2004級本科《離散數學II》試題（A）答案及評分標準學習資料_第1頁
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文檔簡介

一、1、（）2、（）3、（）4、（）5、（）6、（）7、（）8、（）9、（）10、（）二、解：（1）三次交代群H={I,(123),(132)}（2）三次對稱群G的所有子群如下：｛I，（12），（13），（23），（123），（132）｝，｛I，（123），（132）｝，｛I，（12）｝，｛I，（13）｝，｛I，（23）｝，｛I｝。（3）G/H={｛I，（123），（132）｝，｛（12），（13），（23）｝}（4）-1=（132）（13）（123）=（23）三、證明：顯然，+是G上的二元代數運算，且滿足結合律，單位元是<0,0>，任意元素<x,y>的逆元為<-x,-y>.故（G，+）為群。顯然，H非空。任取H中元素<x1,y1>，<x2,y2>，有<x1,y1><x2,y2>-1=<x1,y1><-x2,-y2>=<x1-x2,y1-y2>=<x1-x2,2x1-2x2>=<x1-x2,2(x1-x2)>H所以，（H，）為（G，）的子群。四、證明：1.因為Z是整數集合，所以Z是非空的。2.因為+，-是Z上的運算，所以*在Z上是封閉的。3.驗證結合律成立。4.有單位元2。5.a有逆元4-a。五、證明：（1）一方面，（a+b）×（a+b）=(a×a)+(a×b)+(b×a)+(b×b)=a+(a×b)+(b×a)+b另一方面，由題設知，（a+b）×（a+b）=a+b所以，a+(a×b)+(b×a)+b=a+b，即，(a×b)+(b×a)=0……(*)。在（*）式中取a=b，則(a×a)+(a×a)=0，故a+a=0。（2）由（1）的結論知，(a×b)+(a×b)=0，而由（*）式又知，(a×b)+(b×a)=0，因此，(a×b)+(a×b)=(a×b)+(b×a)，即，a×b=b×a，故R是交換環。六、解：（1）不可約。在R2上分解成（x+1）(x3+x+1)則在R0上必有3次以上質因式，但因為在R0上無有理根，所以不可約。（2）可約。原式=(x+1)(x3+2x2+x-1)因為(x3+2x2+x+1)是質式，所以質因式分解為(x+1)(x3+2x2+x-1)七、解：（1）Φ3（х）=。（2）求Φ3（х）在R2[х]中的2次質因式ψ（х）=x2+x+1。取ξ=，則GF(4)={a0+a1ξ|a0，a1∈R2}={0，1，ξ，ξ+1}。

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