（九）中考復(fù)習(xí)《相似三角形綜合解答題》1．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，點M在BC上，連接AM，作∠AMN＝∠AMB，點N在直線AD上，MN交CD于點E．（1）求證：△AMN是等腰三角形；（2）求證：AM2＝2BM?AN；（3）當M為BC中點時，求ME的長．2．在平面直角坐標系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，點P從點O開始沿OA邊向點A以2cm/s的速度移動；點Q從點B開始沿BO邊向點O以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0≤t≤5），（1）用含t的代數(shù)式表示：線段PO＝cm；OQ＝cm．（2）當t為何值時，四邊形PABQ的面積為19cm2．（3）當△POQ與△AOB相似時，求出t的值．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，M是邊AC的中點，CH⊥BM于H．（1）求MH的長度；（2）求證：△MAH∽△MBA；（3）若D是邊AB上的點，且△AHD為等腰三角形，直接寫出AD的長．4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（I）圖1中共有對相似三角形，寫出來分別為（不需證明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，請你求出CD的長：（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點D為坐標原點O，建立直角坐標系（如圖2），若點P從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB運動，點Q出B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段BA運動，其中一點最先到達線段的端點時，兩點即刻同時停止運動；設(shè)運動時間為t秒是否存在點P，使以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．5．如圖，直線a∥b，點M、N分別為直線a和直線b上的點，連接M，N，∠1＝70°，點P是線段MN上一動點，直線DE始終經(jīng)過點P，且與直線a，b分別交于點D、E，設(shè)∠NPE＝α．（1）求證△MPD∽△NPE．（2）當△MPD與△NPE全等時，直接寫出點P的位置．（3）當△NPE是等腰三角形時，求α的值．6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，動點E從點A出發(fā)沿著線段AB向終點B運動，速度為每秒3個單位長度，過點E作EF⊥AB交直線AC于點F，連接CE．設(shè)點E的運動時間為t秒．（1）當點F在線段AC上（不含端點）時，①求證：△ABC∽△AFE；②當t為何值時，△CEF的面積為1.2；（2）在運動過程中，是否存在某時刻t，使△CEF為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．7．【操作發(fā)現(xiàn)】如圖（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，連接AC，BD交于點M．①AC與BD之間的數(shù)量關(guān)系為；②∠AMB的度數(shù)為；【類比探究】如圖（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，連接AC，交BD的延長線于點M．請計算的值及∠AMB的度數(shù)；【實際應(yīng)用】如圖（3），是一個由兩個都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE組成的圖形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直線上，CE＝1，BC＝，求點A、D之間的距離．8．如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．解決問題：（1）如圖①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；（2）如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強相似點；（3）如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系．參考答案1．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAM＝∠BMA，∵∠AMN＝∠AMB，∴∠AMN＝∠NAM，∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∴∠NAM＝∠BMA，作NH⊥AM于H，如圖所示：∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，∴△NAH∽△AMB，∴＝，∴AN?BM＝AH?AM＝AM2，∴AM2＝2BM?AN；（3）解：∵M為BC中點，∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，由（2）得：AM2＝2BM?AN，即：AM2＝2AN，∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，∴10＝2AN，∴AN＝5，∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，設(shè)DE＝x，則CE＝3﹣x，∵AN∥BC，∴△DNE∽△CME∴＝，即＝，解得：x＝，即DE＝，∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，∴ME＝＝＝．2．解：（1）OP＝2tcm，OQ＝（5﹣t）cm，故答案為：2t，（5﹣t），（2）∵S四邊形PABQ＝S△ABO﹣S△PQO，∴19＝×10×5﹣×2t×（5﹣t），∴t＝2或3，∴當t＝2或3時，四邊形PABQ的面積為19cm2．