2024~2025學(xué)年上海市上海中學(xué)高一下學(xué)期期中測(cè)試卷（B卷）數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）考生注意：1．帶2B鉛筆、黑色簽字筆、科學(xué)計(jì)算器、考試中途不得傳借文具.2．本試卷共4頁(yè)，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘3．請(qǐng)將答案正確填寫在答題紙上，作答在原卷上不予評(píng)分一．填空題（12題共54分，1~6題每題4分，7~12題每題5分）1.1小時(shí)內(nèi)秒針轉(zhuǎn)過(guò)了______．（用弧度制表示）2已知，則___________3.函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則的初相為_(kāi)_____．4.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是___________.5.已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_____.6.已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則的取值范圍是________．7.已知函數(shù),,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則的值為_(kāi)_______．8.已知函數(shù)，若滿足（a、b、c互不相等），則的取值范圍是_______.9.設(shè)函數(shù)（）的圖象與直線相交的連續(xù)的三個(gè)公共點(diǎn)從左到右依次記為，，，若，則正實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.10.定義：余割.已知為正實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù),均成立，則的取值范圍為_(kāi)_______．11.已知，順次連接函數(shù)與的任意三個(gè)相鄰的交點(diǎn)都構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，則________．12.設(shè)集合有______個(gè)真子集．二.選擇題（4題共18分，13~14每題4分，15~16每題5分）13.函數(shù)的最大值為（）A1 B. C.2 D.314.已知函數(shù)，則函數(shù)的部分圖象可以為（）A. B. C. D.15.在△ABC中，三個(gè)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，下列四個(gè)條件中有幾個(gè)是△ABC為直角三角形的充分條件（）①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.416.已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：①是周期函數(shù)；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③若，則；④函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．則上述結(jié)論中正確的序號(hào)為（）A.① B.①③ C.①②③ D.②③④三．解答題（共78分，17~19每題14分，20~21每題18分）17.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求外接圓面積的最小值．18.冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).（1）求f（x）的表達(dá)式；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t取值范圍.19.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下上至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械剑僭O(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為1260，經(jīng)測(cè)量，．（1）求索道的長(zhǎng)；（2）問(wèn)：乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？20已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值（3）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍21.已知函數(shù)的定義域?yàn)榍覞M足：對(duì)任意的，有恒成立，則稱為“”函數(shù).（1）分別判斷和是否為“”函數(shù)；（2）若函數(shù)是“”函數(shù)，求取值范圍；（3）若為上的“”函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，證明：對(duì)任意的，都有：.

2024~2025學(xué)年上海市上海中學(xué)高一下學(xué)期期中測(cè)試卷（B卷）數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）考生注意：1．帶2B鉛筆、黑色簽字筆、科學(xué)計(jì)算器、考試中途不得傳借文具.2．本試卷共4頁(yè)，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘3．請(qǐng)將答案正確填寫在答題紙上，作答在原卷上不予評(píng)分一．填空題（12題共54分，1~6題每題4分，7~12題每題5分）1.1小時(shí)內(nèi)秒針轉(zhuǎn)過(guò)了______．（用弧度制表示）【答案】【解析】【分析】利用任意角的定義結(jié)合弧度制的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?小時(shí)內(nèi)分針轉(zhuǎn)過(guò)了，所以1小時(shí)內(nèi)秒針轉(zhuǎn)過(guò)了.故答案為：2.已知，則___________【答案】##【解析】【分析】由，根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】由，所以，故答案為：.3.函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則的初相為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】由圖象利用“五點(diǎn)法”求出函數(shù)的解析式，從而可求出初相.【詳解】由圖可知，周期，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以，所以，所以，因，所以，所以，所以初相為，故答案為：4.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是___________.【答案】，【解析】【分析】方法一：根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，利用圖象變換方法；方法二：根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，利用整體代入方法求解.【詳解】方法一：圖象變換法：函數(shù)的對(duì)稱中心是形如的點(diǎn)，其中為整數(shù).變換后的函數(shù)分析：函數(shù)是由原函數(shù)經(jīng)過(guò)橫向壓縮3倍、向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的.對(duì)稱中心變換：橫向壓縮3倍后，原對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)變?yōu)橄蜃笃揭苽€(gè)單位后，橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>

