江南中學2024級高一年級3月月考（期中模擬考）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復數的除法化簡復數，利用共軛復數及復數的概念可得結果.【詳解】因為，則，因此，的虛部為.故選：D2.如圖所示，已知正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形斜二測畫法的直觀圖，則其原圖形的周長為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據斜二測畫法還原圖形，結合圖形求解.【詳解】根據斜二測畫法還原得下圖：因為四邊形是邊長為的正方形，則，所以，，又因為，，則，同理可得，，因此，原圖形的周長為.故選：B.3.如圖，在中，是邊的中點，是邊上靠近點的三等分點，設，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運算和三角形法則可以得到.【詳解】是邊中點，，，是邊上靠近點的三等分點,，，又，.故選：C4.如圖，在直角，，，點，是邊上兩個三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】因為，,在中，.故選：B5.已知向量，向量在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，利用向量的數量積坐標運算，以及投影向量的計算公式，即可求解.【詳解】由題意知，向量，可得且，則向量在上的投影向量.故選：A.6.已知的三條邊長分別為a，b，c，且，則此三角形的最大角與最小角之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意由邊長比例關系可求得再由余弦定理可得，即可得出結論.【詳解】根據題意不妨設，；解得所以可得此三角形的最大角與最小角分別為和；由余弦定理可得，又，可得；所以.故選：B7.已知圓錐的母線長為4，過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為8，則該圓錐底面半徑的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據題意作出圓錐的軸截面，再分析其軸截面三角形的頂角是否大于等于，結合三角函數即可得解.【詳解】如圖，是圓錐的軸截面，設圓錐的底面圓半徑為.若,所得截面面積最大值為,則,故不符合題意；若，此時所得截面面積得最大值為，符合題意，此時有，解得，又，則.故選：D.8.平面向量、、滿足，，，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角不等式可求出的取值范圍，由已知條件得出，再平面向量數量積的運算性質可求得的取值范圍.【詳解】由三角不等式可得，當且僅當、同向時，取最小值；當且僅當、反向時，取最大值，因為，則，所以，，故，即的取值范圍是.故選：D.二、多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合要求．全部選對得6分，部分選對得部分分．9.已知復數，，則下列命題正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】取特殊值判斷A、D；應用復數乘法的幾何意義及共軛復數的性質判斷B、C.【詳解】對于A，取，顯然滿足，但，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，取，滿足，但，所以，故D錯誤．故選：BC10.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是（）A.若，，則一定是等邊三角形B.若，則一定是鈍角三角形C.若，則一定是等腰三角形D.若，則一定是直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理，結合三角恒等變換逐項計算、判斷作答.【詳解】對于A，中，，，由余弦定理得：，即，因此，一定是等邊三角形，A正確；對于B，由得：，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因此角是鈍角，一定是鈍角三角形，B正確；對于C，中，由及余弦定理得：，整理得，即，因此或，是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；對于D，中，由及正弦定理得：，因此，即，整理得：，顯然，，即，因此，而，于是，所以，一定直角三角形，D正確.故選：ABD【點睛】結論點睛：的三邊分別為a，b，c（a≥b≥c），若，則是銳角三角形；若，則是直角三角形；若，則是鈍角三角形.11.如圖，在長方形中，，，，則下列結論正確的是（）A.當時， B.當時，C對任意，不成立 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】先建立直角坐標系，再設點E的坐標分別計算向量判斷A，根據數量積判斷C，應用夾角公式判斷B，結合基本不等式計算判斷D.【詳解】以分別為軸建立直角坐標系，則，設又因為，則，所以，所以，對于A：當時，，，A選項正確；對于B:當時，，所以，所以，B選項錯誤；對于C：當時，，所以，C選項錯誤；對于D：，所以，所以，，所以，對稱軸為時單調遞增，所以，D選項正確；故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復數z滿足，則的最大值為________．