第第頁2024年4月浙江省杭州淳安一模數學一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．?2024的相反數是（）A．2024 B．?12024 C．?2024 2．買一個足球需m元，買一個籃球需n元，則買3個足球和2個籃球共需（）元A．5mn B．6mn C．3m+2n D．2m+3n3．如果三角形的兩邊分別為3cm和5cm，那么第三邊可能是()A．7cm B．1cm C．2cm D．9cm4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB5．已知數據8,11,7,9,x,13的平均數為10，則中位數是（）A．7 B．8 C．9 D．106．圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數字表示．相傳，大禹時，洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻給大禹．大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．洛書是一個三階幻方，就是將已知的9個不同整數填入3×3的方格中，使每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數字之和都相等．圖3是一個不完整的幻方，根據幻方的規則，由已知數求出x?y的值應為（）A．3 B．?3 C．?2 D．27．在同一坐標系中，若直線y=?x+2與直線y=kx?4的交點在第一象限，則下列關于k的判斷正確的是（）A．?1<k<0 B．?1<k<2 C．k>0 D．k>28．如圖，已知正方形ABCD,E為AB的中點，F是AD邊上的一個動點，連接EF將△AEF沿EF折疊得△HEF，延長FH交BC于M，現在有如下5個結論：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③當M與C重合時，有DF=3AF；④MF平分正方形ABCD的面積．在以上結論中，正確的有（）A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 第8題圖 第10題圖9．二次函數y=x2+bx+c的圖像經過四個點(?1,0),0,yA．?4<y2<?2C．0<y2<210．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB=AD，對角線AC、BD相交于點E，GH是直徑，GH⊥AC于點F，AF=AB．若AE=a，則BC?CD的值是（）A．6a2 B．9a2 C．二、填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分．11．《義務教育勞動教育課程標準》（2022年版）首次把學生學會炒菜納入勞動教育課程，并做出明確規定．某班有5名學生已經學會炒的菜品的種數依次為：3，4，3，5，5．則這組數據的方差是．12．“漏壺”是一種古代計時器，在社會實踐活動中，某小組同學根據“漏壺”的原理制作了圖所示的液體漏壺，漏壺是由一個圓錐和一個圓柱組成的，中間連通，液體可以從圓錐容器中勻速漏到圓柱容器中，實驗開始時圓柱容器中已有一部分液體．下表是實驗記錄的圓柱體容器液面高度y（厘米）與時間x（小時）的數據：時間x（小時）012345圓柱體容器液面高度y（厘米）2610141822則y與x之間的函數關系式為． 第12題圖 第13題圖13．如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，分別以點A，C為圓心，AB，CD為半徑畫弧，圖中陰影部分面積為（結果保留π）．14．如圖，在△ABC中，∠B=30°，AC=5，tanC=43，則 第14題圖 第16題圖15．已知：x>0，x?1x=3，則16．如圖，標號為①，②，③，④的四個直角三角形和標號為⑤的正方形恰好拼成對角互補的四邊形ABCD，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分別是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角頂點E，F，G，H分別在邊BF，（1）若EF=3cm，AE+FC=11cm，則BE的長是cm．（2）若DGGH=54，則三、解答題：本大題有8個小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在下面兩個集合中各有一些有理數，請你分別從中選出兩個不同的整數和兩個不同的分數，再用“+，-，×，÷”中的運算符號將選出的四個數進行運算，使得運算的結果是一個正整數．整數分數0，?5,?100，2024，?1118．某校為落實“雙減”工作，增強課后服務的吸引力，充分用好課后服務時間，為學有余力的學生拓展學習空間，成立了5個活動小組（每位學生只能參加一個活動小組）：A．音樂；B．體育；C．美術；D．閱讀；E．人工智能．為了解學生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學生進行了調查統計，并根據統計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．根據圖中信息，解答下列問題：（1）①此次調查一共隨機抽取了______名學生；②扇形統計圖中圓心角α=______度；（2）若該校有2800名學生，估計該校參加D組（閱讀）的學生人數；（3）學校計劃從E組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學生中隨機抽取兩人參加市青少年機器人競賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．19．如圖①，油紙傘是中國傳統工藝品之一，起源于中國的一種紙制或布制傘．油紙傘的制作工藝十分巧妙，如圖②，傘圈D沿著傘柄AP滑動時，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的∠BAC，傘骨BD，CD的B，C點固定不動，且到點A的距離AB=AC．（1）當D點在傘柄AP上滑動時，處于同一平面的兩條傘骨BD和CD相等嗎？請說明理由．（2）如圖③，當油紙傘撐開時，傘的邊緣M，N與點D在同一直線上，若∠BAC=140°，∠MBD=120°，求∠CDA的度數．20．在直角坐標系中，已知k1k2≠0，設函數y1=k1x與函數y2=（1）求k1（2）過點A作y軸的垂線，過點B作x軸的垂線，在第二象限交于點C；過點A作x軸的垂線，過點B作y軸的垂線，在第四象限交于點D．求證：直線CD經過原點．21．如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，BE⊥CD，EB的延長線交⊙O于F，CF交AB于點（1）求證：BE=BG；（2）若BE=1，求⊙O的半徑．22．已知關于x的二次函數y=x（1）求證：無論k為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個交點；（2）若二次函數的頂點P的坐標為x,y，求y與x之間的函數關系及y的最大值．23．綜合與實踐【問題發現】船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁．如圖1,A,B表示燈塔，暗礁分布在經過A,B兩點的一個圓形區域內，優弧AB上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，∠ACB就是“危險角”．當船P位于安全區域時，它與兩個燈塔的夾角∠APB與“危險角”∠ACB有怎樣的大小關系？【解決問題】（1）數學小組用已學知識判斷∠APB與“危險角”∠ACB的大小關系，步驟如下：如圖2，AP與⊙O相交于點D，連接BD，由同弧或等弧所對的圓周角相等，可知∠ACB=∠ADB，∵∠ADB是△BDP的外角，∴∠APB______∠ADB（填“>”，“=”或“<”），∴∠APB______∠ACB（填“>”，“=”或“<”）；【問題探究】（2）如圖3，已知線段AB與直線l，在直線l上取一點P，過A、B兩點，作⊙O使其與直線l相切，切點為P，不妨在直線上另外任取一點Q，連接AQ、BQ，請你比較∠APB與∠AQB的大小，并說明理由；【問題拓展】（3）如圖4，某球員在球場底線點D處接到球后，沿射線DQ方向帶球跑動，∠ADQ=45°，球門寬AB為8米，BD=16米，若該球員在射線DQ上的點M處射門角度最大，即∠AMB最大，試求出此時DM的長度．24．將一矩形紙片OABC放在直角坐標系中，O為原點，C在x軸上，OA=6，OC=10．（1）如圖（1），在OA上取一點E，將△EOC沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，求E點的坐標；（2）如圖（2），在OA、OC邊上選取適當的點E、F，將△EOF沿EF折疊，使O點落在AB邊上的D點，過D作DG⊥CO交EF于T點，交OC于G點，求證：TG=AE．（3）在（2）的條件下，設T的坐標為(x,y)．①探求：y與x之間的函數關系式．②試求出縱坐標y的最大值．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：?2024的相反數是2024．故選：A．