（3）∵△POQ與△AOB相似，∠POQ＝∠AOB＝90°，∴或當，則，∴t＝，當時，則，∴t＝1，∴當t＝或1時，△POQ與△AOB相似．3．解：（1）在△MBC中，∠MCB＝90°，BC＝2，又∵M是邊AC的中點，∴AM＝MC＝BC＝1，∴MB＝＝＝，∵S△MCB＝×BC×CM＝×BM×CH，∴CH＝＝∴MH＝＝＝；（2）∵，＝，∴，且∠AMH＝∠AMB，∴△MAH∽△MBA；（3）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∵△MAH∽△MBA；∴，∴AH＝×2＝，∵MH＝，BM＝，∴BH＝，若AH＝AD時，∴AD＝，若DH＝AH時，如圖1，過點H作HE⊥AB于E，∵HE2＝AH2﹣AE2＝HB2﹣BE2，∴﹣AE2＝﹣（2﹣AE）2，∴AE＝，∵AH＝DH，EH⊥AB，∴AD＝2AE＝，若DH＝AD時，如圖2，過點H作HE⊥AB于E，∵HE2＝AH2﹣AE2＝DH2﹣DE2，∴﹣＝AD2﹣（﹣AD）2，∴AD＝，綜上所述：AD的長為或或．4．解：（1）圖1中共有3對相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案為：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如圖2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3．∵△ABC的面積＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝．（3）存在點P，使以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝，∴OB＝．分兩種情況：①當∠BQP＝90°時，如圖2①，此時△PQB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝，即BQ＝CP＝，∴BP＝BC﹣CP＝3﹣＝．在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝，∴點P的坐標為（，）；②當∠BPQ＝90°時，如圖2②，此時△QPB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝，即BQ＝CP＝，BP＝BC﹣CP＝3﹣＝，過點P作PE⊥x軸于點E．∵△QPB∽△ACB，∴＝，即＝，∴PE＝．在△BPE中，BE＝＝＝，∴OE＝OB﹣BE＝﹣＝，∴點P的坐標為（，），綜上可得，點P的坐標為（，）；（，）．5．（1）證明：∵a∥b，∴△MPD∽△NPE．（2）∵a∥b，∴∠1＝∠PNE．又∵∠MPD＝∠NPE，∴當△MPD與△NPE全等時，△MPD≌△NPE，此時MP＝NP，即點P是MN的中點；（3）①若PN＝PE時，∵∠1＝∠PNE＝70°，∴∠1＝∠PNE＝∠PEN＝70°．∴a＝180°﹣∠PNE﹣∠PEN＝180°﹣70°﹣70°＝40°．∴∠a＝40°；②若EP＝EN時，則a＝∠PNE＝∠l＝70°；③若NP＝NE時，則∠PEN＝α，此時2α＝180°﹣∠PNE＝180°﹣∠l＝180°﹣70°＝110°∴α＝∠PEN＝55°；④當D點在M點右側(cè)時，α＝35°．綜上所述，α的值是40°或70°或55°或35°．6．解：（1）當點F在線段AC上時，①證明如下：∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°在△ABC中，∠ACB＝90°∴∠ACB＝∠AEF又∵∠A＝∠A∴△ABC∽△AFE②當t秒時，AE＝3t，由①得△ABC∽△AFE∴，即，∴FE＝4t在Rt△ABC中，AB＝，過點C作CH⊥AB于H，如圖1：由面積法可得：∴∴S△CEF＝S△ACE﹣S△AEF＝＝令解得：，經(jīng)檢驗，符合題意．答：當t為秒或1秒時，△CEF的面積為1.2．（2）存在，理由如下：i）當點F在線段AC上時（0＜t＜），∵∠CFE＝∠AEF+∠A＞90°，∴當△CEF為等腰三角形時，只能是FC＝FE由②可知：FE＝4t∴AF＝5t，F(xiàn)C＝4t∴5t+4t＝6，∴t＝ii）當點F在線段AC的延長線上時（＜t），如圖2，∵∠FCE＝∠FCB+∠ECB＞90°，∴當△CEF為等腰三角形時，只能是FC＝EC此時∠F＝∠CEF∵EF⊥AB∴∠AEF＝90°即∠CEA+∠CEF＝90°又∠F+∠A＝90°∴∠CEA＝∠A∴CE＝AC＝6∴FC＝6∴AF＝12即5t＝12∴綜上所述，t的值為秒或秒時，△CEF為等腰三角形．7．解：【操作發(fā)現(xiàn)】如圖（1）中，設(shè)OA交BD于K．∵∠AOB＝∠COD＝45°，∴∠COA＝∠DOB，∵OA＝OB，OC＝OD，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO，∵∠MKA＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝45°，故答案為：AC＝BD，∠AMB＝45°【類比探究】如圖（2）中，在△OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB，∴＝，∴△COA∽△DOB，∴＝＝，∠MAK＝∠OBK，∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝90°．【實際應(yīng)用】如圖3﹣1中，作CH⊥BD于H，連接AD．在Rt△DCE中，∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1，∴∠CEH＝60°，∵∠CHE＝90°，∴∠HCE＝30°，∴EH＝EC＝，∴CH＝，在Rt△BCH中，BH＝＝＝，∴BE＝BH﹣EH＝4，∵△DCA∽△ECB，∴AD：BE＝CD：EC＝，∴AD＝4．8．解：（1）∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，∴∠AED+∠ADE＝135°，∠AED+∠CEB＝135°∴∠ADE＝∠CEB，在△ADE和△BEC中，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點；（2）如圖所示，點E1和E2是四邊形ABCD的邊AB上的強相似點，理由：∵AD＝2，AE1＝1，BE1＝4，BC＝2，DE1＝，CE1＝，CD＝5，∴AE1：AD：DE1＝1：2：，BC：BE1：CE1