數(shù)學(xué)好玩2神奇的莫比烏斯帶第一部分第一部分知識(shí)清單將一張紙條扭轉(zhuǎn)180后，兩頭再粘接在一起形成“神奇的帶子”，即莫比烏斯帶。在莫比烏斯帶上取一點(diǎn)，從這點(diǎn)開(kāi)始涂色，不能翻過(guò)邊緣一直涂下去，莫比烏斯帶上的顏色總被涂了兩面。在一張長(zhǎng)方形紙條中間畫一條線，再做成莫比烏斯帶，沿紙條上的線把莫比烏斯帶剪開(kāi)，它變成一個(gè)大的紙環(huán)，但不再是莫比烏斯帶。第二部分第二部分典型例題例1：一個(gè)紙環(huán)的內(nèi)側(cè)有一點(diǎn)面包屑，外面有一只螞蟻。如果不讓螞蟻爬過(guò)紙環(huán)的邊緣，螞蟻則不能吃到面包屑。但如果將紙環(huán)做成莫比烏斯帶，螞蟻不需要爬過(guò)紙環(huán)的邊緣就能吃到面包屑。這是因?yàn)槟葹跛箮е挥校?/p>

）個(gè)面。A．三 B．兩 C．一 D．四答案：C分析：將長(zhǎng)方形長(zhǎng)條扭一下，再將兩端粘合，得到了莫比烏斯帶。視覺(jué)上，莫比烏斯帶有兩個(gè)面，但實(shí)際上它只有一個(gè)面。據(jù)此解題。詳解：一個(gè)紙環(huán)的內(nèi)側(cè)有一點(diǎn)面包屑，外面有一只螞蟻。如果不讓螞蟻爬過(guò)紙環(huán)的邊緣，螞蟻則不能吃到面包屑。但如果將紙環(huán)做成莫比烏斯帶，螞蟻不需要爬過(guò)紙環(huán)的邊緣就能吃到面包屑。這是因?yàn)槟葹跛箮е挥幸粋€(gè)面。故答案為：C例2：淘氣用紙片做了一個(gè)莫比烏斯帶，如圖，將莫比烏斯帶沿中間虛線剪開(kāi)，得到的是（

）。

A．兩個(gè)分開(kāi)的紙環(huán) B．一個(gè)大的紙環(huán)，但不是莫比烏斯帶C．一個(gè)大的莫比烏斯帶 D．兩個(gè)套在一起的紙環(huán)答案：B分析：莫比烏斯帶：拿一張白的長(zhǎng)紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一個(gè)身，粘成一個(gè)莫比烏斯帶；用剪刀沿紙帶的中央把它剪開(kāi)；紙帶不僅沒(méi)有一分為二，反而剪出一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙環(huán)；由此求解。詳解：將莫比烏斯帶沿虛線剪開(kāi)，得到一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙環(huán)。故答案為：B例3：下圖是克萊因瓶，這個(gè)瓶子()（填“能”或“不能”）裝滿水。答案：不能分析：一個(gè)瓶子底部有一個(gè)洞，延長(zhǎng)瓶子的頸部，并且扭曲地進(jìn)入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。這就是克萊因瓶。根據(jù)生活實(shí)際，克萊因瓶不能裝滿水。詳解：這個(gè)瓶子不能裝滿水。例4：圖1的紙環(huán)是將一張長(zhǎng)方形紙條兩端粘上得到的，圖2的紙環(huán)是將一張長(zhǎng)方形紙條一端旋轉(zhuǎn)180°，再將兩端粘上得到的。圖2的紙環(huán)叫()。如果從A點(diǎn)沿著紙環(huán)一直涂色（不越過(guò)紙環(huán)的邊緣），圖1中涂色的部分占()%，圖2中涂色的部分占()%。