.向上平移1個(gè)單位后，縱坐標(biāo)變?yōu)?.函數(shù)

的圖像的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為：,.方法二：利用正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求解法:求解對(duì)稱中心：對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足方程

，解得

,縱坐標(biāo)恒為1.最終，函數(shù)

的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為：：,.故答案為：,.5.已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】求出的范圍，利用正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)計(jì)算即可；【詳解】函數(shù)，其中，在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，，.求得，則的取值范圍為.故答案為：.6.已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】問(wèn)題化為在上單調(diào)遞增，且，結(jié)合正弦函數(shù)圖象及相關(guān)性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】由，則，由題意在上單調(diào)遞增，且，所以，則，故，綜上，，則，故.故答案為：7.已知函數(shù),,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【詳解】由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,可得,且,所以考點(diǎn):本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì).8.已知函數(shù)，若滿足（a、b、c互不相等），則的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性求得，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】不妨設(shè)，畫出的圖象如下圖所示，，所以.令，解得，所以，所以.故答案為：9.設(shè)函數(shù)（）的圖象與直線相交的連續(xù)的三個(gè)公共點(diǎn)從左到右依次記為，，，若，則正實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】##0.5【解析】【分析】作出正弦型三角函數(shù)的圖象，利用其對(duì)稱性和周期性求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，再代入計(jì)算即可.【詳解】作出函數(shù)，的大致圖象，如圖，令，，解得，，則函數(shù)的圖象與直線連續(xù)的三個(gè)公共點(diǎn)，，，（可以同時(shí)往左或往右移動(dòng)正整數(shù)倍周期長(zhǎng)度）即，關(guān)于直線，對(duì)稱，，由于，故，而，關(guān)于直線，對(duì)稱，故點(diǎn)橫坐標(biāo)為，將點(diǎn)橫坐標(biāo)代入，得．故答案為：.10.定義：余割.已知為正實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù),均成立，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)新定義，將已知不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化成，利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)右式，借助于基本不等式即可求得其最值即可.【詳解】由已知可得，即，因?yàn)椋裕瑒t，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，故.故答案為：.11.已知，順次連接函數(shù)與的任意三個(gè)相鄰的交點(diǎn)都構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，通過(guò)圖象可知，等腰直角三角形的斜邊的長(zhǎng)度為三角函數(shù)的一個(gè)周期，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出邊長(zhǎng)，再由三角函數(shù)的周期公式求得的值.【詳解】如圖所示（根據(jù)對(duì)稱性，其它情況與此本質(zhì)相同），在函數(shù)與的交點(diǎn)中，，令，又，所以，因?yàn)槿齻€(gè)相鄰的交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，故等腰直角三角形斜邊上的高為，即，所以，則.故答案為：.12.設(shè)集合有______個(gè)真子集．【答案】##【解析】【分析】依題意由表達(dá)式中角的特征可知當(dāng)時(shí)，的取值各不相同，當(dāng)時(shí)，利用誘導(dǎo)公式以及集合元素的互異性即可求得集合的元素個(gè)數(shù)為1013，繼而得到真子集個(gè)數(shù).【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，因是奇數(shù)，是偶數(shù)，且中的任意兩組角都不關(guān)于對(duì)稱，所以的取值各不相同，因此當(dāng)時(shí)，集合中的取值會(huì)隨著的增大而增大，所以當(dāng)時(shí)，集合中共有個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，易知又因，故，即時(shí)的取值與時(shí)的取值相同，根據(jù)集合元素的互異性可知，時(shí)，并沒(méi)有增加集合中的元素個(gè)數(shù)，當(dāng)，易得：，可得當(dāng)時(shí)，集合中的元素個(gè)數(shù)只增加了一個(gè)0，故可得集合的元素個(gè)數(shù)為1013個(gè)，故集合的真子集有個(gè).故答案為：.二.選擇題（4題共18分，13~14每題4分，15~16每題5分）13.函數(shù)的最大值為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用拆角變換，逆用差角的正弦公式，化簡(jiǎn)函數(shù)式，即可求得其最值.【詳解】因，故其最大值為1.故選：A.14.已知函數(shù)，則函數(shù)的部分圖象可以為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性可排除BD，再取特殊值可判斷AC，從而得解【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥詾槠婧瘮?shù)，故BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，令，易得，解得，故易知的圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為，又，故C錯(cuò)誤，A正確；故選：A15.