7．5正態分布（單元教學設計）一、【單元目標】（1）利用實際問題的頻率分布直方圖，了解正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．（2）了解變量落在區間，，內的概率大小．（3）會用正態分布去解決實際問題．二、【單元知識結構框架】三、【學情分析】本次授課對象為高二學生，他們在之前已掌握概率基礎、隨機變量等知識，具備一定數學抽象與邏輯推理能力，這為學習正態分布奠定基礎．然而，正態分布概念抽象，涉及復雜的概率密度函數和參數理解，學生可能在理解其本質和應用上存在困難．部分學生思維活躍，對實際案例興趣濃厚，但自主探究和數據分析能力有待提升．教學中，應借助生活實例引入，利用圖形、軟件直觀展示，降低理解難度．同時，設計小組合作與實踐活動，鼓勵學生自主探究，在交流中深化對正態分布的認識，逐步提高他們運用知識解決實際問題的能力．四、【教學設計思路/過程】課時安排：約1課時教學重點：正態分布的特征，概率的表示，正態分布的均值，方差及其含義．教學難點：正態分布隨機變量的概率分布．教學方法/過程：五、【教學問題診斷分析】環節一、情景引入，溫故知新情景：一所學校同年級的同學的身高，特別高的同學比較少，特別矮的同學也不多，大都集中在某個高度左右；某種電子產品的使用壽命也都接近某一個數，使用期過長，或過短的產品相對較少．生活中這樣的現象很多，是否可以用數學模型來刻畫呢？環節二、抽象概念，內涵辨析1．正態曲線及其特征問題1：下列隨機變量哪個是離散型隨機變量：（1）擲一枚骰子一次，用X表示所得點數；（2）白熾燈的使用時間．【破解方法】（1）是，（2）不是．問題2：教材P74例2的高爾頓板試驗中，隨著重復次數的增加，頻率分布直方圖的形狀會越來越像一條鐘形曲線，那么這條曲線是否存在函數解析式呢？【破解方法】存在．【歸納新知】正態曲線我們稱，，其中，為參數，為正態密度函數，稱它的圖象為正態密度曲線，簡稱正態曲線．若隨機變量的概率密度函數為，則稱隨機變量服從正態分布，記為，特別地，當，時，稱隨機變量服從標準正態分布．由的密度函數及圖象可以發現，正態曲線還有以下特點（1）曲線是單峰的，它關于直線對稱；（2）曲線在處達到峰值；（3）當|x|無限增大時，曲線無限接近軸．（4）當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①．（5）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，當σ較小時，峰值高，正態曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當σ較大時，峰值低，正態曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖②．正態分布的幾何意義：若，如圖所示，X取值不超過x的概率為圖中區域A的面積，而為區域的面積．正態分布的期望與方差若，則，．正態變量在三個特殊區間內取值的概率（1）；（2）；（3）．在實際應用中，通常認為服從于正態分布的隨機變量只取中的值，這在統計學中稱為原則．環節三：例題練習，鞏固理解題型一：正態曲線的圖象的應用【例1】函數（其中）的圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】函數圖象的對稱軸為直線，因為，所以排除B，D；又正態曲線位于x軸上方，因此排除C，所以A正確．故選：A．【變式11】已知三個正態分布密度函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】根據正態分布密度函數中參數的意義，結合圖象可知，對稱軸位置相同，所以可得；且都在的右側，即，比較和圖像可得，其形狀相同，即，又的離散程度比和大，所以可得；故選：B題型二：利用正態分布的對稱性求參數【例2】已知隨機變量X服從正態分布，若，且，則（

）A．1 B． C．0 D．【答案】C【解析】由題意知隨機變量X服從正態分布，，如圖所示，結合，得，可知關于對稱，所以，解得，故選：C．【變式21】已知隨機變量，隨機變量，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以，又，所以A正確；故選：A題型三：正態曲線的性質【例3】某地區組織了一次高三全體學生的模擬考試，經統計發現，數學成績近似服從正態分布，已知數學成績高于115分的人數與低于75分的人數相同，那么估計本次考試的數學平均分為（

