2024-2025學年浙江省金蘭教育合作組織高二下學期4月期中考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知cEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),n)=28(n∈N且n≥2)，則AEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),n)的值為()A.30B.42C.56D.722.根據一組樣本數據(x1,y1)，(xA.0.5B.0.6C.0.7D.0.83.設X~N(μ1,σEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),1)),Y~N(μ2,σEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),2)),這兩個變量的正態曲線如圖所示,則()A.μ1>μ2,σ1<σ2B.μ1>μ2,σ1>σ2C.μ1<μ2,σ1<σ2D.μ1<μ2,σ1>σ24.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學喜歡牛、馬和猴，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學所有的吉祥物都喜歡，讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有()A.60種B.80種C.90種D.100種5.若(1—x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn的展開式中第3項和第9項的二項式系數相等，則以下判斷正確的是()A.奇數項的二項式系數和為29B.所有奇數項的系數和為—296.已知離散型隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc其中滿足a=b+c，則D(X)的最大值為()A.B.C.D.7.現有4種不同的顏色要對圖中的五個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為()A.8.某單位有1000名職工，想通過驗血的方式篩查乙肝病毒攜帶者.假設攜帶病毒的人占p%(0<p<100).給出下面兩種化驗方法．方法1:對1000人逐一進行化驗．方法2:將1000人分為100組，每組10人.對于每個組，先將10人的血各取出部分，并混合在一起進行一次化驗.如果混合血樣呈陰性，那么可斷定這10人全部陰性;如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次.運用概率統計的知識判斷下面哪個p值能使得混合化驗方法優于逐份化驗方法()(參考數據：lg0.794≈—0.1)A.18B.22C.26二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法中錯誤的有()A.相關系數r越小，表明兩個變量相關性越弱B.決定系數R2越接近1，表明模型的擬合效果越好C.若隨機變量X服從兩點分布，其中，則E(3X+2)=3，D(3X+2)=4D.隨機變量X~N(3,σ2),若P(X≤5)=0.7,則P(X≤1)=0.310.楊輝三角形又稱賈憲三角形，因首現于南宋杰出數學家楊輝的《詳解九章算法》而得名，它的排列規律如圖所示：在第一行的中間寫下數字1;在第二行寫下兩個1，和第一行的1形成三角形;隨后的每一行，第一個位置和最后一個位置的數都是1，其他的每個位置的數都是它左上方和右上方的兩個數之和.那么下列說法中正確的是()A.從第2行起，第n行的第r(r≤n)個位置的數是cEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(r),n)—1B.記第n+1行的第i個數為ai，則C.從第3行起，每行第3個位置的數依次組成一個新的數列{an}，則a10=55D.從第3行起，每行第3個位置的數依次組成一個新的數列{an}，則11.甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，下列說法正確的是()A.2次傳球后球在甲手上的概率是B.3次傳球后球在乙手上的概率是C.4次傳球后球在甲手上的概率是D.2025次傳球后球在甲手上的概率小于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在(3x+2)5的展開式中x的系數為．13.設隨機事件A，B，已知P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A∩B)=0.1，則P(BIA)=．14.某藍莓基地種植藍莓,按1個藍莓果重量Z(克)分為4級:Z>20的為A級,18<Z≤20的為B級,16<Z≤18的為C級,14<Z≤16的為D級,Z≤14的為廢果.將A級與B級果稱為優等果.已知藍莓果重量Z可近似服從正態分布N(15,9).對該藍莓基地的藍莓進行隨機抽查,每次抽出1個藍莓果,記每次抽到優等果的概率為p(精確到0.1).若為優等果,則抽查終止,否則繼續抽查直到抽出優等果,但抽查次數最多不超過n次,若抽查次數X的期望值不超過3,則n的最大值為.參考數據:若X~N(μ,σ2),則:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)隨著電商事業的快速發展，網絡購物交易額也快速提升，某網上交易平臺工作人員對2020年至2024年每年的交易額(取近似值)進行統計分析，結果如下表：年份20202021202220232024年份代碼(t)12345交易額y(單位：百億)28(1)據上表數據，計算y與t的相關系數r(精確到0.01)，并說明y與t的線性相關性的強弱;(若0.75<IrI<1，則認為y與t線性相關性很強;若0.3<IrI≤0.75，則認為y與t線性相關性一般;若IrI≤0.3，則認為y與t線性相關性較弱.)(2)利用最小二乘法建立y關于t的線性回歸方程，并預測2025年該平臺的交易額．參考數據參考公式：相關系數線性回歸方程=+t中，斜率和縱截距的最小二乘估計分別為=y—t．16.(本小題15分)在(n≥3,n∈N*)的展開式中，第2，3，4項的二項式系數依次成等差數列.求：(1)展開式中二項式系數最大的項;(2)展開式中所有的有理項．17.(本小題15分)北京時間2024年10月30日凌晨4時27分，搭載神舟十九號載人飛船的長征二號F遙十九運載火箭在酒泉衛星發射中心點火發射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.為了某次航天任務，需要選拔若干名航天員參加該次任務．(1)若本次任務需要從4名男航天員和3名女航天員中選出4人，且至少有一名女航天員，共有多少種不同的選法?(結果用數字作答)(2)若從7名航天員中選出4名航天員，分配到2個不同的實驗室去，每個實驗室至少一名航天員，每個航天員只能去一個實驗室，共有多少種不同的選派方式?(結果用數字作答)(3)若從7名航天員中選出4名航天員，分配到3個不同的實驗室去，每個實驗室至少一名航天員，每個航天員只能去一個實驗室.其中航天員甲和乙必須參加，但不能分配在同一個實驗室，請問共有多少種不同的選派方式?(結果用數字作答)18.(本小題17分)Deepseek是杭州一家人工智能技術研究公司推出的AI助手.它能進行邏輯推理、解決復雜問題，實現多模態數據融合與學習.某科技公司在使用Deepseek對某一類問題進行測試時發現，如果輸入的問題沒有語法錯誤，它回答正確的概率為0.99;如果出現語法錯誤，它回答正確的概率為0.19.假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為0.1，且每次輸入問題，Deepseek的回答是否正確相互獨立.