【答案】4【解析】【分析】設，則且.結合復數的幾何意義可得，即可求解.【詳解】設復數，則，且.，當時，取到最大值16，所以.故答案為：4.13.已知正四棱臺的上下底面分別是邊長為2和4的正方形，側棱長為2，則該正四棱臺的體積為________．【答案】##【解析】【分析】根據正四棱臺的概念可知四邊形為等腰梯形，進而可得四棱臺的高，即可求得體積.【詳解】如圖所示，由正四棱臺可知且，，，四邊形為等腰梯形，取上底下底的中心平面，過作，垂足為，，且，，，所以，所以，故答案為：14.若為的重心，，則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】根據，利用向量的數量積運算可得，再由均值不等式即可求出的最小值.【詳解】如圖，,,,當且僅當時，等號成立，的最小值為.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復數滿足，且為純虛數．（1）求；（2）若，，求實數，的值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據純虛數的概念可得，再由模長可得，即可確定與；（2）法一：代入，根據復數相等解方程即可；法二：根據復數方程的解列方程即可.【小問1詳解】為純虛數，，且，，，；【小問2詳解】法一：把代入：，，化簡得：，即，解得：，.法二：的一根為，則另一根為：，則，解得：，.16.如圖，正三棱錐中，，點分別為的中點，一只螞蟻從點出發，沿三棱錐側面爬行到點，求：（1）該三棱錐的體積與表面積；（2）螞蟻爬行的最短路線長.【答案】（1）體積為，表面積為；（2）.【解析】【分析】（1）將△當作底面，將當作三棱錐的高，由三棱錐體積公式即可求得三棱錐的體積；再由求出各個面的面積，由面積公式可得三棱錐的表面積；（2）將△與延展開，使得兩個三角形在同一個平面上，連接，再由余弦定理即可求得最短值.【小問1詳解】因為，所以，即，又，VB、VC在面VBC內，得面，，【小問2詳解】如下圖：連接，線段的長度即螞蟻爬行的最短路線長，△中，，由余弦定理可得：，即.17.如圖，在梯形中，，，，、分別為、的中點，且，是線段上的一個動點．（1）求的長；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將向量、用基底表示，根據結合平面向量數量積的運算性質可得出關于的等式，即可解出的值；（2）設，其中，將、用基底表示，利用平面向量數量積的運算性質結合二次函數的基本性質可求得的取值范圍.【小問1詳解】因為、分別為、的中點，則，所以，，故，，由，則，則，可得，解得.【小問2詳解】設，其中，由圖可得，，則，由，可得，則，則.18.如圖，在中，，，且.、為線段上的兩個動點（在的右側），且.（1）若時，求的周長；（2）若的面積是的面積的倍，求的大??；（3）當為何值時，的面積最小，最小面積是多少？【答案】（1）（2）（3）當，的面積取最小值【解析】【分析】（1）求出角、的大小，利用余弦定理可求出的長，推導出，可求出、的長，即可得出的周長；（2）設，根據已知條件可得出，由正弦定理得出，可得出的值，結合角的范圍可得出角的值，即可得解；（3）設，由正弦定理得出，利用三角形的面積公式結合三角恒等變換、三角函數的基本性質可求出面積的最小值及其對應的值.【小問1詳解】由，，，得，又，則，，所以，在中，由余弦定理可得，則，因為，所以，∵，∴，∴，∴的周長為.【小問2詳解】設，因為的面積是的面積的倍，所以，即，在中，，由，得，從而，即，而，由，得，所以，即【小問3詳解】設，由（2）知，又在中，由，得，所以，所以當且僅當，即時，的面積取最小值為.19.正多面體是指各個面都是全等的正多邊形，并且各個多面角都是全等的多面角，又稱為柏拉圖多面體，因為柏拉圖及其追隨者對它們所作的研究而得名．自然界中有許多的柏拉圖多面體，如甲烷、金剛石分子結構模型都是正四面體，氯化鈉的分子結構模型是正六面體，螢石的結晶體有時是正八面體，硫化體的結晶體有時會接近正十二面體的形狀……柏拉圖多面體滿足性質：（其中V，F和E分別表示多面體的頂點數，面數和棱數）．（1）正十二面體共有幾條棱，幾個頂點？（2）如圖所示的正方體中，點為正方體六個面的中心，假設幾何體的體積為，正方體的體積為，求的值；（3）判斷柏拉圖多面體有多少種？并說明理由．【答案】（1）正十二面體共有條棱，個頂點（2）（3）柏拉圖多面體只有種，理由見解析【解析】【分析】（1）根據正十二面體有個面，求出每個面為正五邊形，進而可得出答案；（2）分別求出正方體和正八面體的體積即可得解；（3）假多面體每一個面都是正邊形，每一個頂點處有條棱，根據每條棱都出現在相鄰的兩個面中，每條棱連接兩個頂點，得出，代入得，再分情況判斷即可.【小問1詳解】根據柏拉圖多面體滿足性質：，正十二面體有個面，即，則，設正十二面體每一個面都是正邊形，每一個頂點處有條棱，因為多邊形至少有條邊，而再每個頂點處至少有條棱，則，由于每條棱都出現在相鄰的兩個面中，每條棱連接兩個頂點，則有，即，所以，所以，所以，即，由，得，當，即時，，符合題意，當，即時，（舍去），當，即時，（舍去），當，即時，（舍去），綜上所述，，，此時，即正十二面體共有條棱，個頂點；【小問2詳解】設正方體的棱長為，則，幾何體所有棱長為，是正八面體，所以，所以；【小問3詳解】假多面體每一個面都是正邊形，每一個頂點處有條棱，因為多邊形至少有條邊，而再每個頂點處