上海市靜安區2025屆高三四月調研測試數學試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線與拋物線C：交于A，B兩點，直線，且l與C相切，切點為P，記的面積為S，則的最小值為A． B． C． D．2．已知，如圖是求的近似值的一個程序框圖，則圖中空白框中應填入A． B．C． D．3．定義運算，則函數的圖象是（）．A． B．C． D．4．已知數列的前項和為，且，，則()A． B． C． D．5．已知曲線且過定點，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．6．記個兩兩無交集的區間的并集為階區間如為2階區間，設函數，則不等式的解集為（）A．2階區間 B．3階區間 C．4階區間 D．5階區間7．已知數列的通項公式為，將這個數列中的項擺放成如圖所示的數陣.記為數陣從左至右的列，從上到下的行共個數的和，則數列的前2020項和為（）A． B． C． D．8．從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線，垂足為，且，設拋物線的焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．9．展開項中的常數項為A．1 B．11 C．-19 D．5110．已知函數（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（）A． B．C． D．11．下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數除以正整數所得的余數是”記為“”，例如.執行該程序框圖，則輸出的等于（）A．16 B．17 C．18 D．1912．洛書，古稱龜書，是陰陽五行術數之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數，四角黑點為陰數．如圖，若從四個陰數和五個陽數中分別隨機選取1個數，則其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關于的不等式在時恒成立，則實數的取值范圍是_____14．的展開式中，的系數為____________.15．在直角坐標系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標分別為，函數的圖象經過該三角形的三個頂點，則的解析式為___________.16．曲線在點處的切線方程為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點到拋物線C：y1=1px準線的距離為1．（Ⅰ）求C的方程及焦點F的坐標；（Ⅱ）設點P關于原點O的對稱點為點Q，過點Q作不經過點O的直線與C交于兩點A，B，直線PA，PB，分別交x軸于M，N兩點，求的值．18．（12分）已知圓,定點,為平面內一動點，以線段為直徑的圓內切于圓，設動點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程（2）過點的直線與交于兩點，已知點，直線分別與直線交于兩點，線段的中點是否在定直線上，若存在，求出該直線方程；若不是，說明理由.19．（12分）已知點，若點滿足.（Ⅰ）求點的軌跡方程；（Ⅱ）過點的直線與（Ⅰ）中曲線相交于兩點，為坐標原點，求△面積的最大值及此時直線的方程.20．（12分）設橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，橢圓的離心率是，的面積是.（1）求橢圓的標準方程.（2）直線與橢圓交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.21．（12分）某超市在節日期間進行有獎促銷，規定凡在該超市購物滿400元的顧客，均可獲得一次摸獎機會.摸獎規則如下：獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球（紅、黃、黑、白）.顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則摸獎停止，否則就繼續摸球.按規定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵.（1）求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率；（2）記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數額，求隨機變量X的分布列和數學期望.22．（10分）管道清潔棒是通過在管道內釋放清潔劑來清潔管道內壁的工具，現欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內恰好處于位置（圖中給出的數據是圓管內壁直徑大小，）.（1）請用角表示清潔棒的長；（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

設出坐標，聯立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求得到的距離，得到的面積為，作差后利用導數求最值．【詳解】設，，聯立，得則，則由，得設，則，則點到直線的距離從而．令當時，；當時，故，即的最小值為本題正確選項：本題考查直線與拋物線位置關系的應用，考查利用導數求最值的問題．解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用構造函數關系的方式，然后結合導數或者利用函數值域的方法來求解最值.2．C【解析】

由于中正項與負項交替出現，根據可排除選項A、B；執行第一次循環：，①若圖中空白框中填入，則，②若圖中空白框中填入，則，此時不成立，；執行第二次循環：由①②均可得，③若圖中空白框中填入，則，④若圖中空白框中填入，則，此時不成立，；執行第三次循環：由③可得，符合題意，由④可得，不符合題意，所以圖中空白框中應填入，故選C．3．A【解析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值，因此函數，只有選項中的圖象符合要求，故選A.4．C【解析】

根據已知條件判斷出數列是等比數列，求得其通項公式，由此求得.【詳解】由于，所以數列是等比數列，其首項為，第二項為，所以公比為.所以，所以.故選：C本小題主要考查等比數列的證明，考查等比數列通項公式，屬于基礎題.5．A【解析】

根據指數型函數所過的定點，確定，再根據條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,，當且僅當時等號成立，即時取得最小值.故選：A本題考查指數型函數的性質，以及基本不等式求最值，意在考查轉化與變形，基本計算能力，屬于基礎題型.6．D【解析】

可判斷函數為奇函數，先討論當且時的導數情況，再畫出函數大致圖形，將所求區間端點值分別看作對應常函數，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變為，由圖像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區間.故選：D本題考查由函數的奇偶性，單調性求解對應自變量范圍，導數法研究函數增減性，數形結合思想，轉化與化歸思想，屬于難題7．D【解析】

由題意，設每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項相消即可求解.【詳解】由題意，設每一行的和為故因此：故故選：D本題考查了等差數列型數陣的求和，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.8．A【解析】

