第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年天津市南開中學高三（下）統練數學試卷（18）一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={?1,1,2,4}，那么陰影部分表示的集合為(

)A.{?1,4} B.{1,2,4} C.{1,4} D.{?1,2,4}2.設a，b∈R，則“ab>0且a>b”是“1a<1bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.有一散點圖如圖所示，在5個(x,y)數據中去掉D(3,10)后，下列說法錯誤的是(

)A.殘差平方和變小

B.相關系數r變大

C.決定系數R2變大

D.解釋變量x與響應變量y的相關性變弱4.函數f(x)=(2x+1)A. B.

C. D.5.已知sin(α+β)=13，tanαtanβA.?13 B.?19 C.6.甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同學進行數學文化知識比賽，決出第1名到第6名的名次.甲、乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都不是第一名.”對乙說：“你和丙的名次是相鄰的.”從對這兩人回答分析，這6人的名次排列的所有可能不同情況有(????)種．A.144 B.156 C.168 D.1927.在不斷發展的過程中，我國在兼顧創新創造的同時，也在強調已有資源的重復利用，廢棄資源的合理使用，如土地資源的再利用是其中的重要一環.為了積極響應國家號召，某地計劃將如圖所示的四邊形荒地ABCD改造為綠化公園，并擬計劃修建主干路AC與BD.為更好的規劃建設，利用無人機對該地區俯視圖進行角度勘探，在勘探簡化圖中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC平分∠BCD，BD=CD，則cos∠ACD=(

)A.63 B.C.2238.設雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，以坐標原點O為圓心、|OF2|為半徑的圓與E的漸近線在第一象限的交點為MA.2 B.10+12 C.9.如圖，已知點E是ABCD的邊AB的中點，Fn(n∈N?)為邊BC上的一列點，連接AFn交BD于Gn，點Gn(n∈N?)滿足GnD=A.a3=13 B.數列{an+3}是等比數列

二、填空題：本題共6小題，共30分。10.若復數z滿足(1?2i)z=?12(2+i)，其中i為虛數單位，則z11.若二項式(x?12x)n的展開式的第3項與第9項的二項式系數相等，則展開式的常數項是______12.十九世紀下半葉集合論的創立，奠定了現代數學的基礎.著名的“康托三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區間[0,1]均分為三段，去掉中間的區間段(13,23)，記為第一次操作；再將剩下的兩個區間[0,13],[23,1]分別均分為三段，并各自去掉中間的區間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區間集合即是“康托三分集”.13.從球O外一點P作球O表面的三條不同的切線，切點分別為A，B，C，∠APB=π3，∠BPC=π3，∠CPA=π2，若14.某同學共投籃12次，每次投籃命中的概率為0.8，假設每次投籃相互獨立，記他投籃命中的次數為隨機變量X，則D(2X)=______，該同學投籃最有可能命中______次.15.已知函數f(x)=(elnx)2?2mexlnx+3mx2三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題15分)

已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊經過點P(1,?3)．

(1)求tan(α+π4)+tan2α的值．

(2)若sin(3π17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，PC=PD=2，E為PB中點．

(Ⅰ)求證：PD//平面ACE；

(Ⅱ)求二面角E?AC?D的余弦值；

(Ⅲ)在棱PD上是否存在點M，使得AM⊥BD？若存在，求PM18.(本小題15分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，F1，F2分別為橢圓E的左，右焦點，A，B分別為橢圓E的上，下頂點，且|AB|=2．

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知過F1的直線l與橢圓E交于M，N兩點，且直線l不過橢圓四個頂點．

(i)設△MF1F2，△MAB的面積分別為S1，S19.(本小題15分)

對于一個給定的數列{an}，令bn=an+an+1，則數列{bn}稱為數列{an}的一階和數列，再令cn=bn+bn+1，則數列{cn}是數列{an}的二階和數列，以此類推，可得數列{an}的p階和數列．

(1)若{an}的二階和數列是等比數列，且a1=0，a20.(本小題15分)

已知f(x)=xln(ax+b)．

(1)若f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x?y?2=0，求實數a，b的值；

(2)當b=0時，若f(x)+(a2?2)x+a≥0對?x∈(0,+∞)恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)若方程f(x)=x參考答案1.A

2.A

3.D

4.B

5.D

6.C

7.A

8.B

9.C

10.(0,111.?6312.12

13.16π

14.7.68

10

15.(?1,0)

16.解：(1)角α的終邊經過點P(1,?3)，則OP=10，

所以sinα=?31010，cosα=1010，tanα=?3，

所以tan(α+π4)=tanα+11?tanα=?3+11+3=?12，tan2α=2tanα1?tan2α=17.證明：(I)設BD交AC于點F，連接EF．

因為底面ABCD是矩形，所以F為BD中點．

又因為E為PB中點，所以EF//PD．

因為PD?平面ACE，EF?平面ACE，

所以PD//平面ACE．

(II)取CD的中點O，連結PO，FO．

因為底面ABCD為矩形，所以BC⊥CD．

因為PC=PD，O為CD中點，所以PO⊥CD，OF//BC.所以OF⊥CD．

又因為平面PCD⊥平面ABCD，PO?平面PCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，

所以PO⊥平面ABCD．

如圖，建立空間直角坐標系O?xyz，則A(1,?1,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),E(12,12,12)

設平面ACE的一個法向量為m=(x,y,z)AC=(?1,2,0),AE=(?12,32,12)

所以AC?m=0,AE?m=0??x+2y=0,?12x+32y+12z=0?x=2y,z=?y.

令y=1，則x=2，z=?1，所以m=(2,1,?1)．

平面ACD的法向量為OP=(0,0,1)，cos<m,OP>=m?OP|m|?|OP|=?18.解：(1)由題意知ca=22，2b=2，又a2=b2+c2，∴a=2，b=1，

∴橢圓E的方程為x22+y2=1；

(2)(i)設M(x0,y0)，

則S1=S△MF1F2=12×|F1F2|×|y0|=12×2×|y0|=|y0|，

S2=S△MAB=12×|AB|×|x0|=12×2×|x0|=|x0|，

∵S1≤S2，∴|y0|≤|x0|，∴y02≤x02，

又∵M(x0,y0)在橢圓上，∴x022+y02=1，

∴x02=2?2y02，∴y02≤2?2y02，即y02≤23，

∵|AM|2=x02+(y0?1)2=2?2y02+y02?2y0+1，

=?y02?2y0+3,y0∈[?63,0)∪(0,63]，

∴|AM|max2=?23+263+3=7+263=(6+1)23，

∴|AM|max=32+33；

(ii)設∠MAF1=∠NAF1=θ，直線AN的傾斜角為α，直線AM的傾斜角為β，

∵A(0,1)，F(?1,0)，∴直線AF1的傾斜角為π4，

∴α=π4+θ,β=π4?θ，∴α+β=π2，

又kAN=tanα,kAM=tanβ=tan(π2?α)，

∴kAN?kAM=1，

由題意l的斜率不為0，設直線l的方程為：x=my?1，m≠1，

由x=my?1x22+y2=1，得(m2+2)y2?2my?1=0，

設M(x1,y1)N(x2,y2)，

則Δ=8m2+8>0y1+y2=2mm2+2y1y2=?1m2+2，又kAN?kAM=1，

∴y2?1x2?y1?1x1=1，

即(y1?1)(y2?1)=x1x2=(my1?1)(my2?1)，

整理得(m2?1)y1y2=(m?1)(y1+y2)，

∴?(m+1)m2+2