題目§7.2.2復(fù)數(shù)的乘除運算一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容復(fù)數(shù)的乘除運算內(nèi)容解析本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書》（人教A版）必修第二冊，第七章第2節(jié)第一課時的內(nèi)容．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除的運算法則及其運算律是本節(jié)的重點。復(fù)數(shù)的乘法運算是本節(jié)課的第一個教學(xué)問題，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法與多項式乘法是類似的，不同的是即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實部、虛部分別合并．復(fù)數(shù)的除法運算法則是通過分子分母同時乘分母的共軛復(fù)數(shù)，將分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為乘法運算而得出的.滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想的素材.復(fù)數(shù)的除法運算是本節(jié)課的第二個教學(xué)問題．這不僅是本節(jié)課的重點，也是教學(xué)難點．解決方案：類比逆運算，推導(dǎo)出除法法則，從而引出了共軛復(fù)數(shù)在除法中的應(yīng)用，從而研究共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，，類比分母有理化幫助學(xué)生理解．如何在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求二次方程的根是本節(jié)課的第三個教學(xué)問題這是學(xué)生不好理解的一個地方．解決方案：兩種方法解決：一是拓展求根公式，當(dāng)△<0時，將，從而求解；二是將方程的根設(shè)為，代入方程．利用復(fù)數(shù)的相等求解.二、學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)和經(jīng)歷了復(fù)數(shù)的加減法則及其幾何意義，學(xué)生可以通過加減法則的形成過程及實數(shù)的運算類比得出新課的探究，這是突破難點的一個重要方法，類比兩個多項式相乘，明確復(fù)數(shù)乘法的運算過程，這樣有助于學(xué)生理解復(fù)數(shù)的乘法法則．前面學(xué)習(xí)了共軛復(fù)數(shù)的概念，從結(jié)構(gòu)特點、幾何意義和運算關(guān)系三個方面對共軛復(fù)數(shù)進行分析，為復(fù)數(shù)除法法則的定義做解釋，類比無理數(shù)的分母有理化，理解復(fù)數(shù)的分母實數(shù)化．三、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)（1）通過復(fù)數(shù)的乘法法則，掌握復(fù)數(shù)的乘法運算，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；（2）通過類比實數(shù)除法運算，利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握復(fù)數(shù)除法運算，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；（3）通過數(shù)系的擴充，會在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解實系數(shù)一元二次方程，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。目標(biāo)解析（1）學(xué)生能夠根據(jù)規(guī)定的乘法法則，得出兩個復(fù)數(shù)相乘類似于兩個多項式相乘，實數(shù)乘法中的交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律在復(fù)數(shù)乘法中依然適用，實現(xiàn)了復(fù)數(shù)的乘法運算。（2）學(xué)生能夠把兩復(fù)數(shù)相除寫成分式的形式，利用互為共軛復(fù)數(shù)的兩復(fù)數(shù)相乘為實數(shù)的性質(zhì)，實現(xiàn)分母實數(shù)化，實現(xiàn)了復(fù)數(shù)的除法運算。（3）學(xué)生在經(jīng)歷了從實數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴充后，對的實系數(shù)一元二次方程，依據(jù)，實現(xiàn)了根的求解。

教學(xué)重點

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除法的運算法則及其運算律。教學(xué)難點求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根四、教學(xué)方法分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生通過觀察、歸納得到復(fù)數(shù)的乘、除法法則，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺．可以讓學(xué)生從被動學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動學(xué)習(xí)狀態(tài)中來．在教學(xué)設(shè)計中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點．在教學(xué)過程中，重視復(fù)數(shù)除法法則的推導(dǎo)理解，讓學(xué)生體會到類比的基本過程.五、教學(xué)過程設(shè)計教師活動與數(shù)學(xué)問題問題或任務(wù)與學(xué)生學(xué)習(xí)活動設(shè)計意圖或評價目標(biāo)情景設(shè)置給出法則[情景設(shè)置]師:多項式(a＋b)(c＋d)的運算結(jié)果是什么？