教學(xué)設(shè)計題目傾斜角與斜率一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容直線的傾斜角、斜率的概念，過兩點的直線的斜率公式.內(nèi)容解析直線的傾斜角和斜率分別從形和數(shù)刻畫了直線的方向：相對于x軸的傾斜程度，一點和傾斜角，或一點和斜率確定了平面直角坐標(biāo)系中直線的位置.過兩點的直線斜率公式把直線的傾斜角（方向或傾斜程度）與其上兩點的坐標(biāo)聯(lián)系起來，實現(xiàn)了對直線幾何特征的代數(shù)刻畫.它是解析幾何中的基本公式，是建立直線方程的基礎(chǔ).為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問題，首先需要探索在平面直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素，然后用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來.通過一點和一個方向確定一條直線，引入直線傾斜角的概念刻畫直線的方向；進而通過向量法，用直線上兩點的坐標(biāo)刻畫直線傾斜角的正切值，把它表示為這兩點縱橫坐標(biāo)的差商，引出直線斜率的概念；最后建立過兩點的直線的斜率公式，以及直線的斜率與其方向向量的關(guān)系.這一過程了體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思想.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：直線的傾斜角、斜率的概念，過兩點的直線斜率公式.二、學(xué)情分析1.學(xué)生已有在平面直角坐標(biāo)系下研究函數(shù)及其圖像性質(zhì)的經(jīng)驗，具有初步數(shù)形結(jié)合的意識。但是解析幾何側(cè)重于代數(shù)問題幾何化，學(xué)生還是認(rèn)識不到位，仍需加深對平面直角坐標(biāo)系的認(rèn)識，尤其是強調(diào)方向問題。2.學(xué)生對角的概念并不陌生，在必修一已經(jīng)學(xué)過任意角，但是對于直線傾斜角的存在性、唯一性會產(chǎn)生質(zhì)疑，對傾斜角的范圍會產(chǎn)生疑問。解決辦法，多媒體輔助教學(xué)。3.分類談?wù)摰乃枷脒€未成熟，聯(lián)系到正切曲線會產(chǎn)生困難。解決辦法，設(shè)置臺階式問題，避免過分展開。三、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)1.初步了解解析幾何的產(chǎn)生及其意義，初步認(rèn)識坐標(biāo)法思想.2.理解直線的傾斜角與斜率的概念.3.掌握過兩點的直線的斜率公式.目標(biāo)解析1.通過介紹章引言，學(xué)生能夠說出坐標(biāo)法的基本思想，知道笛卡兒、費馬是解析幾何的創(chuàng)立者，了解解析幾何在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展中的作用.2.通過對平面直角坐標(biāo)系中直線的分析，認(rèn)識一點和一個方向唯一確定一條直線.過同一點的直線的方向不同，其傾斜程度就不同，直線就不同；對于傾斜程度，可以用傾斜角刻畫，也可以用斜率（傾斜角的正切值）刻畫；進一步，斜率可以用直線上兩點的坐標(biāo)定量刻畫.3.能夠運用向量法，通過對過原點及其上一具體點、不過原點過兩個其他具體點，以及過任意兩點的直線傾斜角正切值的獲得過程，體會從特殊到一般，從具體到抽象的研究方法；建立直線傾斜角的正切值與直線上任意兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系，進而獲得斜率的概念；經(jīng)歷上述用坐標(biāo)法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.教學(xué)重點直線的傾斜角和斜率的概念，過兩點的直線斜率公式.教學(xué)難點用直線的傾斜角和斜率刻畫直線的幾何特征，建立直線的傾斜角、斜率及直線上任意兩點縱橫坐標(biāo)差商之間的關(guān)系.四、教學(xué)方法分析情境教學(xué)法、合作探究法、啟發(fā)教學(xué)法、自主練習(xí)法。五、教學(xué)過程設(shè)計教師活動與任務(wù)設(shè)計學(xué)生學(xué)習(xí)活動與任務(wù)解決設(shè)計意圖或評價目標(biāo)環(huán)節(jié)一任務(wù)1：創(chuàng)設(shè)情景，提出問題。引導(dǎo)語：十六、十七世紀(jì)，為了描述現(xiàn)實世界中的運動變化現(xiàn)象，如行星的運動、平面拋體的運動等，需要對它們的運動軌跡進行精確的代數(shù)刻畫，運動變化進入了數(shù)學(xué)，變量觀念成為數(shù)學(xué)中的重要理念.在眾多數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)上，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒、費馬集其大成，創(chuàng)立了坐標(biāo)系，用坐標(biāo)刻畫運動變化.