【專題2.5指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算】總覽題型梳理總覽題型梳理題型題型分類知識(shí)講解與常考題型【題型1：指數(shù)運(yùn)算】知識(shí)講解知識(shí)講解指數(shù)的基本概念指數(shù)的定義：一般地，形如（，為正整數(shù)）的式子叫做指數(shù)式，其中叫做底數(shù)，叫做指數(shù)。表示個(gè)相乘，即（個(gè)）。例如，。指數(shù)的推廣： 當(dāng)時(shí)，規(guī)定（）。因?yàn)槿魏畏橇銛?shù)的次方都等于，這是為了保證指數(shù)運(yùn)算的連續(xù)性和一致性。 當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，（）。例如，。 當(dāng)為分?jǐn)?shù)時(shí)，（，$m,n$為互質(zhì)的正整數(shù)，）。例如，。指數(shù)運(yùn)算法則同底數(shù)冪相乘：（，$m,n$為實(shí)數(shù)）。例如，。同底數(shù)冪相除：（，$m,n$為實(shí)數(shù)）。例如，。冪的乘方：（，$m,n$為實(shí)數(shù)）。例如，。積的乘方：（，為實(shí)數(shù)）。例如，。商的乘方：（，為實(shí)數(shù)）。例如，。例題精選例題精選【例題1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根式及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】因?yàn)?，則．故選：B.【例題2】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）化簡(jiǎn).【答案】【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得所求代數(shù)式的值.【詳解】原式故答案為：.【例題3】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由得，進(jìn)而根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）由，得，則．（2）因?yàn)?，則，則．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)4(3)【分析】根據(jù)根式、指數(shù)運(yùn)算來求得正確答案.【詳解】（1）原式．（2）原式．（3）原式.【相似題2】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；（2）由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；【詳解】（1）原式；（2）原式．.【相似題3】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可；（2）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可；（3）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可；（4）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，以及根式與指數(shù)冪的互化公式，即可求解；【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式.【題型2：指數(shù)對(duì)數(shù)互化】知識(shí)講解知識(shí)講解轉(zhuǎn)化的依據(jù)1.若（，且），那么叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作。其中，叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)。2.例如，，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可寫成。轉(zhuǎn)化的規(guī)則1.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式是等價(jià)的，它們之間的轉(zhuǎn)化規(guī)則如下： 指數(shù)式中的底數(shù)，在對(duì)數(shù)式中仍然是底數(shù)。 指數(shù)式中的指數(shù)，在對(duì)數(shù)式中成為對(duì)數(shù)的值。 指數(shù)式中的冪，在對(duì)數(shù)式中是真數(shù)。特殊情況1.當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)通常記為，稱為常用對(duì)數(shù)。例如，，可寫成。2.當(dāng)（，是自然常數(shù)）時(shí)，對(duì)數(shù)記為，稱為自然對(duì)數(shù)。例如，，可寫成。轉(zhuǎn)化的應(yīng)用1.求解指數(shù)方程：通過將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)方程來求解未知數(shù)。例如，對(duì)于方程，轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式，因?yàn)?，所以?.求解對(duì)數(shù)方程：有時(shí)也需要將對(duì)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程來求解。例如，方程，轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式，即。3.簡(jiǎn)化計(jì)算：在一些復(fù)雜的計(jì)算中，利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化可以將乘法、除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法、減法運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過程。例如，計(jì)算，可先將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式，再利用指數(shù)運(yùn)算法則，因?yàn)?，，所以，即。例題精選例題精選【例題1】（2223高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算求出，再結(jié)合對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題得，所以.故選：A.【例題2】（2425高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．12【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化，利用指數(shù)的運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由，得，故，故選：D【例題3】（2324高二下·福建南平·期末）若，，則（

