法可求得CD=點評: 本題是通過把已知量與未知量歸結到一個直角三角形中，應用勾股定理來求解.例6如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，.（1）試確定，使得直線與平面所成角的正切值為；（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直于.并證明你的結論.解：解法一（1）連AC，設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，,連結OG，因為PC平面，平面平面APCOG,故OGPC，所以，OGPC.又A

36、OBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP與平面所成的角. 在RtAOG中，tanAGO，即m.所以，當m時，直線AP與平面所成的角的正切值為.（2）可以推測，點Q應當是AICI的中點O1，因為D1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP.那么根據三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。解法二：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，為平面的一個法向量。設AP與平面所成

37、的角為，則。依題意有解得。故當時，直線AP與平面所成的角的正切值為。（2）若在A1C1上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為，則Q(x，1，1)，。依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價于D1QAP即Q為A1C1的中點時，滿足題設要求。例7在梯形ABCD中，ADC=90，ABDC，AB=1，DC=2，P為平面ABCD外一點，PAD是正三角形，且PAAB，求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小；（2）D點到平面PBC的距離解: （1）設ADBC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交線，依題設條件得PA=AD=AE，則EPD=90，PDPE又PAAB，DAAB

38、，故AB平面PAD DCAB， DC平面PAD由PEPC得PEPD，DPC是平面PBC與平面PAD所成二面角的平面角，DC=2，tan，（2）由于PEPD，PEPC，故PE平面PDC，因此平面PDC平面PBC，作DHPC，H是垂足，則DH是D到平面PBC的距離在RtPDC中，DC=2，平面PBC與平面PAD成二面角的大小為arctan，D到平面PBC的距離為.例8 半徑為1的球面上有A、B、C三點，A與B和A與C的球面距離都是，B與C的球面距離是，求過A、B、C三點的截面到球心O距離分析： 轉化為以球心O為頂點，ABC為底面的三棱錐問題解決由題設知OBC是邊長為1的正三角形，AOB和AOC是腰

39、長為1的全等的等腰三角形取BC中點D，連AD、OD，易得BC面AOD，進而得面AOD面ABC，過O作OHAD于H，則OH面ABC，OH的長即為所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=點評： 本題若注意到H是ABC的外心，可通過解ABC和AHO得OH或利用體積法四、典型習題導練1在平面角為600的二面角內有一點P，P到、的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱的距離為_.2異面直線a , b所成的角為，過空間一定點P，作直線，使與a ,b 所成的角均為，這樣的直線有 條.3在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AD的中點，則點A1到平面EFB1D1的距離為 4

40、.二面角內一點P，分別作兩個面的垂線PA、PB，A、B為垂足已知PA=3，PB=2，APB=60求的大小及P到的距離5.ABCD是邊長為4的正方形，CG面ABCD，CG = 2E、F分別是AD、AB的中點求點B到面EFG的距離 6.如圖：二面角-為銳角，P為二面角內一點，P到的 距離為，到面的距離為4，到棱的距離為，求二面角- -的大小.7.如圖，已知三棱柱A1B1C1-ABC的底面是邊長為2的正三角形，側棱A1A與AB、AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F.(1)求點A到平面B1BCC1的距離；(2)當AA1多長時，點A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等.6.5空間幾

41、何體及投影一、知識導學1. 了解投影（投影線通過物體，向選定的面透射，并在該面上得到圖形的方法）、中心投影（投射線交于一點的投影稱為中心投影）、平行投影（投影線互相平行的投影稱為平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正對著投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正對著投影面的投影）的概念.2. 了解三視圖的有關概念（視圖是指將物體按正投影向投影面投射所得到的圖形.光線自物體的前面向后面投射所得的投影稱之為主視圖或正視圖，自上而下的稱為俯視圖，自左向右的稱為左視圖，用這三種視圖刻畫空間物體的結構，稱之為三視圖）;了解三視圖畫法規則，能作出物體的三視圖.3. 注意投影和射影的關系，以及在解題中的

42、作用.二、疑難知識導析1三視圖間基本投影關系的三條規律：主視圖與俯視圖長對正，主視圖與左視圖高平齊，俯視圖與左視圖寬相等.概括為“長對正，高平齊，寬相等”；看不見的畫虛線.2主視圖的上、下、左、右對應物體的上、下、左、右；俯視圖的上、下、左、右對應物體的后、前、左、右；左視圖的上、下、左、右對應物體的上、下、后、前.三、經典例題導講例1如圖，該物體的俯視圖是（）.錯解：B.錯因：投影方向不對.正解：C.例2 如圖所示的正方體中，E、F分別是AA1,D1C1的中點，G是正方形BDB1D1的中心，則空間四邊形AGEF在該正方體面上的投影不可能是（ ）A B C D錯解：C.正解：D 例3水平放置的ABC有一邊在水平線上，它的直觀圖是正A1B1C1，則ABC是（ ）A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 任意三角形錯解：B.錯因：不熟悉斜二側畫