答案：莫比烏斯帶50100分析：把一根長(zhǎng)方形紙條在某一處扭轉(zhuǎn)一下，再將紙條兩端黏起來(lái)，就形成了莫比烏斯帶。所以，圖2是莫比烏斯帶。涂色時(shí)，圖1只有外面一個(gè)面能夠涂上色，那么涂色部分占50%。莫比烏斯帶只有一個(gè)面，那么涂色時(shí)都能涂上色，涂色部分占100%。詳解：圖2的紙環(huán)叫莫比烏斯帶。如果從A點(diǎn)沿著紙環(huán)一直涂色（不越過(guò)紙環(huán)的邊緣），圖1中涂色的部分占50%，圖2中涂色的部分占100%。：基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、填空題1．如圖是一條莫比烏斯帶，在它的中間畫一條虛線，沿著虛線剪開(kāi)后會(huì)得到()個(gè)圈。2．莫比烏斯帶是用數(shù)學(xué)家莫比烏斯的姓命名的，該數(shù)學(xué)家在1858年研究“四色定理”時(shí)偶然發(fā)現(xiàn)，即把一根紙條一頭扭轉(zhuǎn)()°后，兩頭再粘接起來(lái)做成紙環(huán)，這個(gè)紙環(huán)具有魔術(shù)般的性質(zhì)。一般常見(jiàn)的紙環(huán)具有()的面和()的面兩個(gè)面（即雙側(cè)曲面），兩個(gè)面可以分別涂成()的顏色。而這樣的紙環(huán)只有()面（即單側(cè)曲面），沿著面涂顏色最后涂成的是()顏色。這樣的神奇的單面紙環(huán)后來(lái)就用數(shù)學(xué)家莫比烏斯的姓命名為“()”，也叫“()”。3．把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)紙條先捏著一端，將另一端扭轉(zhuǎn)180°，再粘貼起來(lái)，形成一個(gè)環(huán)，這個(gè)紙環(huán)叫()。4．沿著紙環(huán)的()處剪就會(huì)使一個(gè)小紙環(huán)變成一個(gè)大紙環(huán)。5．沿著紙環(huán)的()處剪就會(huì)使紙環(huán)變成一大一小兩個(gè)紙環(huán)套在一起。二、選擇題6．如圖，沿莫比烏斯圈的二分之一線剪下去，剪出來(lái)的結(jié)果會(huì)是（

）。A．兩個(gè)獨(dú)立的紙環(huán) B．一個(gè)兩倍長(zhǎng)的大紙環(huán)（不是莫比烏斯圈）C．一個(gè)長(zhǎng)方形紙條 D．一個(gè)兩倍長(zhǎng)的莫比烏斯圈7．淘氣用紙片做了一個(gè)莫比烏斯帶，如圖，將莫比烏斯帶沿中間虛線剪開(kāi)，得到的是（

）。A．一個(gè)大的莫比烏斯帶B．兩個(gè)套在一起的紙環(huán)C．兩個(gè)分開(kāi)的紙環(huán)D．一個(gè)大的紙環(huán)，但不是莫比烏斯帶8．如圖，取一條長(zhǎng)方形紙條，沿平行于長(zhǎng)的方向畫2條三等分線，將紙條的兩端粘上，做成一個(gè)莫比烏斯帶。沿莫比烏斯帶的2條三等分線剪開(kāi)，紙帶會(huì)變成（

）個(gè)紙環(huán)。A．1 B．2 C．3 D．49．關(guān)于莫比烏斯帶，以下敘述錯(cuò)誤的是（

）。A．普通紙能做成莫比烏斯帶 B．莫比烏斯帶在生活中有很多應(yīng)用C．莫比烏斯帶只有一個(gè)面 D．莫比烏斯帶是用物理學(xué)家的姓名命名的10．將如圖中的紙環(huán)，沿虛線剪開(kāi)，可以得到（

）個(gè)紙環(huán)。A．1 B．2 C．3三、判斷題11．如圖的整只鞋從鞋底、鞋跟、鞋床到鞋幫都由一整條帶狀皮革環(huán)繞而成，產(chǎn)生了有兩個(gè)普通鞋跟的高度，它們的造型都如同“莫比烏斯帶”。()12．下面各物體的造型都應(yīng)用了莫比烏斯帶。()13．打印機(jī)的色帶就是莫比烏斯帶。這樣就不會(huì)只磨損一面，節(jié)約了材料。()14．有些電動(dòng)機(jī)的皮帶連接成莫比烏斯帶，僅僅是為了好看。()15．過(guò)山車的跑道利用的是莫比烏斯帶的原理。()：基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練四、解答題16．做一做，想一想。①取一條尺寸為10厘米×3厘米的長(zhǎng)方形紙條，沿平行于長(zhǎng)的方向畫2條三等分線。②將紙條的兩端粘上，做一個(gè)莫比烏斯帶。③沿莫比烏斯帶的2條三等分線剪開(kāi)。紙帶會(huì)變成什么樣？是不是莫比烏斯帶？17．取一長(zhǎng)90厘米寬8厘米的長(zhǎng)方形紙條，把兩條寬相對(duì)，然后把其中一邊的紙條扭轉(zhuǎn)180°，與相對(duì)的另一邊連接，用固體膠粘起來(lái)。一只螞蟻從某點(diǎn)沿著所標(biāo)出的路線爬行，直到回到出發(fā)點(diǎn)為止，它爬行的距離大約是多少厘米？

