精算師高頻真題題庫2024數學基礎部分

1.已知隨機變量$X$服從參數為$\lambda$的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，則$\lambda$的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B。泊松分布概率公式為$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，由$P(X=1)=P(X=2)$可得$\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2!}$，化簡得$\lambda=2$。

2.設隨機變量$X$和$Y$相互獨立，且都服從標準正態分布$N(0,1)$，則$Z=X+Y$服從（）

A.$N(0,1)$

B.$N(0,2)$

C.$N(1,1)$

D.$N(1,2)$

答案：B。若$X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})$，$Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})$，且$X$與$Y$相互獨立，則$X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})$，這里$\mu_1=\mu_2=0$，$\sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}=1$，所以$Z=X+Y\simN(0,2)$。

3.已知函數$f(x)=\begin{cases}ax+b,&0\leqx\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}$是某連續型隨機變量的概率密度函數，且$E(X)=\frac{7}{12}$，則$a$和$b$的值分別為（）

A.$a=1$，$b=\frac{1}{2}$

B.$a=2$，$b=0$

C.$a=1$，$b=0$

D.$a=2$，$b=\frac{1}{2}$

答案：A。由概率密度函數性質$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$，可得$\int_{0}^{1}(ax+b)dx=1$，即$[\frac{ax^{2}}{2}+bx]_0^1=\frac{a}{2}+b=1$；又$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x(ax+b)dx=\frac{7}{12}$，即$[\frac{ax^{3}}{3}+\frac{bx^{2}}{2}]_0^1=\frac{a}{3}+\frac{2}=\frac{7}{12}$，聯立方程組$\begin{cases}\frac{a}{2}+b=1\\\frac{a}{3}+\frac{2}=\frac{7}{12}\end{cases}$，解得$a=1$，$b=\frac{1}{2}$。

4.設總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}$，則$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$服從（）

A.$\chi^{2}(n-1)$

B.$\chi^{2}(n)$

C.$t(n-1)$

D.$t(n)$

答案：A。這是一個重要的抽樣分布結論，$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)$。

5.已知$X$是離散型隨機變量，其分布列為$P(X=k)=\frac{C}{k(k+1)}$，$k=1,2,3$，則$C$的值為（）

A.$\frac{3}{4}$

B.$\frac{4}{3}$

C.$\frac{1}{2}$

D.2

答案：B。由分布列的性質$\sum_{k=1}^{3}P(X=k)=1$，即$C\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{k(k+1)}=1$，而$\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{3}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}$，所以$C\times\frac{3}{4}=1$，解得$C=\frac{4}{3}$。

6.設隨機變量$X$服從區間$[a,b]$上的均勻分布，若$E(X)=2$，$D(X)=\frac{1}{3}$，則$a$和$b$的值分別為（）

A.$a=1$，$b=3$

B.$a=0$，$b=4$

C.$a=-1$，$b=5$

D.$a=2$，$b=2$

答案：A。均勻分布$X\simU(a,b)$的期望$E(X)=\frac{a+b}{2}$，方差$D(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}$，由$\begin{cases}\frac{a+b}{2}=2\\\frac{(b-a)^{2}}{12}=\frac{1}{3}\end{cases}$，解方程組可得$a=1$，$b=3$。

7.設$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，總體$X$的均值為$\mu$，方差為$\sigma^{2}$，則樣本均值$\overline{X}$的方差為（）

A.$\sigma^{2}$

B.$\frac{\sigma^{2}}{n}$

C.$n\sigma^{2}$

D.$\sigma^{2}/n^{2}$

答案：B。根據樣本均值的性質，$D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}=\frac{\sigma^{2}}{n}$。

8.已知隨機變量$X$服從二項分布$B(n,p)$，且$E(X)=3$，$D(X)=2$，則$n$和$p$的值分別為（）

A.$n=9$，$p=\frac{1}{3}$

B.$n=6$，$p=\frac{1}{2}$

C.$n=3$，$p=1$

D.$n=12$，$p=\frac{1}{4}$

答案：A。二項分布$B(n,p)$的期望$E(X)=np$，方差$D(X)=np(1-p)$，由$\begin{cases}np=3\\np(1-p)=2\end{cases}$，將$np=3$代入$np(1-p)=2$得$3(1-p)=2$，解得$p=\frac{1}{3}$，再代入$np=3$得$n=9$。