）A．85 B．90 C．95 D．100【答案】C【解析】由正態密度曲線的對稱性，數學成績高于115分的人數與低于75分的人數相同，所以，故選：C【變式31】如圖是正態分布，，（，，）對應的曲線，則，，的大小關系是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由的意義可知，圖象越瘦高，數據越集中，越小，故有．故選：A．題型四：特殊區間與指定區間的概率【例4】?市高三年級1萬名男生的身高（單位：cm）近似服從正態分布，則身高超過180cm的男生約有人．（參考數據：，，）【答案】230【解析】，則，，身高超過180cm的男生的人數約為．故答案為：230．【變式41】已知隨機變量，若，則．【答案】/【解析】因為隨機變量，所以正態曲線的對稱軸為，所以，因為，所以，所以．故答案為：【變式42】已知隨機變量服從正態分布，且，則．【答案】0．04/【解析】因為，所以，所以．故答案為：．題型五：正態分布的實際應用【例5】李明上學有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時，樣本方差為36；騎自行車平均用時，樣本方差為4．假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布．（1）估計X，Y的分布中的參數；（2）根據（1）中的估計結果，利用信息技術工具畫出X和Y的分布密度曲線；（3）如果某天有可用，李明應選擇哪種交通工具？如果某天只有可用，又應該選擇哪種交通工具？請說明理由．【解析】（1）隨機變量X的樣本均值為30，樣本標準差為6；隨機變量Y的樣本均值為34，樣本標準差為2．用樣本均值估計參數，用樣本標準差估計參數，可以得到；．（2）X和Y的分布密度曲線如圖所示．（3）應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具．由圖可知，，．所以，如果有可用；那么騎自行車不遲到的概率大，應選擇騎自行車；如果只有可用，那么坐公交車不遲到的概率大，應選擇坐公交車．【變式51】在某次數學考試中，考生的成績X服從正態分布．（1）試求考試成績X位于區間內的概率；（2）若這次考試共有3000名考生，試估計考試成績位于區間內的考生人數．（參考數據：，）【解析】（1）∵，∴．∵，．且，∴．（2）∵，，且，∴，∴考試成績位于區間內的考生人數為（人）．環節四：小結提升，形成結構問題3：請你帶著下列問題回顧本節課學習的內容：（1）什么是正態密度函數？什么是正態曲線，正態分布？（2）正態曲線有何性質與特征？如何計算正態分布的均值與方差？（3）正態分布中的參數，有何幾何意義？有何統計意義？（4）什么是原則，它有何實際應用？【破解方法】先由學生獨立思考進行回答，然后其他學生補充完善，教師最后總結提升．六、【教學成果自我檢測】環節五：目標檢測，檢驗效果1．隨機變量．若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為且，所以，根據正態分布曲線的對稱性，可得，所以．故選：D2．已知隨機變量，且，則（

）A．0．2 B．0．3 C．0．7 D．0．8【答案】B【解析】隨機變量，且，則．故選：B3．設，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，則．故選：A．4．如果隨機變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為隨機變量，所以，所以．故選：．5．某地區組織了一次高三全體學生的模擬考試，經統計發現，數學成績近似服從正態分布，已知數學成績高于115分的人數與低于75分的人數相同，那么估計本次考試的數學平均分為（

）A．85 B．90 C．95 D．100【答案】C【解析】由正態密度曲線的對稱性，數學成績高于115分的人數與低于75分的人數相同，所以，故選：C6．在某項測量中，測量結果服從正態分布（），若在內取值的概率為0．8，則在內取值的概率為（

）A．0．9 B．0．8 C．0．3 D．0．1【答案】A【解析】因為服從正態分布（），所以正態分布曲線關于對稱；又因為在內取值的概率為0．8，所以在內取值的概率為0．4，所以在內取值的概率為．故選：A7．（多選題）若小明坐公交上班的用時（單位：分鐘）和騎自行車上班的用時（單位：分鐘）分別滿足，且同一坐標系中的密度曲線與的密度曲線在分鐘時相交，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若的密度曲線與的密度曲線相交所對應的另一個時間為，則D．若要在34分鐘內上班不遲到，小明最好選擇坐公交【答案】BD【解析】由題意易知坐公交的方差比騎自行車的方差大，即的密度曲線較矮胖，的密度曲線更瘦高，則的密度曲線在38分鐘后在的密度曲線的上方，可在同一坐標系中作出密度曲線，易知，故A錯誤；由原則可知，故B正確；根據條件可知兩種方式相應密度函數分別為：，，建立方程，整理可得，則，故C錯誤；易知，故D正確．故選：BD8．已知隨機變量，若，則．【答案】/【解析】因為隨機變量，所以正態曲線的對稱軸為，所以，因為，所以，所以．故答案為：9．某次調研測試中，考生成績X服從正態分布．若，則從參加這次考試的考生中任意選取1名考生，該考生的成績高于90的概率為．【答案】/0．2【解析】考生成績X服從正態分布，則，所以從參加這次考試的考生中任意選取1名考生，該考生的成績高于90的概率為．故答案為：10．設隨機變量，若，則．【答案】【解析】因為隨機變量，，則，解得．故答案為：．11．某校高三年級選考某科的學生有200名，將他們該科的某次考試分數轉換為等級分．已知等級分所在區間為，若等級分，則這次考試等級分在內的人數約為．參考數據：，，．【答案】【解析】因為，所以，，，所以這次考試等級分在內的人數約為．故答案為：96．【設計意圖】落實與理解教材要求的基本教學內容．環節六：布置作