第第頁2024年湖南省長沙市中考數學全真模擬試卷（二）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．小戴同學的微信錢包賬單如圖所示，+8表示收入8元，下列說法正確的是（）微信賬單：+8A．?3表示收入3元 B．?3表示支出3元C．?3表示支出?3元 D．收支總和為11元2．下列計算正確的是（）A．a6÷a3=a2 B．3．近年來我國芯片技術突飛猛進，在這領域常使用長度單位納米（1納米=0.000001毫米），將數據“5納米”用科學記數法表示為（）A．0.5×10?5毫米 B．C．5×10?6毫米 D．4．世界上最早記載潛望鏡原理的古書，是公元前二世紀中國的《淮南萬畢術》．書中記載了這樣的一段話：“取大鏡高懸，置水盤于其下，則見四鄰矣”．現代潛艇潛望鏡是在20世紀初發明的．如圖是潛望鏡工作原理的示意圖，那么它所應用的數學原理是（）A．內錯角相等，兩直線平行 B．同旁內角互補，兩直線平行C．對頂角相等 D．兩點確定一條直線5．下列漢字中，可以看作是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．AQI是空氣質量指數的簡稱，其數值越大說明空氣污染狀況越嚴重，對人體健康的危害也就越大.2023年某天5座城市的空氣質量指數分別為28，32，46，50，28，這組數據的中位數是（）A．28 B．32 C．46 D．507．如圖，已知函數y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P，則根據圖象可得關于x，y的二元一次方程組y=ax+by=kxA．x=?2y=?4 B．x=?4y=?2 C．x=2y=?4 第7題圖 第8題圖 第9題圖8．《四元玉鑒》是我國古代數學重要著作之一，為元代數學家朱世杰所著．該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”．大意是：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試向6210文能買多少株椽？（椽，裝于屋頂以支持屋頂蓋材料的木桿）設這批椽有x株，則符合題意的方程是（）A．6210x?1=3x?1 B．6210x=3x?1 C．9．要測一個殘損輪子的半徑，小麗的方案如下：如圖，在輪子圓弧上任取兩點A，B，再作弦AB的垂直平分線交AB于點C，交圓弧于點D，測出AB和CD的長度，即可計算出輪子的半徑．若測得AB=48cm,CD=12cm，則輪子的半徑為（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm10．世界杯足球賽小組賽，每個小組4個隊進行單循環比賽，每場比賽勝隊得3分，敗隊得0分，平局時兩隊各得1分，小組賽完以后，總積分最高的兩個隊出線進入下輪比賽，如果總積分相同，還要按凈勝球排序，一個隊要保證出線，這個隊至少要積（）A．6分 B．7分 C．8分 D．9分二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．11．若式子x+3在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．12．分解因式：?am213．不等式組2(x+1)+1>?3x?1≤1+x314．如圖，△ABC為⊙O的內接三角形，AB為⊙O的直徑，點D在⊙O上，∠ADC=55°，則∠BAC的度數等于．15．第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日在北京開幕，在全國掀起了冰雪運動的熱潮．某校組織了關于冬奧知識競答活動，并且對此次競答活動成績最高的小穎同學獎勵兩枚“2022北京冬夢之約”的郵票．現有如圖所示“2022北京冬夢之約”的四枚郵票，背面完全相同．將這四枚郵票背面朝上，洗勻放好，小穎從中隨機選取一枚不放回，再從中隨機抽取一枚．小穎抽到的兩枚郵票恰好是冰墩墩和雪容融的概率． 第15題圖 第16題圖16．如圖，四邊形EFGH頂點是四邊形ABCD各邊中點，若把EFGH涂滿紅油漆需要10桶，那么要把其余部分涂滿黑顏色，需要桶三、解答題：本題共9小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．計算：1218．先化簡，再求值：2x+y2?2x+y2x?y?2y19．建于明洪武七年（1374年），高度30米的聊城光岳樓是目前我國現存的最高大、最古老的樓閣之一（如圖①）．喜愛數學實踐活動的小偉，在30米高的光岳樓頂樓P處，利用自制測角儀測得正南方向商店A點的俯角為60°，又測得其正前方的海源閣賓館B點的俯角為30°（如圖②）．求商店與海源閣賓館之間的距離（結果保留根號）．圖①圖②20．為了提高中學生身體素質，某中學開設了A：籃球、B：足球、C：跳繩、D：羽毛球四種體育活動．為了解學生對這四種體育活動的喜歡情況，在全校隨機抽取若干名學生進行問卷調查（每個被調查的對象必須選擇而且只能在四種體育活動中選擇一種），將數據進行整理并繪制成以下兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息解答下列問題：（1）這次調查中，一共調查了多少名學生？（2）請通過計算補全條形統計圖；（3）若全校共有學生4000名，請你估計全校喜歡足球的有多少名學生？21．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是邊BC和AD上的點，且BE=DF，連接AE，CF．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）四邊形AECF是平行四邊形．22．聚焦“綠色發展，美麗宜居”縣城建設，圍繞“老舊改造人人參與，和諧家園家家受益”的思路，某市從2021年起連續投入資金用于“建設美麗城市，改造老舊小區”，讓小區“舊貌”換“新顏”．已知每年投入資金的增長率相同，其中2021年投入資金1000萬元，2023年投入資金1440萬元．（1）求該市改造小區投入資金的年平均增長率；（2）2023年小區改造的平均費用為每個80萬元，2024年為提高小區品質，每個小區改造費用計劃增加20%23．如圖1，?ABCD的各內角的平分線分別相交于點E，F，G，H．（1）求證：四邊形EFGH為矩形；（2）如圖2，當?ABCD為矩形時，①求證：四邊形EFGH為正方形；②若AD=8，四邊形EFGH的面積為6，求AB的長．24．定義：對于已知的兩個函數，任取自變量x的一個值，當x≥0時，它們對應的函數值相等；當x<0時，它們對應的函數值互為相反數，我們稱這樣的兩個函數互為相關函數.例如：正比例函數y=x，它的相關函數為y=x(x≥0)（1）已知點A?5,10在一次函數y=ax?5的相關函數的圖象上，求a（2）已知二次函數y=?x①當點Bm,32②當?3≤x≤3時，求函數y=?x（3）在平面直角坐標系中，點M、N的坐標分別為?12,1、92,1，連結MN.直接寫出線段MN25．如圖，已知等腰三角形ABC內接于⊙O,AB=AC，點D為AC上一點（不與點A,C重合），連接AD,BD,CD，且BC=3CD=18．（1）如圖1，若BD為⊙O直徑．①求tan∠BAC的值；②求四邊形ABCD的面積．（2）如圖2，在AB上取一點E，使AE=CD，連接CE，交AB于點F，若∠BDC=∠AFC，求