）A．10 B．20 C．50 D．100【答案】B【分析】先根據(jù)指對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用指數(shù)運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)榭傻?所以.故選：B.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）若，，則的值為．【答案】/【分析】將對(duì)數(shù)化為指數(shù)，結(jié)合指數(shù)冪運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，則，，所以．故答案為：.【相似題2】（2526高一上·全國·課后作業(yè)）已知，則的值為．【答案】【分析】將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】，則，則．故答案為：【相似題3】（2023高一上·全國·專題練習(xí)）將下列指數(shù)式、對(duì)數(shù)式互化.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)互化的公式即可得到答案.【詳解】（1）由，得；（2）由，得；（3）由，得；（4）由，得.【題型3：對(duì)數(shù)的加減運(yùn)算以及對(duì)數(shù)恒等式】知識(shí)講解知識(shí)講解基本性質(zhì)1.零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的定義域是正實(shí)數(shù)，所以在中，。例如，是無意義的。2.：因?yàn)椋ㄇ遥?，所以。例如，?.：由于（且），所以。例如，。對(duì)數(shù)運(yùn)算公式1.積的對(duì)數(shù)：（，，，）。例如，。2.商的對(duì)數(shù)：（，，，）。例如，。3.冪的對(duì)數(shù)：（，，）。例如，。4.換底公式：（，，，，）。例如，計(jì)算，可以利用換底公式轉(zhuǎn)化為以$10$為底的對(duì)數(shù)，即。由換底公式還可以得到以下兩個(gè)推論： 推論1：（，，，）。例如，。 推論2：（，，，）。例如，。對(duì)數(shù)恒等式1.（，，）。例如，。這個(gè)恒等式表明，對(duì)數(shù)運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算，將以為底取對(duì)數(shù)后再進(jìn)行以為底的指數(shù)運(yùn)算，結(jié)果還是。2.（，）。例如，。它體現(xiàn)了對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，的次冪的以為底的對(duì)數(shù)就是指數(shù)。例題精選例題精選【例題1】（2425高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對(duì)數(shù)的換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】，，.故選：D.【例題2】（2025·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）若，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】先由，得，進(jìn)而結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】由，得，又，所以.故選：C.【例題3】（2025·湖南·二模）已知實(shí)數(shù)滿足，且，則.【答案】【分析】由對(duì)數(shù)式的定義，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算律與換底公式，可得答案.【詳解】由可知，所以，即，所以.故答案為：.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二下·天津·階段練習(xí)）（1）已知，，求的值；（2）計(jì)算.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化得出，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式以及根式的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得所求代數(shù)式的值.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，故；（2）原式.【相似題2】（2425高一下·廣西崇左·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：；（2）已知，，求ab的值.【答案】（1）；（2）8【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行求解；（2）利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式求解.【詳解】（1）原式；（2）由，，可得，．所以.【相似題3】（2223高一上·云南昭通·階段練習(xí)）計(jì)算求值：(1)；(2).【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）.（2）.【題型4：對(duì)數(shù)的換底公式】知識(shí)講解知識(shí)講解1.換底公式：（，，，，）。 例如，計(jì)算，可以利用換底公式轉(zhuǎn)化為以$10$為底的對(duì)數(shù)，即。也可以轉(zhuǎn)化為以為底的自然對(duì)數(shù)來計(jì)算，。2.換底公式的推論1：（，，，）。 例如，，因?yàn)?，所以?.換底公式的推論2：（，，，）。 例如，。例題精選例題精選【例題1】（2025·寧夏吳忠·一模）若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】設(shè)，則，∴.A.，A錯(cuò)誤.B.，B錯(cuò)誤.C.，C正確.D.，D錯(cuò)誤.故選：C.【例題2】（2025高三下·全國·專題練習(xí)）若，，則（

）A． B．1 C．3 D．4【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式和換底公式計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，，因此，．故選：B.【例題3】（2425高三下·河南·開學(xué)考試）已知且，則a=（

）A．64 B．32 C．16 D．8【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)，再解方程得解.【詳解】由，得，整理得，由，得，解得，所以.故選：A相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高一下·上海·階段練習(xí)）已知，，用，表示．【答案】【分析】由已知直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式求解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，?故答案為：.【相似題2】（2425高一下·湖南常德·階段練習(xí)）已知，則．【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式法則和換底公式計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以．故答案為：【相似題3】（2425高三上·河南信陽·期末）已知，則.【答案】4【分析】利用換底公式化簡(jiǎn)得到，令，求出，從而，解得.【詳解】，，，令，故，即，解得，故，解得.故答案為：4【相似題4】（2425高一上·山西晉中·期末）已知（），則.【答案】16【分析】換元令，可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋遥睿瑒t，可得，整理可得，解得或（舍去），即，所以.故答案為：16.【相似題5】（2425高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)已知，試用表示.【答案】(1)3(2)【分析】（1）利用對(duì)數(shù)法則計(jì)算出答案；（2）指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，換底公式得到，由換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入求值.