【分析】本題考查相反數定義，其中把“絕對值相同、符號相反的兩個數互為相反數”，據此作答，即可求解．2．【答案】C【解析】【解答】解：∵買一個足球需m元，買一個籃球需n元，∴買3個足球和2個籃球共需：3m+2n元．故答案為：C．

【分析】“單價×數量=總價”，用買足球的錢加上買籃球的錢即可解答．3．【答案】A【解析】【解答】解：設第三邊的長為xcm，根據三角形的三邊關系得：5?3<x<5+3即2<x<8，第三邊可以為7故答案為：A．【分析】根據三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊，設第三邊的長為xcm4．【答案】B【解析】【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c∴sinB=bctanB=ba故答案為：B．

【分析】根據正弦、正切函數的定義判斷即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：由題意，得：8+11+7+9+x+13=10×6，解得：x=12，將數據進行排序：7,8,9,11,12,13，∴中位數為：9+112故答案為：D．

【分析】先根據平均數計算出數據中的未知數據x，再將數據從小到大排列，得到中間兩個數字是9，11，求這兩個數的平均數即為這組數據的中位數.6．【答案】B【解析】【解答】解：根據題意得：x+6=3+y

∴x-y=-3.故答案為：B．【分析】根據每一橫行、每一豎列上的數字之和相等，可列出關于x，y的二元一次方程，變形后，即可求出x-y的值．7．【答案】D【解析】【解答】解：聯立y=?x+2y=kx?4，解得x=∴直線y=?x+2與直線y=kx?4的交點坐標為6k+1∵直線y=?x+2與直線y=kx?4的交點在第一象限，∴6k+1∴k>2，故答案為：D．

【分析】先聯立兩函數解析式求兩直線的交點坐標6k+1，2k?48．【答案】C9．【答案】A【解析】【解答】解：對于二次函數y=x其對稱軸為x=?b將點(?1,0)代入二次函數解析式y=x可得0=1?b+c，即c=b?1，∴當x=1時，可有y2又∵y2∴點0,y1在對稱軸的左側，點1,y2,∴可有0<?b2<1∴?4<2b<?2，即?4<y故答案為：A．【分析】根據二次函數的圖象與性質，判斷該拋物線開口向上，越靠近對稱軸函數值越小，由題意可以判斷出二次函數的對稱軸要在1210．【答案】C11．【答案】0【解析】【解答】解：由題意可得：

