1

剛體力學基礎2

剛體—在運動中形狀和大小都不變的物體。

(a)剛體上任意兩個質點之間的距離都保持不變。

(b)剛體有確定的形狀和大小，可看作是由許多質點(質元)組成的質點系。把前面學習的關于質點系的概念和基本定律應用于剛體這個特殊的質點系,就可以得到剛體的運動規律。這是我們處理剛體問題的主要思想方法。

1.剛體的平動和轉動如果剛體在運動中,剛體內任何兩點的連線在空間的指向始終保持平行,這樣的運動就稱為平動。在平動時,剛體內各質點的運動狀態完全相同,因此平動剛體可視為質點。通常是用剛體質心的運動來代表整個剛體的平動。

§3-１力矩的瞬時效應—剛體的轉動定理3剛體（rigidbody）：特殊的質點系，形狀和體積不變化，

理想化的模型。平動和轉動，可以描述所有質元（質點）的運動。平動（translation）時，剛體上所有點運動都相同。

剛體質點間的相對運動只能是繞某一軸轉動（rotation）的結果。oΔ

Δ

·oo′·o′·4P點線速度P點線加速度旋轉加速度向軸加速度瞬時軸v

ωrrP×基點O剛體剛體繞O的轉動其轉軸是可以改變的，反映瞬時軸的方向及轉動快慢，引入角速度矢量和角加速度矢量5定軸轉動（rotationaboutaffixedaxis）：退化為代數量，剛體上任意點都繞同一軸作圓周運動，且同一時刻各點

，都相同。

OvP×ω,

rr定軸剛體

參考方向θz6

剛體的一般運動比較復雜。但可以證明,剛體一般運動可看作是平動和轉動的結合。

2.定軸轉動的描述

剛體繞某一定軸轉動時,由于各質點到轉軸的距離不同,所以各質點的線速度、加速度一般是不同的。但由于各質點的相對位置保持不變,所以描述各質點運動的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一樣的。因此描述剛體整體的運動時,用角量最為方便。我們在前面討論過的角位置θ、角速度ω、角加速度

等概念以及有關的公式,都可以用來描述剛體的定軸轉動。

如果剛體內的各個質點都繞同一直線(轉軸)作圓周運動,這種運動便稱為轉動。如果轉軸是固定不動的,就稱為定軸轉動。7一.質點的角動量

L=rpsin=mvrsin=mvd在慣性參考系中選一固定的參考點o,質點對o的位矢為r,動量為p=mv(圖),則質點對o點的角動量(也稱動量矩)為角動量L的大小式中

是r與v兩矢量間的夾角。質點對o點的角動量的大小,就等于質點的動量與o點到動量的垂直距離d的乘積,即L=Pd。可見，角動量與力矩的計算方法十分類似：

角動量的方向垂直于矢徑r和v所組成的平面,指向是r經小于180o的角轉到v

時右螺旋的前進方向.如圖所示。

圖m

roLd補充：質點的角動量角動量守恒定律p103新書只簡單提了一下8M=Frsin=FdL=rpsin=mrsin

=md角動量L的大小d

圖m

roLM=r×F力F對o點的力矩定義為：力矩的大小

問題:一質量為m的質點沿一直線以速率

運動,它對直線上某點的角動量為它對與直線相距d的某點的角動量為0;md。

圖rdoM質點對o點的角動量(動量矩)為9

若質點m以角速度

沿半徑r的圓周運動(如圖),質點對給定點o(圓心)的角動量的大小

顯然，此時角動量L的方向與角速度

的方向相同，就象圖所示的那樣，可由右手螺旋確定。

按SI制,角動量的單位是千克·米2/秒(kg·m2/s)。

角動量的大小和方向不僅決定于質點的運動,也依賴于所選定的參考點,即參考點不同,質點的角動量也不同。L=rm

LL圖m10二.質點角動量定理M=r×F

上式中r×F是合外力對固定點o的力矩,以M表示力矩,有

由于所以d

圖m

roL

圖rdoM11于是得:上式的意義是:質點所受的合外力矩等于它的角動量對時間的變化率。這個結論叫質點的角動量定理。上式左端的積分稱為沖量矩。式的意義是:合外力矩的沖量(沖量矩)等于質點角動量的增量。它是質點角動量定理的積分形式。將上式兩邊同乘以dt再積分得12

這就是說,對一固定點o,質點所受的合外力矩為零,則此質點的角動量矢量保持不變。這一結論叫做質點角動量守恒定律。三.質點角動量守恒守律

根據上式,如果合外力矩零(即M外=0),則L1=L2,L=常矢量即對比：角動量守恒定律是：M外=0，則L

=常矢量。動量守恒定律是：F外=0，則p=常矢量。

對比：13

解

例題3-7一質點的質量為m，位矢為：

r=acosti+bsintj(式中a、b、均為常量);求質點對原點的角動量及它所受的力矩。xyzo14r=acosti+bsintj00=mabk=m15F=ma=-m