【詳解】（1）原式；（2）由，得，由得，.【題型5：指數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】知識(shí)講解知識(shí)講解1.理解題意： 仔細(xì)閱讀題目，明確題目所描述的實(shí)際情境，確定是人口增長、金融復(fù)利、放射性衰變等哪一類指數(shù)應(yīng)用問題。 找出題目中給出的關(guān)鍵信息，如初始值、增長率或衰減率、時(shí)間等相關(guān)數(shù)據(jù)。2.選擇合適的公式： 根據(jù)問題類型，選擇對(duì)應(yīng)的指數(shù)運(yùn)算公式。例如，人口增長用，復(fù)利計(jì)算用或，放射性衰變用等。3.代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算： 將題目中給出的具體數(shù)值代入所選公式中。 注意單位的統(tǒng)一和數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，按照指數(shù)運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算。例題精選例題精選【例題1】（2025·北京房山·一模）自然界中，大多數(shù)生物存在著世代重疊現(xiàn)象，它們?cè)谏钍分袝?huì)持續(xù)不斷地繁殖后代，且有時(shí)不同的世代能在同一時(shí)間進(jìn)行繁殖.假定某類生物的生長發(fā)育不受密度制約時(shí)，其增長符合模型：，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長系數(shù)，為時(shí)刻的種群個(gè)體數(shù)量.當(dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.若，則（

）A．300 B．450 C．600 D．750【答案】C【分析】根據(jù)已知函數(shù)模型計(jì)算得出，再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)槟Ｐ停?，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長系數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.所以，所以，若，則.故選：C.【例題2】（2025·廣東汕頭·模擬預(yù)測(cè)）某食品保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（，為常數(shù)）若該食品在的保鮮時(shí)間是168小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是42小時(shí)，則該食品在的保鮮時(shí)間是（

）A．21小時(shí) B．22小時(shí) C．23小時(shí) D．24小時(shí)【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的公式，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，；當(dāng)時(shí)，.故選：A.【例題3】（2425高二上·云南曲靖·期中）2023年8月29日，華為發(fā)布了備受矚目的Mate60系列智能，在國際市場(chǎng)上引起了廣泛關(guān)注.盡管面臨外國技術(shù)封鎖和制裁，華為仍然憑借自主研發(fā)的創(chuàng)新技術(shù)，成功推出了這款被網(wǎng)友稱為“爭(zhēng)氣機(jī)”的新一代旗艦產(chǎn)品.Mate60系列搭載了華為自主研發(fā)的最新芯片，其性能和穩(wěn)定性得到了極大提升.在電池續(xù)航、圖像處理和用戶體驗(yàn)等方面均有顯著突破，展現(xiàn)了華為在高科技領(lǐng)域的實(shí)力和韌性.華為Mate60智能的核心部件之一是其自主研發(fā)的芯片，研究發(fā)現(xiàn)，該芯片的性能隨著時(shí)間的推移會(huì)經(jīng)歷指數(shù)型衰減.假設(shè)芯片的性能衰減可以用函數(shù)大致描述，其中表示時(shí)間（單位：年），是經(jīng)過年后的性能指標(biāo)，是測(cè)試開始時(shí)的初始性能指標(biāo)量.則根據(jù)上述函數(shù)模型，若該芯片使用5年，性能大約降至最初的（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題給條件將5代入函數(shù)，利用指數(shù)的負(fù)指數(shù)冪化正指數(shù)冪公式化簡(jiǎn)可求得，再根據(jù)即可求解.【詳解】該芯片使用5年，性能指標(biāo)為..故選：B.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高一上·北京順義·期末）通過科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：地震時(shí)釋放的能里（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為.已知2011年甲地發(fā)生里氏9.2級(jí)地震，2019年乙地發(fā)生里氏7.4級(jí)地震，若甲，乙兩地地震釋放能量分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】根據(jù)題意:,,所以.故選：D【相似題2】（2425高三上·黑龍江·期末）已知一種物質(zhì)的某種能量N與時(shí)間t的關(guān)系為，其中m是正常數(shù)，若經(jīng)過時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，則再經(jīng)過時(shí)間，該物質(zhì)的能量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)的能量為，則，則題意可得，進(jìn)而計(jì)算，可得結(jié)論.【詳解】設(shè)的能量為，則，又經(jīng)過時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，所以，所以，則再經(jīng)過時(shí)間時(shí)，該物質(zhì)的能量為.故選：C.【題型6：對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】知識(shí)講解知識(shí)講解精準(zhǔn)審題：全面剖析題目所描繪的實(shí)際場(chǎng)景，確定其所屬的應(yīng)用領(lǐng)域，比如是在化學(xué)中計(jì)算酸堿度（pH值）、在天文學(xué)里衡量天體亮度，還是在工程領(lǐng)域處理信號(hào)強(qiáng)度等問題。仔細(xì)篩選出題目中給出的各項(xiàng)關(guān)鍵信息，包括已知的對(duì)數(shù)值、真數(shù)、底數(shù)以及其他與之相關(guān)的數(shù)據(jù)。匹配公式與模型：依據(jù)所確定的問題類型，快速從對(duì)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)體系中調(diào)取適配的公式或模型。例如，若涉及酸堿度計(jì)算，會(huì)用到pH=lg[H?]（其中[H?]表示氫離子濃度）；在天文學(xué)中，星等與亮度關(guān)系常涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算模型等。倘若題目中所給的對(duì)數(shù)底數(shù)并非常用的10（常用對(duì)數(shù)）或e（自然對(duì)數(shù)），可能需要考慮運(yùn)用換底公式，將其轉(zhuǎn)換為便于計(jì)算的底數(shù)形式。