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵+8表示收入8元，

∴-3表示支出3元，

故答案為：B.

【分析】根據正負數的意義、相反意義的量及表示方法求解即可。2．【答案】C【解析】【解答】解：a6a+22a5a2，a故答案為：C．

【分析】（1）利用同底數冪的除法計算；

（2）利用完全平方公式計算；

（3）利用冪的乘方法則計算；

（4）利用合并同類項法則計算.3．【答案】C【解析】【解答】解：5納米=0.000005毫米=5×10故選：C．【分析】本題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法表示絕對值小于1的正數的一般形式為a×104．【答案】A【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，

∴a//b（內錯角相等，兩直線平行）.故答案為：A．

【分析】根據內錯角相等，兩直線平行進行求解．5．【答案】B【解析】【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故不符合題意；B．是中心對稱圖形，故符合題意；C．不是中心對稱圖形，故不符合題意；D．不是中心對稱圖形，故不符合題意.故選：B．

【分析】中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.6．【答案】B【解析】【解答】解：∵將該組數據按照從小到大的順序排列：28，28，32，46，50，∴這組數據的中位數為：32.故選：B.

【分析】將數據從小到大排列，再求出中位數.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵函數y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P的坐標為（-4，-2），∴關于x，y的二元一次方程組y=ax+by=kx的解是x=?4故選：B．【分析】根據兩個函數圖象的交點坐標，可寫出由兩個函數解析式組成的方程組的解.8．【答案】B【解析】【解答】解：設這批椽有x株，

可列方程為：6210故選：B．【分析】設這批椽有x株，根據“少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢”，列出分式方程，再作出選擇．9．【答案】B【解析】【解答】解：設圓心為O，連接OB．在Rt△OBC中，BC=1∴OC2+BC2解得：OB=30cm；∴輪子的半徑為30cm，故答案為：B．

【分析】先根據垂徑定理求得BC，再利用勾股定理求得OB即可．10．【答案】B【解析】【解答】解：4個隊單循環比賽共比賽4×3÷2=6場，每場比賽后兩隊得分之和或為2分（即打平），或為3分（有勝負），所以6場后各隊的得分之和不超過18分，①若一個隊得7分，剩下的3個隊得分之和不超過11分，不可能有兩個隊得分之和大于或等于7分，所以這個隊必定出線，②如果一個隊得6分，則有可能還有兩個隊均得6分，而凈勝球比該隊多，該隊仍不能出線．應選B．【分析】易得小組賽的總場數為小組數×（小組數﹣1）÷2，可得4個隊的總積分，進而分類討論小組得6分或7分能否出線即可．11．【答案】x≥－3【解析】【解答】∵式子x+3在實數范圍內有意義，∴x+3≥0，解得：x≥?3.故答案為：x≥?3.【分析】根據二次根式的被開方數不能為負數，即可得出不等式，求解即可。12．【答案】?a【解析】【解答】解：?a=?a=?am?2故答案為：?am?22．【分析】先提取公因式?a，再用完全平方公式分解因式，寫出結果．13．【答案】?3<x≤2【解析】【解答】解：解不等式2(x+1)+1>?3，得x>?3；

解不等式x?1≤1+x3，得x≤2，

所以不等式組的解集是故答案為：?3<x≤2.