在△ABC中，三個(gè)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，下列四個(gè)條件中有幾個(gè)是△ABC為直角三角形的充分條件（）①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】分別對(duì)各選項(xiàng)化簡(jiǎn)，分析是否能得出△ABC為直角三角形即可.【詳解】①由正弦定理，，則，即，故或，即或，故不能推出△ABC為直角三角形，故①錯(cuò)誤；②，則，即，故.因?yàn)椋驶颍矗ㄉ幔┗颍瑒t不能推出△ABC為直角三角形，故②錯(cuò)誤；③，則，即，故，即，即，故.因?yàn)椋剩矗瑒t△ABC為直角三角形，故③正確；④，則，即，故，故，即，故.因?yàn)椋剩矗瑒t△ABC為直角三角形，故④正確.綜上有③④是△ABC為直角三角形的充分條件.故選：B16.已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：①是周期函數(shù)；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③若，則；④函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．則上述結(jié)論中正確序號(hào)為（）A.① B.①③ C.①②③ D.②③④【答案】B【解析】【分析】先求出解析式，再對(duì)①②③④一一驗(yàn)證：對(duì)于①：利用周期的定義驗(yàn)證；對(duì)于②：取特殊數(shù)值排除；對(duì)于③：利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行計(jì)算，即可判斷；對(duì)于④：可以求出零點(diǎn)，進(jìn)行判斷.【詳解】函數(shù)，對(duì)于①：由所以函數(shù)的最小正周期為，故①正確；對(duì)于②：由于，，，，故函數(shù)在上不是單調(diào)增函數(shù)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：函數(shù)的最大值為1，若，則，所以，，，故；故③正確；對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，，由于，即，解得或，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．故選：B.三．解答題（共78分，17~19每題14分，20~21每題18分）17.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求外接圓面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，運(yùn)用和角公式化簡(jiǎn)求得，即得；（2）由余弦定理，結(jié)合基本不等式和條件可得，再由正弦定理求得外接圓半徑的最小值即可.【小問(wèn)1詳解】由整理得：，由正弦定理，可得即，因?yàn)椋裕矗忠驗(yàn)椋裕拘?wèn)2詳解】由正弦定理，外接圓的半徑，要使外接圓的半徑最小，只需最小，由余弦定理，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，則．故外接圓面積的最小值為．18.冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).（1）求f（x）的表達(dá)式；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由冪函數(shù)的單調(diào)性及得m的可能值，再驗(yàn)證奇偶性，得的解析式；（2）將條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求在上的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，又因?yàn)椋曰?，當(dāng)或2時(shí)，不是偶函數(shù)，舍去；當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，合題意，所以.【小問(wèn)2詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，即.19.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下上至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械剑僭O(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為1260，經(jīng)測(cè)量，．（1）求索道的長(zhǎng)；（2）問(wèn)：乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）m（2）（3）（單位：m/min）【解析】【詳解】（1）在中，因?yàn)椋裕瑥亩烧叶ɡ恚茫ǎ?）假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為，此時(shí)，甲行走了，乙距離處，所以由余弦定理得，由于，即，故當(dāng)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．（3）由正弦定理，得（）．乙從出發(fā)時(shí)，甲已走了（），還需走710才能到達(dá)．設(shè)乙步行的速度為，由題意得，解得，所以為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)，乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）范圍內(nèi)．考點(diǎn)：正弦、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了考生分析問(wèn)題和利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.解答應(yīng)用問(wèn)題，首先要讀懂題意，設(shè)出變量建立題目中的各個(gè)量與變量的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系和不等關(guān)系求解.本題解得時(shí)，利用正余弦定理建立各邊長(zhǎng)的關(guān)系，通過(guò)二次函數(shù)和解不等式求解，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.20.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值（3）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）（2）最大值為，最小值為（3）【解析】【分析】（1）先由降冪公式，倍角公式，輔助角公式化簡(jiǎn)，再代入周期公式求解即可；（2）由已知結(jié)合的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）由已知不等式結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【小問(wèn)1詳解】，則最小正周期為.【小問(wèn)2詳解】；則函數(shù)的最大值為，最小值為.【小問(wèn)3詳解