數(shù)據(jù)代入運(yùn)算：把從題目中提取出的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，逐一對(duì)應(yīng)代入已選定的公式或模型之中。在進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí)，嚴(yán)格遵循對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，像積的對(duì)數(shù)、商的對(duì)數(shù)、冪的對(duì)數(shù)等，確保計(jì)算過程的準(zhǔn)確性。例題精選例題精選【例題1】（2425高一上·湖北恩施·階段練習(xí)）“利川紅”產(chǎn)于湖北省利川市毛壩鎮(zhèn)、忠路鎮(zhèn)、柏楊壩鎮(zhèn)、文斗鄉(xiāng)、沙溪鄉(xiāng)一帶，2018年在武漢東湖中印領(lǐng)導(dǎo)人非正式會(huì)晤中，“利川紅”成為國事活動(dòng)茶敘用茶.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，“利川紅”用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在室溫下，茶水溫度從開始，經(jīng)過tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來近似地刻畫茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，則在上述條件下，“利川紅”茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，需要放置的時(shí)間最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．6min D．【答案】B【分析】令，則，兩邊同時(shí)取對(duì)，將代入即可得出答案.【詳解】由題可知，函數(shù)，令，則，兩邊同時(shí)取對(duì)，得，即，即.故選：B【例題2】（2023·北京海淀·三模）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．72 B．73 C．74 D．75【答案】B【分析】由題意先得，接著由和得，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解不等式即可得解.【詳解】由題，，所以，又由題當(dāng)時(shí)，，即，所以，令即即，解得，故，所以學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為73.故選：B.【例題3】（2425高三上·重慶·開學(xué)考試）牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：（k為常數(shù)）.若，空氣溫度為，某物體的溫度從下降到以下，至少大約需要的時(shí)間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．25分鐘 B．32分鐘 C．35分鐘 D．42分鐘【答案】C【分析】根據(jù)題意，建立含指數(shù)方程，后指數(shù)對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)和參考數(shù)據(jù)可解.【詳解】由題知，所以，可得，所以.即某物體的溫度從下降到以下，至少大約需要35分鐘.故選：C.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2324高二下·江西九江·期末）牛頓冷卻定律（Newton'slawofcooling）是牛頓在1701年用實(shí)驗(yàn)確定的：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，環(huán)境溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：.已知環(huán)境溫度為，一塊面包從溫度為的烤箱里拿出，經(jīng)過10分鐘溫度降為，那么大約再經(jīng)過多長時(shí)間，溫度降為？（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．33分鐘 B．28分鐘 C．23分鐘 D．18分鐘【答案】C【分析】根據(jù)題意列出方程，指數(shù)對(duì)數(shù)互化，解出即可．【詳解】解：依題意，得，化簡(jiǎn)得，解得.設(shè)這塊面包總共經(jīng)過分鐘，溫度降為30°，則，化簡(jiǎn)得，解得，故大約再經(jīng)過（分鐘），這塊面包溫度降為30°，故選：C.【相似題2】（2324高二下·浙江·期末）近年，“人工智能”相關(guān)軟件以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注，深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的．在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2及以下所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．16 B．72 C．74 D．90【答案】C【分析】由題可知題目相當(dāng)于解不等式，然后由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得答案.【詳解】由題意知，只要解不等式，化簡(jiǎn)得．因?yàn)?，所以，所以．故選：C．【相似題3】（2425高三上·黑龍江佳木斯·開學(xué)考試）塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達(dá)年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等部門聯(lián)合印度《關(guān)于禮實(shí)推進(jìn)型科技染物理工作的通知》明確指出，年月日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時(shí)間年之間的關(guān)系為，其中為初始量，為光解系數(shù).已知該品牌塑料袋年后殘留量為初始量的.該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過．年，其殘留量為初始量的（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【分析】根據(jù)可得，代入，根據(jù)指對(duì)互化和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則直接求解即可.【詳解】由題意知：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，.故答案為：.課后針對(duì)訓(xùn)練課后針對(duì)訓(xùn)練一、單選題1．（2425高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．2．（2122高三上·廣西柳州·階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：.若常數(shù)，空氣溫度為，某物體的溫度從下降到，大約需要的時(shí)間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．16分鐘 B．18分鐘 C．20分鐘 D．22分鐘3．（2122高三上·江蘇鹽城·開學(xué)考試）已知，則等于（

）A．1 B．2 C．5 D．104．（2425高一下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．12二、填空題5．（2425高一上·上?！て谥校┮阎?，，則.（結(jié)果用表示）6．（2425高一下·江西宜春·開學(xué)考試）已知?jiǎng)t.7．（2425高一上·全國·課