根據拋物線的性質求出點坐標和焦點坐標，進而求出點的坐標，代入斜率公式即可求解.【詳解】設點的坐標為，由題意知，焦點,準線方程，所以，解得，把點代入拋物線方程可得，，因為，所以，所以點坐標為，代入斜率公式可得，.故選：A本題考查拋物線的性質，考查運算求解能力；屬于基礎題.9．B【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數項，有3種情況：（1）5個括號都出1，即；（2）兩個括號出，兩個括號出，一個括號出1，即；（3）一個括號出，一個括號出，三個括號出1，即；所以展開項中的常數項為，故選B.本題考查二項式定理知識的生成過程，考查定理的本質，即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.10．A【解析】

是函數的零點，根據五點法求出圖中零點及軸左邊第一個零點可得．【詳解】由題意，，∴函數在軸右邊的第一個零點為，在軸左邊第一個零點是，∴的最小值是．故選：A.本題考查三角函數的周期性，考查函數的對稱性．函數的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標．11．B【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，代入四個選項進行驗證即可.【詳解】解：由程序框圖可知，輸出的數應為被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整數.若輸出，則不符合題意，排除；若輸出，則，符合題意.故選:B.本題考查了程序框圖.當循環的次數不多，或有規律時，常采用循環模擬或代入選項驗證的方法進行解答.12．A【解析】

基本事件總數，利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個，由此能求出其和等于11的概率．【詳解】解：從四個陰數和五個陽數中分別隨機選取1個數，基本事件總數，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4個，其和等于的概率．故選：．本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用對數函數的單調性，將不等式去掉對數符號，再依據分離參數法，轉化成求構造函數最值問題，進而求得的取值范圍。【詳解】由得，兩邊同除以，得到，，，設，，由函數在上遞減，所以，故實數的取值范圍是。本題主要考查對數函數的單調性，以及恒成立問題的常規解法——分離參數法。14．16【解析】

要得到的系數，只要求出二項式中的系數減去的系數的2倍即可【詳解】的系數為.故答案為：16此題考查二項式的系數，屬于基礎題.15．【解析】

結合題意先畫出直角坐標系，點出所有可能組成等腰直角三角形的點，采用排除法最終可確定為點，再由函數性質進一步求解參數即可【詳解】等腰直角三角形的第三個頂點可能的位置如下圖中的點，其中點與已有的兩個頂點橫坐標重復，舍去；若為點則點與點的中間位置的點的縱坐標必然大于或小于，不可能為，因此點也舍去，只有點滿足題意.此時點為最大值點，所以，又，則，所以點，之間的圖像單調，將，代入的表達式有由知，因此.故答案為：本題考查由三角函數圖像求解解析式，數形結合思想，屬于中檔題16．【解析】

對函數求導，得出在處的一階導數值，即得出所求切線的斜率，再運用直線的點斜式求出切線的方程.【詳解】令，，所以，又，所求切線方程為，即.故答案為：.本題考查運用函數的導函數求函數在切點處的切線方程，關鍵在于求出在切點處的導函數值就是切線的斜率，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(Ⅰ)C的方程為,焦點F的坐標為(1,0)；（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）根據拋物線定義求出p，即可求C的方程及焦點F的坐標；

（Ⅱ）設點A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線AB斜率存在且不為0，設直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0)，與拋物線聯立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韋達定理以及弦長公式，轉化求解|MF|?|NF|的值．【詳解】(Ⅰ)由已知得，所以p=1.所以拋物線C的方程為,焦點F的坐標為(1,0)；(II)設點A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線AB斜率存在且不為0.設直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0).由得，則,.因為點A,B在拋物線C上,所以,.因為PF⊥x軸，所以，所以|MF|?|NF|的值為1.本題考查拋物線的定義、標準方程及直線與拋物線中的定值問題，常用韋達定理設而不求來求解，本題解題關鍵是找出弦長與斜率之間的關系進行求解，屬于中等題.18．（1）；（2）存在，.【解析】

（1）設以為直徑的圓心為，切點為，取關于軸的對稱點，連接，計算得到，故軌跡為橢圓，計算得到答案.（2）設直線的方程為，設，聯立方程得到，，計算，得到答案.【詳解】（1）設以為直徑的圓心為，切點為，則，取關于軸的對稱點，連接，故，所以點的軌跡是以為焦點，長軸為4的橢圓，其中，曲線方程為.（2）設直線的方程為，設，直線的方程為，同理，所以，即，聯立，所以，代入得，所以點都在定直線上.本題考查了軌跡方程，定直線問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最大值為，此時直線的方程為.【解析】

（1）根據橢圓的定義求解軌跡方程；（2）設出直線方程后，采用（表示原點到直線的距離）表示面積，最后利用基本不等式求解最值.【詳解】解：（Ⅰ）由定義法可得，點的軌跡為橢圓且，.因此橢圓的方程為.（Ⅱ）設直線的方程為與橢圓交于點，，聯立直線與橢圓的方程消去可得，即，.面積可表示為令，則，上式可化為，當且僅當，即時等號成立，因此面積的最大值為，此時直線的方程為.常見的利用定義法求解曲線的軌跡方程問題：（1）已知點，若點滿足且，則的軌跡是橢圓；（2）已知點，若點滿足且，則的軌跡是雙曲線.20．（1）；（2）證明見解析，.【解析】

（1）根據離心率和的面積是得到方程組，計算得到答案.（2）先排除斜率為0時的情況，設，，聯立方程組利用韋達定理得到，，根據化簡得到，代入直線方程得到答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，，則橢圓的標準方程是.（2）當直線的斜率為0時，直線與直線關于軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設條件矛盾，故直線的斜