2025年湖北省部分高中春季高二年級期中聯考數學本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.祝考試順利注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，請將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）A. B. C. D.2.5名同學分別報名參加書法、繪畫、攝影、編程四個社團，每個社團至少1人，不同的報名方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種3.曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.4.若，則（）A. B. C. D.05.設，若為函數的極小值點，則（）A. B. C. D.6.已知函數，則的圖象大致為（）A. B.C. D.7.已知函數..為定義在上的偶函數，當時，，則下列正確的為（）A. B.C. D.8.已知函數有3個零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的有（）A.若，則B.若，則C若，則D.若，則10.下列說法正確是（）A.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，則共有96種排法B.2名男生和5名女生站成一排，則2名男生相鄰的排法共有1280種C.2名男生和5名女生站成一排，則2名男生互不相鄰的排法共有4800種D.2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有3120種11.已知定義在上的函數滿足，且當時，.若在上恒成立，則k的可能取值為（）A.1 B.0 C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數在點處的切線方程為，則_____.13.已知，的二項式系數的最大值分別為a，b，若，則正整數______.14.已知，若對于，不等式恒成立，則的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.從裝有3個紅球、2個白球、1個黑球的袋中任取3個球，求：（1）恰好取到2個紅球的概率；（2）至少取到1個紅球概率.16.已知函數，且.（1）求的解析式；（2）求函數的單調區間.17.在的展開式中，（1）求有理項的個數；（2）系數最大的項是第幾項?18.已知函數.（1）當時，求在點處的切線方程；（2）若對，都有恒成立，求的取值范圍；（3）已知，若存在，使得，求證：.19已知函數，其中.（1）若偶函數，求；（2）當時，討論函數在上的零點個數；（3）若對，求的取值范圍.（注：記，可用含的表達式表示）

2025年湖北省部分高中春季高二年級期中聯考數學本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.祝考試順利注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，請將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據導數的定義和導數的運算公式求解.【詳解】由，則，.故選：C.2.5名同學分別報名參加書法、繪畫、攝影、編程四個社團，每個社團至少1人，不同的報名方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】【分析】根據題意，將5人分成四組，再分配得解.【詳解】由題，先將5人分成四組有種，再將四組分配給4個社團有種，所以不同的報名方法有種.故選：B.3.曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據導數的四則運算與復合運算求得導函數，從而可得切線斜率，確定切點縱坐標，結合直線方程即可得所求；【詳解】，則斜率，又，所以函數在處的切線方程為，即.故選：A.4.若，則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】利用賦值法求解即可.【詳解】令，可得，令，可得，所以，故選：A5.設，若為函數的極小值點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對函數求導，令，解得或，然后分和，結合的正負討論判斷函數的極值點即可.【詳解】∵，∴.令，解得或.若，即時，當時，令，解得或；令，解得，∴函數在，上單調遞增，在上單調遞減，此時是函數的極大值點，不符合題意；當時，令，解得；令，解得或，∴函數在上單調遞增，在，上單調遞減，此時是函數的極小值點，滿足題意，此時由，可得；若，即時，當時，令，解得或；令，解得，∴函數在，上單調遞增，在上單調遞減，此時是函數的極小值點，滿足題意，此時由，可得；當時，令，解得；令，解得或，∴函數在上單調遞增，在，上單調遞減，此時是函數的極大值點，不符合題意，綜上，一定成立.故選：D.6.已知函數，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結合函數的定義域和的單調性判斷即可.【詳解】由題意可得，解得且，即定義域為，可排除D，設，則，所以當時，；當時，，即，所以當時，，可排除A；當，，可排除A，綜上，C為正確選項.故選：C7.已知函數..為定義在上的偶函數，當時，，則下列正確的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，構造函數，探討函數的奇偶性、單調性，再逐項判斷作答.【詳解】令函數，而函數是偶函數，則，即函數是奇函數，當時，求導得，即函數在上遞增，則在上遞增，因為，所以，即，所以，雖然，但不能確定與的大小，故ABC錯誤，D正確.故選：D8.已知函數有3個零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定函數的定義域，求導，根據函數有3個零點，可得在有兩個變號零點，結合二次函數根的分布列不等式即可得實數的取值范圍.