9.設隨機變量$X$的概率密度函數為$f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，則$P(X\gt\frac{1}{2})$等于（）

A.$\frac{1}{4}$

B.$\frac{3}{4}$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{2}{3}$

答案：B。$P(X\gt\frac{1}{2})=\int_{\frac{1}{2}}^{1}2xdx=[x^{2}]_{\frac{1}{2}}^{1}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。

10.設$X$和$Y$是兩個隨機變量，已知$Cov(X,Y)=0$，則下列結論正確的是（）

A.$X$和$Y$相互獨立

B.$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

C.$E(XY)=E(X)E(Y)$

D.以上都不對

答案：B。$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$只能推出$E(XY)=E(X)E(Y)$，但不能推出$X$和$Y$相互獨立；而$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，當$Cov(X,Y)=0$時，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。

利息理論部分

11.已知年利率為$6\%$，按半年復利計息，則實際利率為（）

A.$6\%$

B.$6.09\%$

C.$6.12\%$

D.$6.18\%$

答案：B。實際利率$i=(1+\frac{r}{m})^{m}-1$，其中$r=6\%$，$m=2$，則$i=(1+\frac{0.06}{2})^{2}-1=0.0609=6.09\%$。

12.某人在年初存入銀行1000元，年利率為$5\%$，按單利計算，5年后的本利和為（）

A.1200元

B.1250元

C.1300元

D.1350元

答案：B。單利本利和公式$A=P(1+in)$，其中$P=1000$元，$i=5\%$，$n=5$，則$A=1000\times(1+0.05\times5)=1250$元。

13.一項投資的年實際利率為$8\%$，若按連續復利計算，其名義利率為（）

A.$\ln(1+0.08)$

B.$e^{0.08}-1$

C.$0.08$

D.$\frac{0.08}{e}$

答案：A。連續復利名義利率$\delta=\ln(1+i)$，這里$i=8\%$，所以$\delta=\ln(1+0.08)$。

14.某人每年年末存入銀行1000元，年利率為$4\%$，按復利計算，5年后的年金終值為（）（已知$(F/A,4\%,5)=5.4163$）

A.5416.3元

B.5200元

C.5633.2元

D.5866.6元

答案：A。普通年金終值公式$F=A\times(F/A,i,n)$，其中$A=1000$元，$i=4\%$，$n=5$，所以$F=1000\times5.4163=5416.3$元。

15.某債券面值為1000元，票面利率為$5\%$，期限為3年，每年付息一次，若市場利率為$6\%$，則該債券的價格為（）（已知$(P/A,6\%,3)=2.6730$，$(P/F,6\%,3)=0.8396$）

A.973.27元

B.1000元

C.1027.75元

D.1050元

答案：A。債券價格$P=I\times(P/A,r,n)+M\times(P/F,r,n)$，其中$I=1000\times5\%=50$元，$M=1000$元，$r=6\%$，$n=3$，則$P=50\times2.6730+1000\times0.8396=973.27$元。

16.已知一項投資在3年后的終值為1331元，年利率為$10\%$，按復利計算，其現值為（）

A.1000元

B.1100元

C.1200元

D.1300元

答案：A。復利現值公式$P=F\times(P/F,i,n)$，其中$F=1331$元，$i=10\%$，$n=3$，$(P/F,10\%,3)=\frac{1}{(1+0.1)^{3}}=\frac{1}{1.331}$，所以$P=1331\times\frac{1}{1.331}=1000$元。

17.某人在第1年末存入銀行500元，第2年末存入300元，第3年末存入100元，年利率為$5\%$，則第3年末的本利和為（）

A.950元

B.975.25元

C.1000元

D.1025.75元

答案：B。第1年末存入的500元到第3年末的本利和為$500\times(1+0.05)^{2}=551.25$元；第2年末存入的300元到第3年末的本利和為$300\times(1+0.05)=315$元；第3年末存入的100元本利和就是100元，所以第3年末的本利和為$551.25+315+100=975.25$元。