18．如圖的紙條照樣子畫2條虛線，把紙條平均分成三份，做成莫比烏斯帶后再沿虛線剪開(kāi)會(huì)成什么樣子？如果平均分成四份呢？試著做一做。19．在一張紙條的中間畫一條虛線，把紙條平均分成兩份，做成莫比烏斯帶后再沿虛線剪開(kāi)，會(huì)成什么樣子？20．奇思妙想。縣官的兒子偷了農(nóng)民的東西，縣官就在一張紙條的正面寫上：小偷應(yīng)當(dāng)放掉。在紙的另一面寫著：農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押。然而執(zhí)事官卻關(guān)押了小偷，放掉了農(nóng)民。縣官看紙條的時(shí)候，只見(jiàn)紙條上面寫著：應(yīng)該關(guān)押小偷，應(yīng)當(dāng)放掉農(nóng)民。你知道聰明的執(zhí)事官是怎么做的嗎？

1．1/一分析：莫比烏斯帶：拿一張白的長(zhǎng)紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一個(gè)身，粘成一個(gè)莫比烏斯帶；用剪刀沿紙帶的中央把它剪開(kāi)，紙帶不僅沒(méi)有一分為二，反而剪出一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙環(huán)；由此求解。詳解：將莫比烏斯帶沿虛線剪開(kāi)，結(jié)果是一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙環(huán)。因此一條莫比烏斯帶，在它的中間畫一條虛線，沿著虛線剪開(kāi)后會(huì)得到1個(gè)圈。點(diǎn)睛：熟悉莫比烏斯帶的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵，動(dòng)手操作是解決此類問(wèn)題最直接有效的方法。2．180內(nèi)側(cè)外側(cè)不同一個(gè)一種莫比烏斯帶莫比烏斯環(huán)分析：公元1858年，德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）和約翰?李斯丁發(fā)現(xiàn)：把一根紙條扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來(lái)做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。普通紙帶具有兩個(gè)面（即雙側(cè)曲面），一個(gè)內(nèi)側(cè)的面，一個(gè)外側(cè)的面，兩個(gè)面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個(gè)面（即單側(cè)曲面），一只小蟲(chóng)可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過(guò)它的邊緣。這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶”（也叫莫比烏斯環(huán)）（也就是說(shuō)，它的曲面從兩個(gè)減少到只有一個(gè)）。詳解：莫比烏斯帶是用數(shù)學(xué)家莫比烏斯的姓命名的，該數(shù)學(xué)家在1858年研究“四色定理”時(shí)偶然發(fā)現(xiàn)，即把一根紙條一頭扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來(lái)做成紙環(huán)，這個(gè)紙環(huán)具有魔術(shù)般的性質(zhì)。一般常見(jiàn)的紙環(huán)具有內(nèi)側(cè)的面和外側(cè)的面兩個(gè)面（即雙側(cè)曲面），兩個(gè)面可以分別涂成不同的顏色。而這樣的紙環(huán)只有一個(gè)面（即單側(cè)曲面），沿著面涂顏色最后涂成的是一種顏色。這樣的神奇的單面紙環(huán)后來(lái)就用數(shù)學(xué)家莫比烏斯的姓命名為“莫比烏斯帶”，也叫“莫比烏斯環(huán)”。點(diǎn)睛：此題是考查莫比烏斯帶的制作、命名等。3．莫比烏斯圈分析：把長(zhǎng)方形的紙條的一端扭轉(zhuǎn)180，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個(gè)面的紙圈兒，這個(gè)圈就是莫比烏斯圈；由此求解。詳解：把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)紙條先捏著一端，將另一端扭轉(zhuǎn)180°，再粘貼起來(lái)，形成一個(gè)環(huán)，這個(gè)紙環(huán)叫莫比烏斯圈。點(diǎn)睛：本題屬于探究莫比烏斯圈的題目，如果把一張長(zhǎng)方形紙條的首尾粘上，做成一個(gè)有兩個(gè)面的紙圈；如果把長(zhǎng)方形紙條的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個(gè)面的紙圈兒。4．中心線解析：略5．中心線解析：略6．B分析：拿一張白的長(zhǎng)紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端扭轉(zhuǎn)180°，再把兩端連上，就成為一個(gè)莫比烏斯帶，據(jù)此解答。詳解：沿莫比烏斯圈的二分之一線剪下去，剪出來(lái)的結(jié)果會(huì)是一個(gè)兩倍長(zhǎng)的大紙環(huán)（不是莫比烏斯圈）。故答案為：B點(diǎn)睛：學(xué)生可以制作一個(gè)莫比烏斯圈，動(dòng)手操作一下，得出結(jié)果。7．