該公司科技人員小張想挑戰Deepseek，小張和Deepseek各自從給定的10個問題中隨機抽取8個作答.已知在這10個問題中，小張能正確作答8個問題，答錯2個問題．(1)求小張能全部回答正確的概率;(2)求一個問題能被Deepseek回答正確的概率;(3)設小張和Deepseek答對的題數分別為X和Y，求X的分布列，并比較X與Y的期望大小．19.(本小題17分)乒乓球比賽一般有兩種賽制：“5局3勝制”和“7局4勝制”.“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取得勝利，“7局4勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利．(1)甲、乙兩人進行乒乓球比賽，經統計在某個賽季的所有比賽中，在不同賽制下甲、乙兩人的勝負情況如下表.請先將下面的列聯表補充完整，然后根據小概率值α=0.100的獨立性檢驗，分析不同賽制是否對甲獲勝的場數有影響．甲獲勝場數乙獲勝場數81合計(2)若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設甲每局比賽的勝率均為p，沒有平局.記事件A為“甲只要取得3局比賽的勝利，比賽結束且甲獲勝”，事件B為“兩人賽滿5局，甲至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”，試證明：p(A)=p(B)．(3)甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是p(p>0.5)，沒有平局.若采用“賽滿(2n—1)局，勝方至少取得n局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為p(n).若采用“賽滿(2n+1)局，勝方至少取得(n+1)局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為p(n+1)，試比較p(n)與p(n+1)的大小．參考公式：X2=，其中n=a+b+c+dα0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.8282.C4.B6.B7.C9.AC10.BCD11.ACD15.解：(1)依題意EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(5),i)所以線性相關程度很強；所以y關于t的線性回歸方程為y=3.3t—3.9，所以預計2025年該平臺的交易額為15.9百億．16.解：(1)根據題意得到：2CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),n)=CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(1),n)+CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(3),n)，解得：n=2(舍去)，n=7，通項公式為因為二項式系數最大的項為第4項和第5項，所以所求的項分別為．(2)根據通項公式可得為整數時，可得有理項，且r=0，1，2，3，4，5，6，7，故只有當r=2或r=6時，滿足所得項為有理項，故展開式的有理項為17.解：(1)方法一：“直接法”，分成3種情況討論：恰有1名女性，共有CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(1),3)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(3),4)=12種選法;恰有2名女性，共有CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),3)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),4)=18種選法;恰有3名女性，共有CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(3),3)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(1),4)=4種選法;所以共有12+18+4=34種選法．方法二：“間接法”，總共有CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(4),7)=35種，沒有一名女航天員有CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(4),4)=1種，(2)先選4名航天員，有CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(4),7)=35種，然后分兩類：若分為2，2的兩組，有CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),4)=6種;若分為1，3的兩組，有CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(1),4)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(3),3)AEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),2)=8種;所以共有35×(6+8)=490種選法．(3)先選2名航天員，有CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),5)=10種;然后安排甲、乙兩人，有AEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),3)=6種;最后安排剩下的2人，有1+CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(1),2).CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(1),2)=5種;18.解：(1)設小張答對的題數為X，則P(X=8)==;(2)設事件A表示“輸入的問題沒有語法錯誤”，事件B表示“一個問題能被Deepseek正確回答”，由題意知P(A)=0.1，P(BIA)=0.99，P(BIA)=0.19，P(B)=P(BA)+P(BA)=P(BIA)P(A)+P(BIA)P(A)=0.99×0.9+0.19×0.1=0.91;(3)已知小張答對的題數為X，則X的可能取值是6，7，8，則P(X=6)==，已知Deepseek答對的題數為Y，則Y∽B(8,0.91)，所以E(X)<E(Y).19.(1)零假設為H0:賽制與甲獲勝場數獨立，即兩者無關聯．由題設，賽制與甲獲勝情況列聯表如下：所以X2==≈0.392<2.706=x0.1．根據小概率值α=0.100的X2獨立性檢驗，沒有充分證據推斷H0不成立．因此可以認為H0成立，即賽制對甲獲勝的場數沒有影響．(2)由題意，P(A)=p3+p.CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),3)p2(1—p)+p.CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),4)p2(1—EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(3),5)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(4),5)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(5),5)