2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期5月月考卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則m的值為（）A. B.0 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)在第四象限，可得實(shí)部為正且虛部為負(fù)即得.【詳解】由可得，又m為整數(shù)，所以.故選：B.2.某射擊運(yùn)動(dòng)員7次的訓(xùn)練成績(jī)分別為:86，88，90，89，88，87，85，則這7次成績(jī)的第80百分位數(shù)為（）A.88.5 B.89 C.91 D.89.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】7次的訓(xùn)練成績(jī)從小到大排列為：85，86，87，88，88，89，90，，所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第個(gè)數(shù)據(jù)，即89，故選：B3.已知向量滿足，且，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)得，進(jìn)而得，即可得.【詳解】因?yàn)椋裕?故選：B4.設(shè)l是直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】舉例說(shuō)明判斷ACD；利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理判斷D.【詳解】對(duì)于A，若相交，令，當(dāng)，且時(shí)，滿足，，顯然不平行，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則存在直線，使得，而，則，因此，B正確；對(duì)于C，若，令，當(dāng)且時(shí)，滿足，而與不平行，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，令，當(dāng)，時(shí)，有，此時(shí)或，與不垂直，D錯(cuò)誤．故選：B5.已知和是兩個(gè)不共線的向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得，列出方程組即可得解.【詳解】因?yàn)椋遥c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，解得.故選：B6.在正方體中，E是的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得異面直線DE與AC所成角為（或的補(bǔ)角），在中利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/，且，則為平行四邊形，可得//，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，所以//，故異面直線DE與AC所成角為（或的補(bǔ)角），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，在中，由余弦定理，所以異面直線DE與AC所成角余弦值是.故選：D.7.已知三棱錐中，，，平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證得面，從而可得，在上取一點(diǎn)，使得，則為球心，在中，由勾股定理即可求出外接球的半徑，再由球的表面積公式即可得到答案．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，又平面平面，平面平面，平面，所以面，又平面，所以，在上取一點(diǎn)，使得，則為球心，設(shè)球的半徑為，因?yàn)椋詾橹苯侨切危譃榈闹悬c(diǎn)，所以，又，又在中，，即，解得.所以外接球表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球表面積的求法，考查空間想象力，屬于中檔題．8.在銳角中，若，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理可得，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，可得，由及銳角三角形中可得，從而可得答案.【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，.當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，所以，即，所以，因?yàn)殇J角三角形中，，則，故，而，則，所以，綜上所述，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則C. D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A；由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及實(shí)數(shù)0的含義判斷選項(xiàng)B；由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)判斷選項(xiàng)C；由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念判斷選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)，對(duì)于A，，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t，則或，所以中至少有一個(gè)0，即或，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)可知，，=，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，當(dāng)，則，可得，解得，即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10.如圖，垂直于以為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)是圓周上異于、的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C平面 D.平面平面【答案】BD【解析】【分析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用面面垂直的判定定理可判斷D選項(xiàng)；利用反證法可判斷AC選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槠矫妫矫妫裕驗(yàn)辄c(diǎn)是以為直徑的圓上且異于、的任一點(diǎn)，，則，因?yàn)椋⑵矫妫裕矫妫驗(yàn)槠矫妫裕矫嫫矫妫珺對(duì)D對(duì)；因?yàn)槠矫妫矫妫瑒t，則為銳角，即與不垂直，故與平面不垂直，C錯(cuò)；若，又因?yàn)椋⑵矫妫裕矫妫cC選項(xiàng)矛盾，A錯(cuò).故選：BD.11.中，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則為銳角三角形．B.若，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心．C.若為重心，則D.若點(diǎn)滿足，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)可確定角為銳角，但不一定為銳角三角形，可判定A；根據(jù)單位向量、共線向量的概念可判斷B；根據(jù)向量的加法運(yùn)算可確定C；根據(jù)向量的數(shù)量積以及向量模的運(yùn)算可確定D．【詳解】選項(xiàng)A：若，則，因此角為銳角，但不一定為銳角三角形，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因?yàn)榉謩e表示方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線一致．若，則的方向與的角平分線一致，所以點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，故B正確；選項(xiàng)C：若為的重心，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，故C正確；選項(xiàng)D：設(shè)的中點(diǎn)為，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)為外心，于是有．又，則，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為，母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的體積為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，列出方程求得上，下底面半徑以及高，再由圓臺(tái)的體積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)上底面半徑為，則下底面半徑為，高為，因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為10，所以，解得，所以下底面半徑為，高，則體積.故答案為：13.某工廠年前加緊手套生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)天生產(chǎn)的手套數(shù)依次為（單位：萬(wàn)只）．若這組數(shù)據(jù)的方差為，且，則該工廠這天平均每天生產(chǎn)手套___________萬(wàn)只．【答案】【解析】【分析】由可直接求得結(jié)果.【詳解】，.故答案為：.14.如圖，在中，已知，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，且，直線與相交于點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理和三點(diǎn)共線知識(shí)可得，然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律求解可得.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，且，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)x滿足，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，而，且，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.新冠肺炎疫情期間，某地為了解本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機(jī)抽取若干居民進(jìn)行評(píng)分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)本次評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，并精確到0.1）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為1運(yùn)算求解；（2）根據(jù)平均數(shù)公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，解得.【小問(wèn)2詳解】估計(jì)本次評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù).16.已知向量.（1）求；（2）設(shè)的夾角為，求的值；（3）若向量與互相垂直，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；（2）利用向量夾角的坐標(biāo)公式求解即可；（3）利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋裕弧拘?wèn)2詳解】的夾角為，則；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋裕上蛄颗c互相垂直得，，所以，化簡(jiǎn)得，解得.17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D是AC邊上的點(diǎn)，.（1）求的大小；（2）若，，求BC的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理角化邊，整理可得，然后根據(jù)余弦定理即可求得，進(jìn)而根據(jù)角的范圍，即可得出答案；（2）在以及中，分別根據(jù)余弦定理，結(jié)合，整理化簡(jiǎn)可得.在中，根據(jù)余弦定理推出.聯(lián)立兩個(gè)方程，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理以及已知可得，，整理可得，.由余弦定理可得，.又，所以.【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理可得，.在中，由余弦定理可得，.又，所以，即，整理可得.因?yàn)椋谥校捎嘞叶ɡ砜傻茫矗砜傻茫?聯(lián)立可得.所以，.18.如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點(diǎn).（1）求證：B，C，H，G四點(diǎn)共面；（2）求證：平面；（3）若底面邊長(zhǎng)為2，，求三棱錐體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）借助三角形的中位線，證明，可得B，C，H，G四點(diǎn)共面；（2）證明，平面，（3）由，求三棱錐的體積.【小問(wèn)1詳解】∵G，H分別是，的中點(diǎn)，∴GH是的中位線，∴，又在三棱柱中，，∴，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．【小問(wèn)2詳解】∵在三棱柱中，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.【小問(wèn)3詳解】由題意，知．19.如圖，已知菱形所在平面與矩形所在平面相互垂直，且，是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)．（1）與所成的角是否為定值，試說(shuō)明理由；（2）若二面角為，求四面體的體積．【答案】（1）與所成角為定值，理由見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可證明平面，由線面垂直證明線