平均數為：3+4+3+5+55=4

∴方差為：3?42+12．【答案】y=4x+2【解析】【解答】由題意可知該圖象是一次函數，設該函數的表達式為y=kx+b，∵點(1,6),(2,10)在該函數圖象上，∴k+b=62k+b=10解得k=4b=2即y與x之間的函數表達式為y=4x+2．故答案為：y=4x+2．

【分析】根據表格信息，可以判斷出該函數關系為一次函數，再由待定系數法確定一次函數的解析式即可.13．【答案】4π【解析】【解答】過點D作DE⊥AB于點E，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=BC=CD=AB=2，∠C=∠A=60°，∵DE⊥AB，即∠AED=90°，∴∠ADE=90°?∠A=90°?60°=30°，∴AE=1DE=A∴S菱形∵S扇形∴S陰影故答案為：4π3【分析】過點D作DE⊥AB于點E，根據勾股定理及30°直角三角形性質求得菱形的高，從而得出菱形ABCD的面積，陰影部分的面積等于等于扇形BAD和扇形BCD的面積和減去菱形ABCD的面積，由扇形的面積公式代入計算即可解答.14．【答案】4【解析】【解答】解：過點A作AD⊥BC于D，∵tanC=∴tanC=43=AD在△ADB中，∠B=30°，AD=4，∴AB=8，由勾股定理得，BD=A∴BC=BD+DC=43故答案為：43+3．

【分析】過點A作AD⊥BC于D，根據正切函數的定義及勾股定理即可求得AD=4，15．【答案】7【解析】【解答】解：∵x?1x∴x+1故答案為：7．【分析】由x+1x=16．【答案】4；3【解析】【解答】解：（1）∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵AE+FC=11cm，∴BE+BF=11cm，即BE+BE+EF=11cm，即2BE+EF=11cm，∵EF=3cm，∴BE=4cm，故答案為：4；（2）設AH=x，∵DGGH∴可設DG=5k，GH=4k，∵四邊形EFGH是正方形，∴HE=EF=FG=GH=4k，∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE=BE，∴CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+12k=x+12k，∠ABC=∠ABE+∠CBF=45°+45°=90°，∵四邊形ABCD對角互補，∴∠ADC=90°，∴∠ADH+∠CDG=90°，∵四邊形EFGH是正方形，∴∠AHD=∠CGD=90°，∴∠ADH+∠DAH=90°，∴∠DAH=∠CDG，∴tan∠DAH=∴DHAH=CG整理得：x2解得x1=3k，∴tan∠DAH=故答案為：3．【分析】（1）根據題意，AE=BE，BF=CF，得到FC=BE+EF，再代入AE+FC=11cm，即可求出（2）根據題意可知∠ADC=90°，由互余的性質可以導出∠DAH=∠CDG，從而得到tan∠DAH=tan∠CDG，設AH=x，DG=5k，GH=4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan17．【答案】解：選擇2024，-100，12，15，

【解析】【分析】先選出兩個整數，兩個分數，再按要求計算即可．18．【答案】（1）①400；②54；（2）解：2800×140答：該校參加D組（閱讀）的學生980人；（3）解：由題意可畫樹狀圖如下：∵共有12中等可能的結果，其中恰好抽到甲、乙兩人同時參賽的有兩種，∴P（恰好抽中甲、乙兩人）=2【解析】【解答】（1）解：由圖可知，100÷25%400×15%400?60?100?140?40=60（人），360°×60故答案為：①400；②54；【分析】（1）①聯系兩幅不完整的統計圖，利用B組人數除以B組所占百分比即可解題；②由扇形統計圖可知A組的百分比，進而求得A組人數，再結合條形統計圖計算出C組人數，從而得到C組所占百分比，利用其所占百分比乘以360°即可解題；（2）利用總人數乘以D組所占比，即可估計出全校中參加D組的人數；（3）根據題意畫出樹狀圖，然后求概率即可．19．【答案】（1）解：相等．理由如下：

∵傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD．

在△ABD和△ACD中，

∵AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，

∴△ABD≌△ACDSAS．（2）解：∵∠BAC=140°，

∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×140°=70°．

又∵∠MBD=120°，

∴∠BDA=∠MBD?∠BAD=120°?70°=50°．

【解析】【分析】（1）根據題意可得∠BAD=∠CAD，即可根據SAS證明△ABD≌△ACD，根據全等三角形的對應邊相等即可得出BD=CD；（2）易得∠BAD=70°，根據三角形的一個外角等于與之不相鄰的兩個內角的和得出∠BDA=50°，最后根據全等三角形對應角相等，即可得出∠CDA的度數．20．【答案】（1）解：∵點A的橫坐標是2，