師:[提出探究]設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)類比兩個多項式相乘，應(yīng)如何規(guī)定兩個復(fù)數(shù)相乘？復(fù)數(shù)的加法應(yīng)滿足什么樣的運算法則？生：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd.生：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.師生共同【提升總結(jié)】兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成－1，并且把實部與虛部分別合并即可．通過情景，為引入本節(jié)新課做好鋪墊。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。探索交流解決問題[任務(wù)1]（1）兩個復(fù)數(shù)的積是個什么數(shù)？它的的值唯一確定嗎？當(dāng)都是實數(shù)時，與實數(shù)乘法法則一致嗎？師：【提升總結(jié)】根據(jù)法則，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，都是實數(shù)，復(fù)數(shù)的乘法與實數(shù)乘法法則一致。生：通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，兩個復(fù)數(shù)的積仍是復(fù)數(shù)，它的值唯一確定生：討論什么時候是實數(shù)，并研究乘法運算后的結(jié)果。與實數(shù)乘法進行類比，有利于學(xué)生理解復(fù)數(shù)的乘法法則。探索交流解決問題[任務(wù)2]復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律和結(jié)合律嗎？以為例，讓我們一起驗證。師:【提升總結(jié)】復(fù)數(shù)乘法的結(jié)合律復(fù)數(shù)乘法的分配律生：滿足復(fù)數(shù)乘法的交換律引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)復(fù)數(shù)的加法滿足實數(shù)加法的運算律，大膽嘗試推導(dǎo)復(fù)數(shù)乘法的運算律。培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和勇于探索的精深。典例分析舉一反三師:生：及時運用新的理論知識，進行應(yīng)用和鞏固練習(xí)，讓學(xué)生體驗成功。在計算的過程中，鍛煉學(xué)生的計算能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算的核心能力。探索交流解決問題[任務(wù)3]類比復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，實數(shù)的除法是乘法的逆運算，探究復(fù)數(shù)除法法則師:提示的復(fù)數(shù)，叫做復(fù)數(shù)的商。師:提問通過推導(dǎo)除法法則的過程，觀察結(jié)果，發(fā)現(xiàn)了什么？師:設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)等于什么？zeq\x\to(z)是一個怎樣的數(shù)？師:【提升總結(jié)】總結(jié)復(fù)數(shù)的除法法則：復(fù)數(shù)的除法運算復(fù)數(shù)除法的實質(zhì)就是分母實數(shù)化的過程，這與實數(shù)的除法有所不同設(shè)z1＝a＋bi，,z2＝c＋di(c＋di≠0))，則eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f((a＋bi)(c－di),(c＋di)(c－di))＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.復(fù)數(shù)的除法的實質(zhì)是分母實數(shù)化.若分母為a＋bi型，則分子、分母同乘a－bi；若分母為a－bi型，則分子、分母同乘a＋bi.生：計算，得到，計算，得到，，由復(fù)數(shù)相等的定義，得，聯(lián)立以上兩個等式，解這個二元一次方程組，用加減消元法比較簡單，最終解得。生：發(fā)現(xiàn)了實部和虛部的分母是實數(shù)c2＋d2與c＋di有關(guān)生：eq\x\to(z)＝a－bi，zeq\x\to(z)＝a2＋b2是一個實數(shù)滲透類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，體會數(shù)學(xué)知識的緊密聯(lián)系。通過將復(fù)數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成分式的除法，再類比實數(shù)中的分母有理化，對分母進行實數(shù)化，通過該化簡的過程，幫助學(xué)生理解復(fù)數(shù)的除法法則探索交流解決問題[任務(wù)4]探究共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)【探究1】若z＝eq\x\to(z)，則z是什么數(shù)？這個性質(zhì)有什么作用？【探究2】若z≠0且z＋eq\x\to(z)＝0，則z是什么數(shù)？這個性質(zhì)有什么作用？【探究3】三個實數(shù)|z|，|eq\x\to(z)|，z·eq\x\to(z)具有怎樣的關(guān)系？生：z＝eq\x\to(z)?z∈R，利用這個性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為實數(shù)．生：z≠0且z＋eq\x\to(z)＝0，則z為純虛數(shù)，利用這個性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)．