PAGEPAGE1第1講隨意角和弧度制及隨意角的三角函數1．已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：選B．因為點P(tanα，cosα)在第三象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα＜0,cosα＜0))，所以α為其次象限角．2．已知α是其次象限角，P(x，eq\r(5))為其終邊上一點，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，則x等于()A．eq\r(3) B．±eq\r(3)C．－eq\r(2) D．－eq\r(3)解析：選D.依題意得cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x＜0，由此解得x＝－eq\r(3)，故選D.3．集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中的角的終邊所在的范圍(陰影部分)是()解析：選C．當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)；當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2).故選C．4．若角α的終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合為()A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}B．{α|α＝k·2π＋eq\f(3,4)π，k∈Z}C．{α|α＝k·π＋eq\f(3,4)π，k∈Z}D．{α|α＝k·π－eq\f(π,4)，k∈Z}解析：選D.由圖知，角α的取值集合為{α|α＝2nπ＋eq\f(3,4)π，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－eq\f(π,4)，n∈Z}＝{α|α＝(2n＋1)π－eq\f(π,4)，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－eq\f(π,4)，n∈Z}＝{α|α＝kπ－eq\f(π,4)，k∈Z}．5．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：選B．由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及終邊相同的角的概念知，角α的終邊在第四象限，又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1.6．在平面直角坐標系xOy中，角α的終邊與以原點為圓心的單位圓交于點A，點A的縱坐標為eq\f(4,5)，且點A在其次象限，則cosα＝________．解析：因為A點縱坐標yA＝eq\f(4,5)，且A點在其次象限，又因為圓O為單位圓，所以A點橫坐標xA＝－eq\f(3,5)，由三角函數的定義可得cosα＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)7．與角2017°的終邊相同，且在0°～360°內的角是________．解析：因為2017°＝217°＋5×360°，所以在0°～360°內終邊與2017°的終邊相同的角是217°.答案：217°8．一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的eq\f(2,3)，面積等于圓面積的eq\f(5,27)，則扇形的弧長與圓周長之比為________．解析：設圓的半徑為r，則扇形的半徑為eq\f(2r,3)，記扇形的圓心角為α，則eq\f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r,3)))\s\up12(2),πr2)＝eq\f(5,27)，所以α＝eq\f(5π,6).所以扇形的弧長與圓周長之比為eq\f(l,C)＝eq\f(\f(5π,6)·\f(2,3)r,2πr)＝eq\f(5,18).答案：eq\f(5,18)9．已知角θ的終邊上有一點P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．解：因為角θ的終邊過點(x，－1)(x≠0)，所以tanθ＝－eq\f(1,x)，又tanθ＝－x，所以x2＝1，所以x＝±1.當x＝1時，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝0；當x＝－1時，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝－eq\r(2).10．已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大小；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB．解：設扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))所以α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)法一：因為2r＋l＝8，所以S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)(eq\f(l＋2r,2))2＝eq\f(1,4)×(eq\f(8,2))2＝4，當且僅當2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2時，扇形面積取得最大值4.所以圓心角α＝2，弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：因為2r＋l＝8，所以S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，當且僅當r＝2，即α＝eq\f(l,r)＝2時，扇形面積取得最大值4.所以弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.1．(2024·安徽省江淮十校協作體聯考)已知銳角α，且5α的終邊上有一點P(sin(－50°)，cos130°)，則α的值為()A．8° B．44°C．26° D．40°解析：選B．因為sin(－50°)<0，cos130°＝－cos50°<0，所以點P(sin(－50°)，cos130°)在第三象限．又因為0°<α<90°，所以0°<5α<450°.又因為點P的坐標可化為(cos220°，sin220°)，所以5α＝220°，所以α＝44°，故選B．2．已知點P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，則在[0，2π]內α的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))解析：選B．因為點P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，所以sinα－cosα＞0，tanα＞0，又因為α∈[0，2π]，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4))).3．一扇形的圓心角為120°，則此扇形的面積與其內切圓的面積之比為________．解析：設扇形半徑為R，內切圓半徑為r.則(R－r)sin60°＝r，即R＝(1＋eq\f(2\r(3),3))r.又S扇＝eq\f(1,2)|α|R2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×R2＝eq\f(π,3)R2＝eq\f(7＋4\r(3),9)πr2，所以eq\f(S扇,πr2)＝eq\f(7＋4\r(3),9).答案：(7＋4eq\r(3))∶94．(2024·高考北京卷)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱．若sinα＝eq\f(1,3)，則sinβ＝________．解析：法一：當角α的終邊在第一象限時，取角α終邊上一點P1(2eq\r(2)，1)，其關于y軸的對稱點(－2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時sinβ＝eq\f(1,3)；當角α的終邊在其次象限時，取角α終邊上一點P2(－2eq\r(2)，1)，其關于y軸的對稱點(2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時sinβ＝eq\f(1,3).綜合可得sinβ＝eq\f(1,3).法二：令角α與角β均在區間(0，π)內，故角α與角β互補，得sinβ＝sinα＝eq\f(1,3).法三：由已知可得，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,3)(k∈Z)．答案：eq\f(1,3)5．已知角θ的終邊經過點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，試推斷角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．解：由題意，得r＝eq\r(3＋m2)，所以sinθ＝eq\f(m,\r(3＋m2))＝eq\f(\r(2),4)m.因為m≠0，所以m＝±eq\r(5).故角θ是其次或第三象限角．當m＝eq\r(5)時，r＝2eq\r(2)，點P的坐標為(－eq\r(3)，eq\r(5))，所以角θ是其次象限角，cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(\r(5),－\r(3))＝－eq\f(\r(15),3)；當m＝－eq\r(5)時，r＝2eq\r(2)，點P的坐標為(－eq\r(3)，－eq\r(5))，所以角θ是第三象限角，cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(－\r(5),－\r(3))＝eq\f(\r(15),3).6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于A點，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動．(1)若點B的橫坐標為－eq\f(4,5)，求tanα的值；(2)若△AOB為等邊三角形，寫出與角α終邊相同的角β的集合；(3)若α∈(0，eq\f(2,3)π]，請寫出弓形AB的面積S與α的函數關系式．解：(1)由題意可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，依據三角函數的定義得tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4).(2)若△AOB為等邊三角形，則B(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，可得tan∠AOB＝eq\f(y,x)＝eq\r(3)，