∴將x=2代入y2=k2x?2+5，得y2=5，

∴A2,5，

∴將A2,5代入y1=k1x得，k1=10，

∴y1=10x，

∵點B的縱坐標是?4，

∴將y=?4代入y1=10x得，x=?52，

∴B?（2）證明：如圖所示，

由題意可得，C?52,5，D2,?4，

∴設CD所在直線的表達式為y=kx+b，

∴?52k+b=52k+b=?4，

解得k=?2b=0，

∴y=?2x，

∴當【解析】【分析】（1）首先將點A的橫坐標代入y2=k2x?2+5算出對應的函數值，求出點A的坐標，然后將點A的坐標代入y1=k1x求出k（2）首先根據題意畫出圖形，然后根據點的坐標與圖形性質求出點C和點D的坐標，然后利用待定系數法求出CD所在直線的表達式，進而根據直線上點的坐標特點求解即可．21．【答案】（1）證明：如圖，連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCB+∠BCD=90°，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵∠BCF=∠BCD，

∴∠BCF+∠OBC=90°，

∴∠BGC=90°，即BG⊥CF，

∵∠BCF=∠BCD，BE⊥CF，

∴（2）解：∵AB是⊙O的直徑，CF⊥AB，

∴BC=BF，

∴∠BCF=∠F，

∵BE⊥CD，∠BCF=∠BCD，

∴∠BCF=∠BCD=∠F=30°，

∴∠OBC=60°，

∵BE=1，

∴BC=2，

∵OB=OC，∠OBC=60°，

∴△OBC為等邊三角形，

∴OB=BC=2，【解析】【分析】（1）由圓的切線垂直經過切點的半徑得OC⊥CD，則∠OCB+∠BCD=90°，由等邊對等角得∠OCB=∠OBC，由等式性質可得∠BCF+∠OBC=90°，根據三角形的內角和定理得出∠BGC=90°，進而根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得BE=BG；（2）由垂徑定理得BC=BF，由等弧所對的圓周角相等得∠BCF=∠BFC，結合∠BCF=∠BCD及直角三角形的兩銳角互余推出∠BCF=∠BFC=∠BCD=30°，根據含30°直角三角形的性質可得BC=2，22．【答案】（1）證明：當y=0時，x2∵Δ=b∴該方程總有兩個不相等的實數根，∴無論k為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個交點（2）解：∵a=1,b=?k+4,c=3k，

∴二次函數y=x2?k+4x+3k的頂點坐標為k+42,?k2?4k+164，

設x=k+42，可得k=2x?4，將其代入y=?k2【解析】【分析】（1）二次函數圖象與x軸交點橫坐標就是對應函數解析式中的函數值為零時方程的解，故要證明關于x的二次函數y=x2-(k+4)x+3k與x軸總有兩個交點，即證明方程x2-(k+4)x+3k=0有兩個不相等的實數根；而對于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常數，且a≠0）”中，當b2-4ac＞0時方程有兩個不相等的實數根，當b2-4ac=0時方程有兩個相等的實數根，當b2-4ac＜0時方程沒有實數根，據此求解即可；

（2）根據二次函數的頂點坐標公式“?b2a，4ac?b24a”，得出頂點坐標為k+423．【答案】解：（1）<，<；（2）∠APB>∠AQB，理由如下：如圖所示，設AQ與⊙O交于點G，連接BG，由同弧所對的圓周角相等得出∠APB=∠AGB，∵∠AGB是△BGQ的外角，∴∠AGB>∠AQB∴∠APB>∠AQB．（3）如圖所示，由（2）可得，當經過A,B的⊙O與DQ相切時，∠AMB最大，過點O作OH⊥AB交AB于點H，延長HO交PQ于點E，∴2BH=BA=8，∴DH=BH+BD=20，∵∠ADQ=45°，∴△DHE是等腰直角三角形，∴HE=DF=DP+FP=20,DE=20∵OM⊥PQ，∴△OME是等腰直角三角形，∴設⊙O的半徑OB=OM=x，∴OE=2∴OH=x∴解得：x=202?86∴DM=20【解析】【解答】解：（1）如圖2，AP與⊙O相交于點D，連接BD，由同弧或等弧所對的圓周角相等，可知∠ACB=∠ADB，∵∠ADB是△BDP的外角，∴∠APB<∠ADB，∴∠APB<∠ACB；故答案為：<，<．【分析】（1）根據同弧或等弧所對的圓周角相等得∠ACB=∠ADB，然后根據三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角，進行作答即可；（2）設AQ與⊙O交于點G，連接BG，同（1）即可得出結論；（3）由（2）可得，當經過A、B的⊙O與DQ相切于點M時，