這是解析幾何的創(chuàng)始.我們知道，平面直角坐標(biāo)系中的點與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)，那么平面中的圖形和怎樣的代數(shù)對象對應(yīng)呢？從本章開始的解析幾何就要解決這個問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，實現(xiàn)通過代數(shù)運算來研究幾何圖形性質(zhì)的目的.問題1：回顧平面幾何的學(xué)習(xí)，我們主要研究了哪些類型的圖形？所用的研究方法是什么？在教師引導(dǎo)下，學(xué)生回顧平面幾何中的研究對象、研究方法的基礎(chǔ)上，學(xué)生說出“本章要用坐標(biāo)法對這些對象進行再研究，提出坐標(biāo)法與綜合法的異同”的問題。去思考坐標(biāo)法對圖形性質(zhì)的定量化作用.通過回顧，明確解析幾何學(xué)的研究對象，使學(xué)生對坐標(biāo)法形成初步印象，并引出本節(jié)的研究內(nèi)容.環(huán)節(jié)二任務(wù)2：課堂探究，初建概念問題2：直線是最簡單的幾何圖形之一，確定一條直線的幾何要素是什么？追問：還有沒有其他確定一條直線的方法？(如果已知一點和一個方向，我們能否確定一條直線？）問題3：下面我們利用直角坐標(biāo)系進一步研究確定直線位置的幾何要素.觀察圖1中經(jīng)過定點P的直線束，它們的區(qū)別是什么？你能用利用直角坐標(biāo)系中的一些元素將這些直線區(qū)分開來嗎？問題4：你認(rèn)為直線的傾斜角在什么范圍內(nèi)變化？學(xué)生獨立思考并回答.學(xué)生的最常見的回答是“兩點確定一條直線”.教師引導(dǎo)學(xué)生思考，得出一點和一個方向也能確定一條直線，并把兩點確定一條直線歸結(jié)為一點和一個方向確定一條直線.學(xué)生可能會指出這些直線的區(qū)別在于它們的方向不同，也可能會說這些直線與x軸所成的角不同.在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，以平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)規(guī)定直線的方向，并用直線與軸形成的角刻畫直線的方向，在此基礎(chǔ)上引入傾斜角的概念.在上述探究過程中，學(xué)生的第一反應(yīng)是與x軸的夾角.教師要做好引導(dǎo)，說明方向與夾角之間的關(guān)系，兩者都描述了直線的傾斜程度教師可以通過信息技術(shù)演示直線從與x軸平行或重合時開始繞一個點旋轉(zhuǎn)的過程，讓學(xué)生感受直線的傾斜角的變化范圍是,使學(xué)生確認(rèn)范圍內(nèi)的角能表示所有直線的方向.引導(dǎo)學(xué)生在兩點確定一條直線的基礎(chǔ)上，認(rèn)識到“一點和一個方向"也可以唯一確定一條直線。方向是直線的一個重要幾何要素.讓學(xué)生通過觀察過同一點的不同位置的直線，并強調(diào)以直角坐標(biāo)系為參照系，探究區(qū)分不同位置直線的方法，引導(dǎo)學(xué)生感受在直角坐標(biāo)系中利用傾斜角刻畫直線方向的合理性.借助信息技術(shù)的直觀，引導(dǎo)學(xué)生討論在直角坐標(biāo)系中直線的傾斜角取值的各種情況，進一步確認(rèn)用傾斜角刻畫一條直線傾斜程度的合理性.環(huán)節(jié)三任務(wù)3：類比思考，明晰概念問題5：直線的傾斜角刻畫了它的傾斜程度，是否還能用其他方法刻畫直線的傾斜程度呢？追問：為什么我們一定要用向量法來研究直線呢？探究：我們知道，直線可由其上任意兩點唯一確定，可以推斷，直線的傾斜角一定與兩點的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系.到底具有怎樣的聯(lián)系？下面我們利用向量來研究這個問題.已知直線經(jīng)過兩點，直線l的傾斜角與O,P兩點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？如果直線經(jīng)過兩點，直線的傾斜角與O,P兩點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？追問：你能將上述方法進行一般性的推廣嗎？追問：為什么要用正切函數(shù)來建立角與給定兩點坐標(biāo)之間的聯(lián)系(作為比較，必要時可以引導(dǎo)學(xué)生分析用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的弊端).問題6：這個公式對任何給定的兩點都適用嗎？這個公式的意義是什么？與我們?nèi)粘Ｉ钪锌坍嬓泵鎯A斜程度的坡度有聯(lián)系嗎？追問：我們能不能用一個字母符號表示直線的傾斜角的正切值么？并且你能給這個刻畫直線傾斜程度的量起一個特別貼切的名字么？問題7：當(dāng)直線的傾斜角變化時，直線的斜率如何變化？當(dāng)直線的傾斜角是0°或90°時，直線的斜率是多少？任務(wù)4：自主探究，推導(dǎo)公式問題8：你能發(fā)現(xiàn)直線的方向向量與斜率之間的關(guān)系嗎？