18.一項年金每年年初支付100元，共支付5年，年利率為$4\%$，則該年金的現值為（）（已知$(P/A,4\%,5)=4.4518$）

A.428.06元

B.445.18元

C.463.09元

D.480.82元

答案：C。先付年金現值公式$P=A\times[(P/A,i,n-1)+1]$，這里$A=100$元，$i=4\%$，$n=5$，則$P=100\times[(P/A,4\%,4)+1]$，$(P/A,4\%,4)=4.4518-\frac{1}{1.04}=3.6299$，所以$P=100\times(3.6299+1)=463.09$元。

19.若年實際利率為$i$，則1元本金在$n$期后的終值按復利計算為（）

A.$(1+i)^{n}$

B.$1+in$

C.$e^{in}$

D.$\frac{1}{(1+i)^{n}}$

答案：A。復利終值公式$F=P(1+i)^{n}$，當$P=1$時，$F=(1+i)^{n}$。

20.某投資項目在第1年年初投入1000元，第1年年末獲得收益200元，第2年年末獲得收益300元，第3年年末獲得收益500元，若年利率為$5\%$，則該項目的凈現值為（）

A.-100元

B.-23.27元

C.23.27元

D.100元

答案：B。凈現值$NPV=-1000+\frac{200}{1+0.05}+\frac{300}{(1+0.05)^{2}}+\frac{500}{(1+0.05)^{3}}=-1000+190.48+272.11+431.92=-23.27$元。

生命表與風險理論部分

21.在生命表中，$l_x$表示（）

A.$x$歲的生存人數

B.$x$歲的死亡人數

C.$x$歲到$x+1$歲的死亡概率

D.$x$歲到$x+1$歲的生存概率

答案：A。$l_x$表示$x$歲的生存人數，$d_x$表示$x$歲到$x+1$歲的死亡人數，$q_x=\frac{d_x}{l_x}$表示$x$歲到$x+1$歲的死亡概率，$p_x=1-q_x$表示$x$歲到$x+1$歲的生存概率。

22.已知生命表中$l_{60}=1000$，$l_{61}=980$，則$q_{60}$的值為（）

A.0.02

B.0.98

C.0.01

D.0.99

答案：A。$q_{60}=\frac{l_{60}-l_{61}}{l_{60}}=\frac{1000-980}{1000}=0.02$。

23.設$T(x)$表示$x$歲的人未來存活的時間，$S(t)=P(T(x)\gtt)$為生存函數，則$f(t)$（$T(x)$的概率密度函數）為（）

A.$-S^\prime(t)$

B.$S^\prime(t)$

C.$\frac{S^\prime(t)}{S(t)}$

D.$\frac{-S^\prime(t)}{S(t)}$

答案：A。因為$S(t)=\int_{t}^{+\infty}f(u)du$，根據變上限積分求導法則，$S^\prime(t)=-f(t)$，所以$f(t)=-S^\prime(t)$。

24.在風險理論中，理賠次數$N$服從參數為$\lambda$的泊松分布，每次理賠額$X$相互獨立且同分布，且$E(X)=\mu$，則理賠總額$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的期望為（）

A.$\lambda$

B.$\mu$

C.$\lambda\mu$

D.$\lambda+\mu$

答案：C。根據復合泊松分布的期望公式$E(S)=E(N)E(X)$，已知$E(N)=\lambda$，$E(X)=\mu$，所以$E(S)=\lambda\mu$。

25.已知生存函數$S(t)=1-\frac{t}{100}$，$0\leqt\leq100$，則$20$歲的人在$30$歲到$40$歲之間死亡的概率為（）

A.$\frac{1}{10}$

B.$\frac{1}{5}$

C.$\frac{3}{10}$

D.$\frac{2}{5}$

答案：A。$_{10|10}q_{20}=\frac{S(30)-S(40)}{S(20)}=\frac{(1-\frac{30}{100})-(1-\frac{40}{100})}{1-\frac{20}{100}}=\frac{\frac{10}{100}}{\frac{80}{100}}=\frac{1}{10}$。

26.設風險模型中，保費收入過程$P(t)=ct$，理賠過程$S(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}X_i$，其中$N(t)$是參數為$\lambda$的泊松過程，$X_i$相互獨立同分布，且$E(X_i)=\mu$，初始準備金為$u$，則盈余過程$U(t)$為（）