【分析】分別求得不等式組中兩個不等式的解，再求出不等式組的解集.14．【答案】35°【解析】【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∵∠ADC=55°，∴∠ABC=∠ADC=55°，∴∠BAC=90°?∠ABC=35°，故答案為：35°.

【分析】先根據直徑所對的圓周角是直角，求出∠ACB=90°，再根據直角三角形中的兩個銳角互余，得到∠BAC+∠ABC=90°，接著利用圓周角定理求得∠ABC，最后利用角的差求出∠BAC的度數．15．【答案】1【解析】【解答】解：畫出樹狀圖，如圖：一共有12種等可能的情況，

其中小穎抽到的兩枚郵票恰好是冰墩墩和雪容融的情況有2種，∴P（小穎抽到的兩枚郵票恰好是冰墩墩和雪容融）=212故答案為：16.

【分析】先畫出樹狀圖，再由此求出所有可能結果數，滿足條件的情況數，然后根據概率公式求解．16．【答案】10【解析】【解答】解：如圖所示，連接AC,BD，∵E,F分別是AD,AB的中點，∴EF∥BD，EF∴△AEF∽△ADB.∴S△AEF=14S∴S同理可得S∴S∵把EFGH涂滿紅油漆需要10桶，

∴要把其余部分涂滿黑顏色，需要10桶，故答案為：10．

【分析】先根據中位線定理，證明EF//BD，再證明△AEF∽△ADB，接著利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出S△AEF=14S17．【答案】解：12=2=2=5．【解析】【分析】先分別求出12，tan6018．【答案】解：2x+y=4=2xy，當x=1原式=2×=2×12×【解析】【分析】先根據乘法公式、單項式乘以多項式法則進行計算，再合并同類項，然后代入求值．19．【答案】解：∵兩條水平線是平行的，利用自制測角儀測得正南方向商店A點的俯角為60°，又測得其正前方的海源閣賓館B點的俯角為30°，

∴∠B=30°，∠PAO=60°，

∵PO=30米，∠POA=90°，

∴OB=POtan30°=303（米），

OA=POtan【解析】【分析】利用正切可求得OB長，利用正切可求得OA長，再利用OB?OA求出商店與海源閣賓館之間的距離．20．【答案】（1）解：∵A有40名，占20%，

∴一共調查的學生人數為：40÷20%答：一共調查了200名學生．（2）解：200×30%補全圖形如圖所示：（3）解：4000×70答：估計全校喜歡足球的約有1400名學生．【解析】【分析】（1）根據喜歡A的人數和所占的百分比，求出本次調查的總人數；（2）先求出喜歡C的人數，再補全統計圖；（3）先根據扇形統計圖求出足球所占的百分比，再用4000乘以百分比，求4000名學生中喜歡足球的人數．21．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，∠B=∠D，

在△ABE和△CDF中，

AB=CD∠B=∠DBE=DF

∴（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC,AD∥BC，

∴AF∥CE，

∵BE=DF，

∴AD-DF=BC-BE，

∴AF=CE，

∴四邊形AECF是平行四邊形．【解析】【分析】（1）先根據平行四邊形的性質得出AB=CD，∠B=∠D，再根據SAS證明△ABE≌△CDF；（2）先根據平行四邊形的性質得出AD=BC，AD//BC，結合BE=DF，說明四邊形AECF有一組對平行且相等，可得它是一個平行四邊形.（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠B=∠D，在△ABE和△CDF中，AB=CD∴△ABE≌△CDFSAS（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC,AD∥BC，又BE=DF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形．22．【答案】（1）解：設該市改造老舊小區投入資金的年平均增長率為x，∵2020年投入資金1000萬元，2022年投入資金1440萬元，每年投入資金的增長率相同，

∴1000(1+x)2=1440，

解得：x1=0.2=20%，（2）解：設該市在2024年可以改造y個老舊小區，根據題意得：80×(1+20%)y≤1440×(1+20%)，

解得：y≤18，

∵y為整數，

∴y的最大值為18，【解析】【分析】（1）設該市改造老舊小區投入資金的年平均增長率為x，根據“2020年投入資金1000萬元，2022年投入資金1440萬元，每年投入資金的增長率相同”列出方程求解；（2）設該市在2024年可以改造y個老舊小區，列出不等式求解．23．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD//BC，

∴∠ABC+∠DAB=180°，

∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，

∴∠EAB=12∠DAB，∠EBA=12∠ABC，

∴∠EAB+∠EBA=12∠DAB+∠ABC=90°，

∴∠AEB=90°，

同理可得：∠AFD=∠BHC=∠CGD=90°，

∵∠AEB=90°（2）解：①同（1）可證明：四邊形EFGH為矩形；

∵?ABCD為矩形，

∴∠EAB=∠EBA=45°，

∴△ABE為等腰直角三角形，

∴AE=EB=22AB.