D分析：莫比烏斯帶：拿一張白的長(zhǎng)紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一個(gè)身，粘成一個(gè)莫比烏斯帶，用剪刀沿紙帶的中央把它剪開(kāi)，紙帶不僅沒(méi)有一分為二，反而剪出一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙環(huán)，據(jù)此解答。詳解：淘氣將莫比烏斯帶沿中間虛線剪開(kāi)，得到的是一個(gè)大的紙環(huán)，但不是莫比烏斯帶。故答案為：D點(diǎn)睛：熟知莫比烏斯帶的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵。8．B分析：沿莫比烏斯帶的2條三等分線剪開(kāi)，紙帶會(huì)變成兩個(gè)紙環(huán)，并且相互套在一起，據(jù)此選擇。詳解：由分析可知，沿莫比烏斯帶的2條三等分線剪開(kāi)，紙帶會(huì)變成2個(gè)紙環(huán)。故答案為：B點(diǎn)睛：此題考查了莫比烏斯帶的相關(guān)認(rèn)識(shí)，也可通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)證明。9．D解析：公元1858年，德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）和約翰·李斯丁發(fā)現(xiàn)：把一根紙條扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來(lái)做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。普通紙帶具有兩個(gè)面（即雙側(cè)曲面），一個(gè)正面，一個(gè)反面，兩個(gè)面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個(gè)面（即單側(cè)曲面），一只小蟲(chóng)可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過(guò)它的邊緣。這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶”（也就是說(shuō)，它的曲面從兩個(gè)減少到只有一個(gè)）。詳解：根據(jù)分析可知，D.莫比烏斯帶是用物理學(xué)家的姓名命名的，敘述錯(cuò)誤，應(yīng)該是用數(shù)學(xué)家姓名命名，故答案為：D點(diǎn)睛：理解并掌握“莫比烏斯帶”是解答此題的關(guān)鍵。10．A分析：莫比烏斯帶：拿一張白的長(zhǎng)紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一個(gè)身，粘成一個(gè)莫比烏斯帶，用剪刀沿紙帶的中央把它剪開(kāi)。紙帶不僅沒(méi)有一分為二，反而剪出一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙環(huán)；由此求解。詳解：將圖中的紙環(huán)，沿虛線剪開(kāi)，可以得到一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙環(huán)。故答案為：A點(diǎn)睛：熟知莫比烏斯帶的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵。11．√分析：莫比烏斯把紙條的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將兩端粘在一起，做成只有一個(gè)面、一條封閉曲線作邊界的紙圈；這種紙圈就是“莫比烏斯帶”；根據(jù)“莫比烏斯帶”的特點(diǎn)直接進(jìn)行判斷即可。詳解：根據(jù)分析可知，整只鞋從鞋底、鞋跟、鞋床到鞋幫都由一整條帶狀皮革環(huán)繞而成，產(chǎn)生了有兩個(gè)普通鞋跟的高度，它們的造型都如同“莫比烏斯帶”；這種說(shuō)法是正確的。故答案為：√點(diǎn)睛：本題考查了莫比烏斯帶，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)的，莫比烏斯帶在生活中和生產(chǎn)中都有應(yīng)用。12．√分析：根據(jù)“莫比烏斯帶”的特點(diǎn)直接進(jìn)行判斷即可。詳解：莫比烏斯把紙條兒的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將兩端粘在一起，做成只有一個(gè)面、一條封閉曲線作邊界的紙圈；這種紙圈就是“莫比烏斯帶”；所以整只鞋從鞋底、鞋跟、鞋床到鞋幫都由一整條帶狀皮革環(huán)繞而成，產(chǎn)生了有兩個(gè)普通鞋跟的高度，它們的造型都如同“莫比烏斯帶”；題干的說(shuō)法是正確的。故答案為：√點(diǎn)睛：莫比烏斯帶，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)的，莫比烏斯帶在生活中和生產(chǎn)中都有應(yīng)用。13．√分析：根據(jù)莫比烏斯帶的特點(diǎn)可知：打印機(jī)的色帶是一個(gè)封閉的帶子，它由一個(gè)面組成，這樣可以使色帶的油墨有效輸送量增加一倍。據(jù)此解答。詳解：打印機(jī)的色帶就是莫比烏斯帶，這樣可以使色帶的油墨有效輸送量增加一倍，節(jié)約了材料。所以原說(shuō)法正確。故答案為：√點(diǎn)睛：本題主要考查旋轉(zhuǎn)思想的應(yīng)用，關(guān)鍵培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。14．×分析：用皮帶傳送的動(dòng)力機(jī)械的皮帶就可以做成莫比烏斯帶的形狀，這樣皮帶就不會(huì)只磨損一面了。詳解：有些電動(dòng)機(jī)的皮帶連接成莫比烏斯帶，不