A.$u+ct-S(t)$

B.$u-ct+S(t)$

C.$ct-S(t)$

D.$S(t)-ct$

答案：A。盈余過程$U(t)=u+P(t)-S(t)=u+ct-S(t)$。

27.在生命表中，$e_{x}$表示（）

A.$x$歲的人未來的平均余命

B.$x$歲的人未來的最大余命

C.$x$歲的人在1年內的死亡概率

D.$x$歲的人在1年內的生存概率

答案：A。$e_{x}$表示$x$歲的人未來的平均余命。

28.已知理賠次數$N$服從二項分布$B(n,p)$，每次理賠額$X$相互獨立且同分布，$E(X)=\mu$，則理賠總額$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的期望為（）

A.$n$

B.$p$

C.$np\mu$

D.$np+\mu$

答案：C。$E(S)=E(N)E(X)$，對于二項分布$B(n,p)$，$E(N)=np$，$E(X)=\mu$，所以$E(S)=np\mu$。

29.設生存函數$S(t)=e^{-\frac{t}{50}}$，則$20$歲的人活到$30$歲的概率為（）

A.$e^{-\frac{1}{5}}$

B.$e^{-\frac{2}{5}}$

C.$e^{-\frac{3}{5}}$

D.$e^{-\frac{4}{5}}$

答案：A。$_{10}p_{20}=\frac{S(30)}{S(20)}=\frac{e^{-\frac{30}{50}}}{e^{-\frac{20}{50}}}=e^{-\frac{1}{5}}$。

30.在風險理論中，調節系數$R$滿足的方程為（）

A.$E(e^{RX})=1$

B.$E(e^{-RX})=1$

C.$E(Xe^{RX})=1$

D.$E(Xe^{-RX})=1$

答案：A。調節系數$R$滿足的方程為$E(e^{RX})=1$，其中$X$通常是理賠額等隨機變量。

精算模型與定價部分

31.對于完全離散型終身壽險，保額為1，設年利率為$i$，死亡率為$q_x$，則躉繳純保費$A_x$為（）

A.$vq_x+v^{2}p_xq_{x+1}+v^{3}p_xp_{x+1}q_{x+2}+\cdots$

B.$q_x+p_xq_{x+1}+p_xp_{x+1}q_{x+2}+\cdots$

C.$v(1-q_x)+v^{2}(1-q_x)(1-q_{x+1})+v^{3}(1-q_x)(1-q_{x+1})(1-q_{x+2})+\cdots$

D.$(1-q_x)+(1-q_x)(1-q_{x+1})+(1-q_x)(1-q_{x+1})(1-q_{x+2})+\cdots$

答案：A。完全離散型終身壽險躉繳純保費$A_x=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}_{k}p_xq_{x+k}$，其中$v=\frac{1}{1+i}$，$_{k}p_x=\prod_{j=0}^{k-1}p_{x+j}$，所以$A_x=vq_x+v^{2}p_xq_{x+1}+v^{3}p_xp_{x+1}q_{x+2}+\cdots$。

32.對于完全連續型1年期定期壽險，保額為1，設死亡率為$\mu_x$，利息力為$\delta$，則躉繳純保費$\overline{A}_{x:\overline{1|}}$為（）

A.$\int_{0}^{1}e^{-\deltat}\mu_{x+t}dt$

B.$\int_{0}^{1}e^{\deltat}\mu_{x+t}dt$

C.$\int_{0}^{1}(1-e^{-\deltat})\mu_{x+t}dt$

D.$\int_{0}^{1}(1-e^{\deltat})\mu_{x+t}dt$

答案：A。完全連續型1年期定期壽險躉繳純保費$\overline{A}_{x:\overline{1|}}=\int_{0}^{1}e^{-\deltat}\mu_{x+t}dt$。

33.在保險定價中，采用平衡原理確定保費時，保費$P$滿足（）

A.$E(P)=E(L)$（$L$為損失隨機變量）

B.$P=E(L)$

C.$P=Var(L)$

D.$P=E(L)+Var(L)$

答案：B。平衡原理是指保費等于期望損失，即$P=E(L)$。

34.對于完全離散型$n$年期生存保險，保額為1，設年利率為$i$，則躉繳純保費$A_{x:\overline{n|}}^{1}$為（）

A.$v^{n}_{n}p_x$

B.$vq_x+v^{2}p_xq_{x+1}+\cdots+v^{n}p_x\cdotsp_{x