高級中學名校試題PAGEPAGE1重慶市部分區縣2025屆高三下學期模擬預測聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，而，所以.故選：B2.已知復數，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】因為，所以.故選：A3.若函數的最小正周期為，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】因為的最小正周期為，所以，得.故選：D4.已知向量，，，則（）A.6 B.4 C.-6 D.-4【答案】C【解析】因為，，，所以，，則．故選：C.5.已知變量和的統計數據如下表.8090100110120y120140165180若，線性相關，經驗回歸方程為，則（）A.155 B.158 C.160 D.162【答案】A【解析】由表中數據可得，代入經驗回歸方程可得，則.故選：A6.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，.故選：C.7.已知，，是球的球面上的三個點，且，球心到平面的距離為1，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設球O的半徑為R，外接圓的半徑為r，則.因為球心O到平面ABC的距離為1，所以，從而球O的表面積為.故選：B8.在我國古代建筑中，梁一直是很重要的組成部分，現代工程科學常用抗彎截面系數來刻畫梁的承重能力.若梁的截面形狀是圓，且圓形截面的半徑為，則抗彎截面系數；若梁的截面形狀是正方形，且正方形截面的邊長為，則抗彎截面系數；若梁的截面形狀是長方形，且長方形截面的長為，寬為，則抗彎截面系數.若上述三種截面形狀的梁的截面周長相同，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記這三種截面的周長為C，則，從而，，.由，得.令，，則，顯然在上恒成立，故在上單調遞增，因為，，所以.因為，所以.故選:D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知橢圓C：的離心率為，則m的值可能為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BD【解析】因為，則恒成立，所以由C的離心率為，得，解得或．故選：BD10.已知定義在上的函數滿足，，且當時，，則下列結論正確的是（）A.B.在上單調遞增C.函數的零點從小到大依次記為，若，則的取值范圍為D.若函數在上恰有4個零點，則的取值范圍為【答案】AC【解析】由題可知，，A正確.由，可作出的部分圖象，可知在上單調遞增，在上單調遞減，B不正確.由，得，根據函數對稱性可知，當時，可知，是方程的兩個不同的根，且，，根據的圖象可知，a的取值范圍為，C正確.當函數在上恰有4個零點時，根據的圖象可知，a的取值范圍為，D不正確.故選：11.已知，，定義運算.規定，且當，時，總有，則（）A.B.C.，，D【答案】ACD【解析】由題可知，，正確；當，且時，，所以，令，，則由，可得，不正確；因為，所以，正確；，從而，即，正確.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】因為，所以，所以，則，從而曲線在點處的切線方程為，整理得.13.已知正項數列的前項和為，且，則__________.【答案】2500【解析】由，當得，解得；當時，由，得，兩式相減得，整理得.因為，所以，所以是以為首項，為公差的等差數列，從而.故答案為：14.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是右支上一點，過作的角平分線的垂線，垂足為.若是圓上任意一點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】延長，，使之交于點，因為平分，，所以，為的中點，又坐標原點為的中點，所以，故在以為圓心，為半徑的圓上，由，得：，則在以為圓心，為半徑的圓上，因為，故，即的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的內角，，的對邊分別為，，.已知，.（1）求；（2）若外接圓的半徑為5，求的面積.解：（1）因為，所以.又，所以，則則，即或，即因為，所以，則.從而.（2）因為外接圓的半徑為5，所以由（1）可得，則.由，得因為，所以，得，則，故的面積.16.一個不透明的盒子中裝有3個紅球，3個黑球，個白球，這些球除顏色外完全相同.若從盒子中隨機摸出1個球，則白球被摸出的概率為.（1）求的值；（2）現從盒子中一次性隨機摸出4個球.①求三種顏色的球都被摸出的概率；②記摸出的球的顏色種類為，求的分布列與期望.解：（1）由題可知，從盒子中隨機摸出1個球，白球被摸出的概率，所以；（2）①從盒子中一次性隨機摸出4個球，不同的取法共有種，三種顏色的球都被摸出的不同取法共有種，故三種顏色的球都被摸出的概率；②由題可知，X的取值可能為1，2，3，且，，，X的分布列為：123.17.如圖，在直四棱柱中，，，，，，的中點分別為，.（1）證明：；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接，因為，，所以，則.因為，所以.又，所以為等邊三角形.取的中點，連接，，則又是的中點，四棱柱為直四棱柱，所以，因為平面，平面，，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由題易知，，兩兩垂直，故以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，.因為，所以，解得，從而，，設平面的法向量為，由得，令，得.易知平面的一個法向量為，，故平面與平面夾角的余弦值為.18.已知拋物線W：的焦點為F，直線l：與W相切．（1）求W的方程．（2）過點F且與平行的直線與W相交于M，N兩點，求．（3）已知點，直線l與W相交于A，B兩點（異于點P），若直線AP，BP分別和以F為圓心的動圓相切，試問直線l是否過定點?若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由．解：（1）聯立整理得．因為與W相切，所以，解得或（舍去），故W的方程為．（2）由（1）可知．因為，所以的方程為．設，．聯立整理得，則，，．（3）設，，則直線l的方程為，①直線AP的方程為，直線BP的方程為．設動圓F的半徑為r，．因為直線AP和圓F相切，所以，整理得，同理可得，所以a，b是一元二次方程的兩個實數根，則，，代入①式整理得．由，得，此時，故直線AB恒過定點．19.已知函數，，.（1）證明：.（2）討論函數在上零點個數.（3）當，時，證明：，.（1）證明：因為，，所以.當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，從而，則.（2）解：因為，，所以，當時，，當時，，故，當為奇數時，在上恒成立，則在上單調遞減，因為，，