高級中學名校試題PAGEPAGE1浙江省溫州市十校聯合體2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，，所以方程有一個根是1，且2一定不是它的根，則，解得，當時，方程的根是1和，所以，滿足，即.故選：A.2.若函數是指數函數,則的值為（）A.2 B.-2 C. D.【答案】D【解析】∵函數f（x）＝（a﹣3）?ax是指數函數，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2，故選D．3.設復數，則復數的共軛復數的虛部是（）A B. C.1 D.－1【答案】C【解析】因為，所以，則復數的共軛復數的虛部是.故選：C4.已知非負實數滿足，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因為非負實數滿足，顯然，則，所以，則，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為.故選：B5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選:B6.已知正方形ABCD的邊長為2，若將正方形ABCD沿對角線BD折疊成三棱錐則在折疊過程中，不可能出現（）A. B.C.三棱錐的體積為 D.平面平面BCD【答案】A【解析】對于A，若，因為，面ABC，所以，而，即直角邊長與斜邊長相等，顯然不對，故A錯；對于B，取BD中點O，因為，AO所以面AOC，所以，故B對；對于C，當折疊所成的二面角時，頂點A到底面BCD的距離為，此時，故C對；對于D，當沿對角線折疊成直二面角時，有平面平面，故D對；故選:A7.一個袋子中裝有大小相同的5個小球，其中有3個白球，2個黑球，從中無放回地取出3個小球，摸到一個白球記2分，摸到一個黑球記1分，則總得分的數學期望等于（）A.5分 B.4.8分 C.4.6分 D.4.4分【答案】B【解析】設三個白球編號為，黑球編號為，表示取到個白球，則，所有取法為種，則，，，的可能取值為，所以，總得分的數學期望等于分，故選：B.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，，，，由換底公式，，，由于，根據基本不等式，，故，即，于是.故選：A二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則下列命題正確的是（）A. B.向量在向量上的投影向量為C. D.【答案】AB【解析】因為，對于選項A：因為，所以，故A正確；對于選項B：因為，所以向量在向量上的投影向量為，故B正確；對于選項C：因為，所以不平行，故C錯誤；對于選項D：因為，所以不垂直，故D錯誤；故選：AB.10.下列命題中正確的是（）A.已知隨機變量，則B.已知隨機變量，若函數為偶函數，則C.數據第80百分位數是8D.樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲乙組成的總體樣本的方差為【答案】ABC【解析】對于A，因為，所以，，A正確；對于B，因為函數為偶函數，所以，，所以區間和區間是關于的對稱區間，所以，B正確；對于C，因為，所以數據第80百分位數是8，C正確；對于D，記樣本甲，乙的平均數分別為，由甲乙組成的總體樣本的平均數為，由甲乙組成的總體樣本的方差為，D不正確.故選：ABC11.定義在上的函數，滿足，且當時，，則使得在上恒成立的可以是（）A.1 B.2 C. D.【答案】ABC【解析】由題意可知，如圖所示當時，，即；當時，，故；當時，，故；令，解得或，所以或，所以的最大值為.即.故選：ABC.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上．12._______【答案】152【解析】，，故.故答案為：15213.一位射擊運動員向一個目標射擊二次，記事件“第次命中目標”，，，則______．【答案】【解析】由題意，，所以.又，所以，所以.故答案為：14.已知在三棱錐中，，點為三棱錐外接球上一點，則三棱錐的體積最大為______．【答案】【解析】在三棱錐中，由且，可得，取的中點，連接，因為，，可得，所以點為三棱錐的外接球的球心，其中為外接球的直徑，設外接球的半徑為，可得，當點到平面的距離為時，此時三棱錐的體積最大，體積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內角，，的對邊分別為，，，且（1）若，求的值；（2）若，且的面積為，求和的值．解：（1）因為，，所以，所以；（2）由，由正弦定理得，又，所以，又，因為，所以，所以，解得.16.已知四棱錐，⊥面，底面為正方形，，為的中點．（1）求證：面；（2）求直線與面所成的角．解：（1）因為面，平面，所以⊥，因為四邊形為正方形，所以⊥，又，平面，故⊥平面，因為平面，所以⊥，又，故，因為為的中點，所以，因為，平面，故平面；（2）方法1：因為，平面，平面，所以平面，點B到面的距離就是點到面距離，由勾股定理得，又，由（1）得點A到面距離為．記直線與面所成角為，故，故；方法2：設，則，，故，且，因為，所以，，記直線與面所成角為，，；方法3：設，以為軸，為軸，為軸建立直角坐標系，，故，，設平面的法向量為，則，解得，令，則，故，記直線與面所成角為，，．方法4：將四棱錐還原為立方體，取的中點，連接，因為且，故四邊形為平行四邊形，故，由（1）知，平面，故面，為直線與面所成的角，記為，且，故，.17.已知的最小正周期為，（1）求的值；（2）若在上恰有個極值點和個零點，求實數的取值范圍．解：（1）因為，由函數的最小正周期為且，即，解得，所以，所以．（2）由（1）可得，因為，所以，要使在上恰有個極值點和個零點，則需，解得，即實數的取值范圍為.18.為了了解高中學生課后自主學習數學時間（分鐘/每天）和他們的數學成績（y分）的關系，某實驗小組做了調查，得到一些數據（表一）．編號12345學習時間3040506070數學成績65788599108（1）求數學成績與學習時間的相關系數（精確到0.001）；（2）請用相關系數說明該組數據中與之間的關系可用線性回歸模型進行擬合，并求出關于的回歸直線方程，并由此預測每天課后自主學習數學時間為100分鐘時的數學成績（參考數據：，的方差為200（3）基于上述調查，某校提倡學生周末在校自主學習．經過一學期的實施后，抽樣調查了220位學生．按照是否參與周末在校自主學習以及成績是否有進步統計，得到列聯表（表二）．依據表中數據及小概率值的獨立性檢驗，分析“周末在校自主學習與成績進步”是否有關．沒有進步有進步合計參與周末在校自主學習35130165未參與周末不在校自主學習253055合計60160220附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1），，又的方差為，；（2）由（1）知接近1，故與之間具有極強的線性相關關系，可用線性回歸直線方程模型進行擬合，，，故，當時，，故預測每天課后自主學習數學時間達到100分鐘時的數學成績為140.5分；（3）零假設為：學生周末在校自主學習與成績進步無關．根據數據，計算得到：因為，所以依據的獨立性檢驗，可以認為“周末自主學習與成績進步”有關．19.已知（1）當時，解關于的不等式；（2）若有兩個零點，求的值；（3）當時，的最大值，最小值為，若，求的取值范圍.解：（1）當時，或，所以或于是不等式的解集為.（2），當時，的對稱軸為，所以在單調遞減，在上