高級中學名校試題PAGEPAGE1浙江省G5聯盟2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.一個三層書架，分別放置語文類讀物6本，數學類讀物7本，英語類讀物8本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有（）A.3種 B.21種 C.336種 D.12種【答案】B【解析】一個三層書架，分別放置語文類讀物6本，數學類讀物7本，英語類讀物8本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有種.故選：B2.已知某隨機變量，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因為，所以，故選：D3.在的展開式中，第四項為（）A.240 B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，展開式的通項公式為，令，得，即第四項為.故選：D4.已知，則在處的導數值為（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】函數，求導得，所以在處的導數值為.故選：B5.已知事件A、B、C，滿足則P(B∪C|A)=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，.故選：A6.已知則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】顯然，在的展開式中，，，所以.故選：C7.若則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知：，令，，由，解得，在，在，所以在上單調遞增；在上單調遞減.因為，所以，即，也就是，又，因為在上僅有一個極大值，所以，即最大，所以.故選：A.8.某學校高二年級開設4門校本選修課程，某班男生201寢室的5名同學選修，每人只選1門，恰有1門課程沒有同學選修，則該寢室同學不同的選課方案有（）A.360種 B.600種 C.960種 D.972種【答案】B【解析】從4門課程中取出3門課程，有種方法，把5名同學分成3組，按分組有種方法，按分組有種方法，把3門課程分配給上述分成的每一組有種方法，所以該寢室同學不同的選課方案有（種）.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于的展開式中，只有第4項的二項式系數最大，下列說法正確的是（）A.展開式共有9項 B.展開式中的常數項是240C.展開式的二項式系數之和為256 D.展開式的各項系數之和為1【答案】BD【解析】由二項式的展開式中，只有第4項的二項式系數最大，得展開式共有7項，，對于A，展開式共有7項，A錯誤；對于B，展開式中的常數項是，B正確；對于C，展開式的二項式系數之和為，C錯誤；對于D，取，得展開式的各項系數之和為1，D正確.故選：BD10.下列等式正確的是（）A. B.若則C. D.【答案】ACD【解析】A：，故A正確；B：由組合數的性質知，若，則或，故B錯誤；C：，又，所以，故C正確；D：，故D正確.故選：ACD11.一個不透明的箱子中裝有5個小球，其中白球3個，黑球2個，小球除顏色不同外，材質大小全部相同，現投擲一枚質地均勻的硬幣，若硬幣正面朝上，則從箱子里抽出一個小球且不再放回；若硬幣反面朝上，則不抽取小球；重復該試驗，直至小球全部取出，假設試驗開始時，試驗者手中沒有任何小球，下列說法正確的有（）A.經過兩次試驗后，試驗者手中恰有1個白球1個黑球的概率為B.若第一次試驗抽到一個黑球，則第二次試驗后，試驗者手中有黑白球各1個的概率為C.經過7次試驗后試驗停止的概率為D.經過7次試驗后試驗停止的概率最大【答案】AB【解析】記事件“一次實驗硬幣正面朝上”，則“一次實驗硬幣反面朝上”，則，從箱子中不放回地抽球，記“第次抽到白球”，記“第次抽到黑球”，“第次硬幣正面朝上且抽到白球”，“第次硬幣正面朝上且抽到黑球”，對于A，，，經過兩次實驗后，試驗者手中恰有1個白球1個黑球的概率為：，A正確；對于B，第一次抽到黑球后，第二次抽到白球的概率為：，B正確；對于C，實驗7次結束，則前6次有4次硬幣正面朝上，第7次硬幣正面朝上，則其概率為：，C錯誤；對于D，實驗次結束的概率為，則，，令，得化簡可得，解得，即，所以經過8次或9次實驗后小球全部取出的概率最大，D錯誤.故選：AB非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.四名男生和兩名女生排成一排，要求兩位女生不相鄰，則不同排法的種數是_______.（結果用數字作答）【答案】【解析】先排男生，再將女生排到5個空位里，有種情況.故答案為：13.從1，3，5，7中任取2個不同數字，從0，2，4，6，8中任取2個不同的數字，組成沒有重復數字的四位數，則所組成的四位數是偶數的概率為_____．(用最簡分數作答)【答案】【解析】若選出的4個數中有0，則組成四位無重復的數字共有個，其中偶數有個；若選出的4個數中無0，則組成的四位無重復的數字共有個，其中偶數有個，所以的四位數為偶數的概率為.故答案為：14.已知函數對有則實數a的取值范圍為________【答案】【解析】根據題意設，不妨設，，任意有可得即可得在上遞增,因為，，當時，恒成立，即在上遞增.當時，不能恒成立，即在不符合單調遞增.綜上，實數a的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設（1）求函數的單調遞減區間；（2）若方程有3個不同的實根，求a的取值范圍．解：（1）函數的定義域為R，求導得，由，得，所以函數的單調遞減區間是.（2）由（1）知，當時，或，因此函數在上單調遞增，函數在處取得極大值，在處取得極小值，顯然當時，直線與函數的圖象有3個公共點，所以方程有3個不同的實根，a的取值范圍是.16.已知關于的二項式的二項系數之和為32，其中．（1）若，求展開式中系數最大的項；（2）若展開式中含項系數為40，求展開式中所有有理項的系數之和．解：（1）由于關于的二項式的二項式系數之和為32，所以，解得，則二項式的展開式的通項公式為：，當時，，所以當或時，展開式的系數最大，故系數最大項為和（2）由（1）可得二項式的展開式的通項公式為：，令，解得：，因為展開式中含項系數為40，所以，由，得，所以二項式的展開式的通項公式為：，當為整數，可取0，2，4，所以展開式中所有有理項為，，，故展開式中所有有理項的系數之和為.17已知函數.（1）討論的單調性；（2）已知函數，若恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題意，，當時，，在R上單調遞增；當時，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增；綜上，當時，在R上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2），令，則，即在上恒成立，令，則，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則，所以，即實數a的取值范圍為.18.每年的3月14日是“國際圓周率日”，這是為紀念中國古代數學家祖沖之發現圓周率而設立的.2024年3月14日，某班級為紀念這個日子，特舉辦數學題答題比賽．已知賽題共6道(各不相同)，其中3道為高考題，另3道為競賽題，參賽者依次不放回地從6道賽題中隨機抽取一題進行作答，答對則繼續，答錯(或不答)或者6道題都答對即停止并記錄答對題數．（1）舉辦方進行模擬抽題，設第次為首次抽到競賽題，求的分布列；（2）同學數學成績優異，但沒有參加過競賽培訓，高考題答對的概率為，競賽題答對的概率為．①求同學停止答題時答對題數為1的概率；②已知同學停止答題時答對題數為2，求這兩題抽到競賽題題數的均值．解：（1）由題意知：可能取，，，，.所以的分布列為：XP（2）①設“同學停止答題時答對題數為”為事件，“同學第一次抽中高考題，第二次抽中競賽題并答錯”為事件，“同學第一次抽中競賽題并答對，第二次還抽中競賽題并答錯”為事件，則；；所以.②由同學停止答題時答對題數為，設事件“第次選中競賽題沒答對”；“第次選中競賽題并答對”；“第次選中高考題”.答題結束時答對2題的概率為，易知可能取，；.的分布列為：012P所以.19.已知函數（1）當時，求以點為切點的切線方程；（2）若函數有兩個零點，且，①求實數k的取值范圍；②證明：.解：（1）函數，求導得，則，