在教師引導(dǎo)下，學(xué)生獨立思考下，回答出：“可以用向量刻畫直線傾斜程度”。學(xué)生以“向量是幾何和代數(shù)的紐帶，是解決幾何問題的基本工具”來回答此問題。學(xué)生用向量法通過探究此問題，經(jīng)過合作討論，首先可以通過得出向量的坐標(biāo)表示，從而找到傾斜角的正切函數(shù)與向量坐標(biāo)的直接聯(lián)系，最后得出斜率計算公式：。學(xué)生通過獨立思考，將問題推廣到一般情形，并自主探究解答.當(dāng)?shù)姆较虿煌瑫r，學(xué)生討論傾斜角與兩點坐標(biāo)的關(guān)系，得到計算公式并討論回答出追問問題.在教師引導(dǎo)下，學(xué)生獨立思考下，回答出：“正切函數(shù)與兩點坐標(biāo)之間聯(lián)系更為直接和自然”。學(xué)生經(jīng)過學(xué)生在觀察與分析中能發(fā)現(xiàn)公式對垂直于x軸的直線不適用，其他都適用；并能在討論交流中認(rèn)識到該公式是通過點的坐標(biāo)刻畫傾斜角，也就是直線的方向，這正是我們最希望得到的一個量——用點的坐標(biāo)表示直線的方向.學(xué)生可以用一個小寫字母表示直線的傾斜角的正切值，并給它起一個貼切的名字，比如“比率”或“坡比”等。學(xué)生通過正切函數(shù)的概念以及單調(diào)性回答此問題，學(xué)生可以畫出正切函數(shù)的圖象，并理解其中的變化情況和特殊點的取值.學(xué)生可以建立直線的方向向量與其斜率之間的關(guān)系。學(xué)生在解決問題的過程中，體會用向量法解決直線問題的自然的聯(lián)系和向量解決幾何問題有力的工具。學(xué)生經(jīng)歷一般問題特殊化和特殊問題一般化的抽象過程中，得到傾斜角的正切值，即斜率的計算公式。通過比較正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正切函數(shù)來表達直線傾斜程度，讓學(xué)生理解正切函數(shù)刻畫直線的傾斜性具有相容性，有效性，簡潔性。通過師生對該公式意義的分析，發(fā)現(xiàn)它正是我們尋求的刻畫直線方向的代數(shù)表達.這種形式能直接參與代數(shù)運算，實現(xiàn)用代數(shù)方法處理幾何問題的目的.讓學(xué)生通過解決這個問題，體會數(shù)學(xué)符號的作用和意義，提高數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的能力。結(jié)合正切函數(shù)的概念及其單調(diào)性，幫助學(xué)生認(rèn)識隨著傾斜角的變化，斜率的變化情況，理解其中斜率不存在的情況，使得學(xué)生對傾斜角和斜率的概念有更清晰的認(rèn)識。利用斜率公式和直線的方向向量的坐標(biāo)表示，建立二者之間的聯(lián)系，為今后相關(guān)問題的解決奠定基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四任務(wù)5：新知應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1如圖2，已知，求直線AB，BC,CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。思考題（視學(xué)情備選）：直線過點，且與以點為端點的線段PQ有公共點。（1）直線傾斜角的取值范圍是 ，（2）直線/斜率的取值范圍是 。學(xué)生獨立完成例1；例2與老師共同分析完成.由一位同學(xué)上講臺板書例1的解題過程；例2設(shè)為備選題,視學(xué)生學(xué)情而定，與學(xué)生共同分析完成.通過例1幫助學(xué)生鞏固掌握斜率公式，熟悉斜率大小與傾斜角的關(guān)系；例2是為基礎(chǔ)比較好的班級學(xué)生設(shè)計的，也可以留作學(xué)生課后思考討論.課堂小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識，并讓學(xué)生對本節(jié)課的研究對象與結(jié)論、研究的基本思路與思想進行梳理.教師活動：教師提出問題，與學(xué)生共同整理出本節(jié)課研究問題的基本流程框圖.教師再結(jié)合框圖，總結(jié)本節(jié)課蘊含的主要數(shù)學(xué)思想方法：類比聯(lián)想、分類討論、坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合思想.學(xué)生整理出本節(jié)課研究問題的基本流程框圖。通過對本節(jié)課所學(xué)知識，特別是研究過程的梳理，培養(yǎng)學(xué)生反思與整理的意識與習(xí)慣，讓學(xué)生了解解析幾何的起源與坐標(biāo)法思想，對傾斜角、斜率兩個概念的發(fā)現(xiàn)一探究的過程與方法有清晰的認(rèn)識.六、目標(biāo)檢測與作業(yè)設(shè)計1.如圖，若直線的斜率分別是,k2,k3,則（）2.若過A(4,y),B(2,3)兩點的直線的傾斜角為,則y=().1(B)5(C)1(D)5TOC\o"15"\h\z3.已知A(l,1),B(2,3