【詳解】函數的定義域滿足：，解得，則函數的定義域為：，，要使得函數有3個零點，則在有兩個變號零點，令整理得，所以，解得，故實數的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用基本初等函數的求導公式及導數的運算法則逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，若，則，故選項A正確；對于B，若，則，故選項B錯誤；對于C，若，則，故選項C正確；對于D，若，則，故選項D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，則共有96種排法B.2名男生和5名女生站成一排，則2名男生相鄰的排法共有1280種C.2名男生和5名女生站成一排，則2名男生互不相鄰的排法共有4800種D.2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有3120種【答案】AD【解析】【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判斷A正誤；利用捆綁法，可判斷B的正誤；利用插空法，可判斷C的正誤，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：先排最左端，有種排法，再排剩余4個位置，有種排法，則共有種排法，故A正確；對于B：2名男生相鄰，有種排法，和剩余5名女生排列，相當于6人作排列，有種排法，所以共有種排法，故B錯誤；對于C：先排5名女生，共有種排法，且形成6個空位，再排2名男生，共有種排法，所以共有種排法，故C錯誤；對于D：由C選項可得2名男生和5名女生站成一排，則2名男生互不相鄰的排法共有種排法，若女生甲在最左端，且男生互不相鄰的排法有種排法，所以2名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有種，故D正確.故選：AD11.已知定義在上的函數滿足，且當時，.若在上恒成立，則k的可能取值為（）A.1 B.0 C. D.【答案】CD【解析】【分析】先判斷函數的奇偶性和單調性，得到，參變分離后結合余弦函數的性質即可得k的取值范圍，從而得所求．【詳解】定義在上的函數滿足，則為奇函數，所以，所以，則當時，，則恒成立，所以函數在上單調遞增，則函數在上單調遞減，所以在上遞增，不等式轉化為：，所以，即，因為，所以，則，故故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數在點處的切線方程為，則_____.【答案】3【解析】【分析】根據題意，利用導數幾何意義，列出方程組，求得和的值，即可求解.【詳解】∵，∴，.∵函數在點處的切線方程為，∴，，解得，，∴.故答案：.13.已知，的二項式系數的最大值分別為a，b，若，則正整數______.【答案】5【解析】【分析】根據題意可得，結合組合數公式運算求解.【詳解】因為為偶數，為奇數，結合二項式系數的最值可得，又因為，即，可得，整理可得，解得，故答案為：5.14.已知，若對于，不等式恒成立，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】先利用同構法將題設不等式轉化為，再構造函數，利用導數與函數單調性的關系得到，從而將問題轉化為對恒成立，，再次構造函數求得最值即可得解.【詳解】不等式，可化為，，令，則，所以在上單調遞增，因為，，所以，，則，所以不等式，即為，，即對恒成立，令，則，當時，，即單調遞增，當時，，即單調遞減，，則，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.從裝有3個紅球、2個白球、1個黑球的袋中任取3個球，求：（1）恰好取到2個紅球的概率；（2）至少取到1個紅球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據古典概型的概率公式求解；（2）根據對立事件的概率關系結合古典概型的概率公式求解.【小問1詳解】設“恰好取到2個紅球”為事件A，則；【小問2詳解】設“至少取到1個紅球”為事件B，則.16.已知函數，且.（1）求的解析式；（2）求函數的單調區間.【答案】（1）（2）的單調增區間為，單調減區間.【解析】【分析】（1）求出導數，由，代入求得，得解；（2）根據導數，判斷導數正負得解.【小問1詳解】由題意知，，所以，又，所以，故函數解析式為.【小問2詳解】由（1）知，，令，得，（舍），當時，；當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減.17.在的展開式中，（1）求有理項的個數；（2）系數最大的項是第幾項?【答案】（1）4個（2）第8項【解析】【分析】（1）根據二項展開式的通項公式求解即可；（2）設第項的系數最大，列出不等式組求解即可.【小問1詳解】由二項式定理知，要為有理項則，因為，且，所以，故有理項有4個；【小問2詳解】設第項的系數最大，則解得，又，故.所以系數最大的項為第8項18已知函數.（1）當時，求在點處切線方程；（2）若對，都有恒成立，求的取值范圍；（3）已知，若存在，使得，求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導確定斜率及切點縱坐標，即可得切線方程；（2）法一：將不等式轉化為對恒成立，，構造函數，求導確定其單調性及最小值即可求得的取值范圍；法二：將問題轉化為當時，，求導，討論單調性確定的最大值，即可得的取值范圍；（3）確定函數的單調性可得，要證，只需證明，令，求導確定單調性即可得結論.【小問1詳解】當時，所以，所以又，故所求切線方程為，即【小問2詳解】方法一：原命題等價于對恒成立，令，則，∵，令∴∴在單調遞增，在單調遞減又，，又，所以故的取值范圍為.方法二：由題意知，當時，，又，①當時，恒成立，即在上單調遞減，所以恒成立，所以，②當時，由，得到，由，得到，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，當，即時，在區間上單調遞增，，所以，（舍去），當即時，在上單調遞減，，所以當即時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，得到，所以，綜上，的取值范圍為.【小問3詳解】∵，令，得則在單調遞減，在單調遞增又且，所以要證，只需證明，因為，，且函數在區間上單調遞增，所以只需證明，又因為，即證，令，即，注意到，因為，則在上單調遞減，所以在恒成立，所以.19.已知函數，其中.（1）若是偶函數，求；（2）當時，討論函數在上的零點個數；（3）若對，求的取值范圍.（注：記，可用含的表達式表示）【答案】（1）（2）2個（3）【解析】【分析】（1）利用偶函數的定義，并結合兩角和差的正弦公式化簡即可；（2）通過導函數研究的單調性，最后結合零點存在性定理即可判斷；（3）先用必要性探路縮小的范圍，再通