同理可證：AF=DF=22AD,BH=CH=22BC，

∵AD=BC，

∴BH=AF，

∴BH?BE=AF?AE，

∴EH=EF，

∵四邊形EFGH為矩形，

∴四邊形EFGH為正方形；

②∵四邊形EFGH的面積為6，

∴EF2=6，

∴EF=6，

∵AF=【解析】【分析】（1）先根據平行四邊形的性質，證得AD//BC，再根據平行線的性質證得∠ABC+∠DAB=180°，接著根據角平分線的意義∠AEB=90°，然后利用四邊形EFGH的三個內角均為90°證得結論成立；（2）①先證明△ABE為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得出AE=EB=22AB，同理可證：AF=DF=22AD,BH=CH=22BC，然后證明矩形EFGH的一組鄰邊相等，從而可得四邊形EFGH為正方形；24．【答案】解：（1）∵點A?5,10在一次函數y=ax?5的相關函數的圖象上，

∴?a×(?5)+5=10，

解得a=1；

（2）根據題意，二次函數y=?x2+4x?12的相關函數為y=?x2+4x?12,(x≥0)x2?4x+12,(x<0)，

①當m＜0時，

∵點Bm,32在這個函數的相關函數的圖象上，

∴m2-4m+12=32，

解得：m=2+5（舍去），m=2?5．

當m≥0時，

∵點Bm,32在這個函數的相關函數的圖象上，

∴-m2+4m-12=32，

解得：m=2+2，m=2?2．

綜上所述：m=2?5或m=2+2或m=2?2．

②當-3≤x＜0時，y=x2-4x+12，拋物線的對稱軸為x=2，此時y隨x的增大而減小，

∴當x=?3時，有最大值，即y=(?3)2?4×(?3)+12=432，

∴此時y的最大值為432．

當0≤x≤3時，函數y=-x2+4x?12，拋物線的對稱軸為x=2，

當x=0有最小值，最小值為?12，

當x=2時，有最大值，最大值y=72．

綜上所述，當-3≤x≤3時，函數y=-x2+4x?12的相關函數的最大值為432，最小值為?12；

（3）如圖1：線段MN與二次函數y=-x2+4x+n的相關函數的圖象恰有1個公共點．

∴當x=2時，y=1，

∴-4+8+n=1，解得n=-3．

線段MN與二次函數y=-x2+4x+n的相關函數的圖象恰有3個公共點．如圖2所示：

∵拋物線y=x2【解析】【分析】（1）將A點的坐標代入y=ax?5，轉化為關于a的方程求解；

（2）先求出二次函數的相關函數，①根據m的符號，分兩種情況，分別求出m的值；②當-3≤x＜0時，y=x2-4x+12，然后可此時的最值，

當0≤x≤3時，函數y=-x2+4x-12，求得此時的最值，（3）先確定出二次函數y=-x2+4x+n的相關函數，求出它與線段MN恰好有1個交點、2個交點、3個交點時n的值，再結合函數圖象可確定出n的取值范圍．25．【答案】（1）解：①∵BC=BC，

∴∠BAC=∠BDC，

∵BD為⊙O直徑，

∴∠BCD=90°，

∵BC=3CD=18，

∴tan∠BAC=tan∠BDC=BCDC=3DCDC=3；

②如圖，連接CO，過點A作AE⊥BC于點E，

∵∠BCD=90°，BC=3CD=18，

∴BD=BC2+CD2=182+62=610，

S△BCD=12×6×18=54，

∵BO=DO，

∴S△ABO=S△ADO=12S△ABD，S△BCO=S△DCO=12S△BCD，

∴AO=12BD=310，

∵AB=AC，

∴CE=BE，

∴AE垂直平分BC，

∵BO=CO，

∴點O在AE上，（2）解：設AD=x，

∵AB=AC，

∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，

∵BC=BC，

∴∠BDC=∠BAC，

∵∠BDC=∠AFC，

∴∠BAC=∠AFC，

∴AC=CF，

∴AB=CF，

∵AB=AB，

∴∠ADB=∠ACB，

∴∠FBC=∠ADB，

∵AB=AC，AE=CD，

∴BE=AD，

∴∠BCF=∠ABD，

∴△BCF≌△DBA，

∴BF=AD，∠BFC=∠BAD，BD=BC=18，

∴FM∥AD，

∴FM