生：設(shè)z＝a＋bi，則eq\x\to(z)＝a－bi，所以|z|＝eq\r(a2＋b2)，|eq\x\to(z)|＝＝eq\r(a2＋b2)，z·eq\x\to(z)＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝|eq\x\to(z)|2＝z·eq\x\to(z).通過復(fù)數(shù)的除法推導(dǎo)的過程，幫助引出共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，滲透類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，體會數(shù)學(xué)知識的緊密聯(lián)系。探索交流解決問題[任務(wù)5]一元二次方程x2＋1＝0在實數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？引入虛數(shù)單位i后，方程的解是什么？例：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程x2＋4x＋6＝0.師：提示利用配方法，類比x2＋1＝0的求解過程生：沒有，x＝±i.生：因為x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，因為(eq\r(2)i)2＝(－eq\r(2)i)2＝－2，所以x＋2＝eq\r(2)i或x＋2＝－eq\r(2)i，即x＝－2＋eq\r(2)i或x＝－2－eq\r(2)i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2±eq\r(2)i.讓學(xué)生學(xué)會運用類比的思想，提高了知識的遷移能力典例分析舉一反三例：計算師：先將除法化成分式的形式，在進行分母實數(shù)化運算。例：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程x2＋4x＋6＝0.（用另外一種方法）師：提示由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x2＋4x＋6＝0無實數(shù)根．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，設(shè)方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)師:【提升總結(jié)】【類題通法】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法(1)求根公式法①當(dāng)Δ≥0時，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a).②當(dāng)Δ<0時，x＝eq\f(－b±\r(－（b2－4ac）)i,2a).(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解設(shè)方程的根為x＝m＋ni(m，n∈R)，將此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解．生：解生：生：代入得(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－b2＋4a＋6＝0，,2ab＋4b＝0，))又因為b≠0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－b2＋4a＋6＝0，,2a＋4＝0，))解得a＝－2，b＝±eq\r(2).所以x＝－2±eq\r(2)i，即方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2±eq\r(2)i.例1鞏固復(fù)數(shù)的除法法則．例2讓學(xué)生體會在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解二次方程的另一種方法，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。課堂小結(jié)鞏固訓(xùn)練[任務(wù)6]通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？師:完成教材：第80頁練習(xí)第1，2，3,4題生：（1）復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則：兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得結(jié)果中把換成，并且把實部與虛部分別合并即可。（2）復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則：在進行復(fù)數(shù)的除法運算時，通常先把寫成的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù)，將分母“實數(shù)化”。師生共同回顧總結(jié)．引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程，體會數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．課后練習(xí)是對運算鞏固，是對本節(jié)知識的一個深化認(rèn)識六、目標(biāo)檢測與作業(yè)設(shè)計1.設(shè)a是實數(shù)，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)是實數(shù)，則a等于()A.eq\f(1,2)B.1C.eq\f(3,2)D.22.(1＋i)(2－i)＝()A.－3－iB.－3＋iC.3－iD.3＋i3.設(shè)復(fù)數(shù)z1＝2－i，z2＝1－3i，則復(fù)數(shù)eq\f(i,z1)＋eq\f(\o(z,\s\up6(－))2,5)的虛部等于________.4.已知復(fù)數(shù)z滿足：z·eq\o(z,\s\up6(－))＋2zi＝8＋6i，求復(fù)數(shù)z的實部與虛部的和.教師要讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)運算除法法