2rM=rF=-m

2rr=0質點所受的力矩:r=acosti+bsintjM=rF16

解繩的拉力對o點的力矩為零,故小球在運動中對o點的角動量守恒,于是有

mr2

o=m(r/2)2

=4

o

由動能定理，拉力的功為F圖

orom

例題3-8如圖所示，一細繩穿過光滑水平桌面上的小孔o，繩的一端系有一質量為m的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。設開始時小球以角速度

o繞孔o作半徑r的勻速圓周運動,現在向下緩慢拉繩，直到小球作圓周運動的半徑為r/2時止，求這一過程中拉力的功。17d解得:

=4m/s,

=30

。

解對滑塊運動有影響的力只有彈性力，故機械能都守恒：

例題3-9在一光滑的水平面上，有一輕彈簧,倔強系數為k=100N/m,一端固定于o點，另一端連接一質量為m=1kg的滑塊，如圖所示。設開始時，彈簧的長度為lo=0.2m(自然長度),滑塊速度

o=5m/s,方向與彈簧垂直。當彈簧轉過90

時，其長度l=0.5m，求此時滑塊速度

的大小和方向。

角動量守恒：

m

o

lo=m

lsin

圖olol

omm18對o點的角動量守恒：

m

oR=

解火箭運動過程中只受引力(保守力)作用,機械能守恒：

例題3-10質量為m的火箭A,以水平速度

o沿地球表面發射出去，如圖所示。地軸oo

與

o平行，火箭A的運動軌道與地軸oo

相交于距o為3R的C點。不考慮地球的自轉和空氣阻力,求火箭A在C點的速度

與

o之間的夾角

。(設地球的質量為M、半徑為R)

解得Co

圖

oAMRo3Rmdm

3Rsin

19質點系內力矩質點系角動量定理········i

jFiPi

fij

fjiorjri*質點系的角動量定理講！質點系總角動量20如果對于某一固定點，質點所受的合外力矩為零，則此點對該固定點的角動量矢量保持不變。注意：1、這也是自然界普遍適用的一條基本規律。2、M＝0，可以是r=0,也可以是F=0,還可能是r與F同向或反向，例如有心力情況。rLv

r例題：證明關于行星運動的開普勒第二定律：行星對太陽的矢徑在相等的時間內掃過相等的面積。這個結論也叫等面積原理。質點系總角動量守恒21m

開普勒第二定律行星受力方向與矢徑在一條直線（中心力），故角動量守恒。----->22質點系的角動量(不要求)23

1.剛體的角動量

剛體的角動量=剛體上各個質點的角動量之和。設剛體以角速度ω繞固定軸z轉動(見圖3-１),質量為Δmi的質點對o點的角動量為

Li=Δmiviri=Δmiri2ω整個剛體的角動量就是

Lz=(

Δmiri2)ω=Jω

(１)式中,J=

Δmiri2,稱為剛體對z軸的轉動慣量。顯然，剛體的角動量的方向與角速度ω的方向相同，是沿z軸方向的(見圖3-１),故也稱為剛體對固定軸z的角動量。

剛體的定軸轉動定理轉動慣量

mivirioL

Z圖3-１問題：為何動量的概念對剛體已失去意義？24

質量m—物體平動慣性大小的量度。轉動慣量J—物體轉動慣性大小的量度。

2.轉動慣量的計算

(1)質量離散分布剛體

J=

Δmiri2(２)

即：剛體的轉動慣量等于剛體中各質點的質量乘以它們各自到轉軸垂直距離的平方的總和。（標量）

(2)質量連續分布剛體

(３)式中:r為剛體上的質元dm到轉軸的距離。將動量p=mv和角動量L=Jω對比，我們發現質量和轉動慣量的物理意義是：25l·c圖3-2llrommm通過o點且垂直于三角形平面的軸的轉動慣量為

JO=ml2+ml2=2ml2

例題3-１質量離散分布剛體：J=

Δmiri2(1)正三角形的各頂點處有一質點m，用質量不計的細桿連接,如圖3-２。系統對通過中心C且垂直于三角形平面的軸的轉動慣量為(3)平行軸定理

剛體對任一轉軸的轉動慣量J等于剛體通過質心的平行軸的轉動慣量

加上剛體的總質量m乘以兩平行軸間距離d的平方，即

J=+md2

(4)(p98證明從略)26(2)用質量不計的細桿連接的五個質點,如圖3-３所示。轉軸垂直于質點所在平面且通過o點,轉動慣量為Om2m3m4m5mllll圖3-3xdxCx圖3-4dm(1)質量為m、長度為l的細直棒，可繞通過質心C且垂直于棒的中心軸轉動，求轉動慣量。解建立如圖3-４所示的坐標，將細棒分為若干微元dm=(m/l)dx,對棒積分得JO=m.02+2m(2l2)+3m(2l)2

+4ml2+5m(2l2)=30ml2例題3-２質量連續分布剛體:27若棒繞一端o轉動,由平行軸定理，則轉動慣量為oRdmrdr

(3)均質圓盤(m,R)繞中心軸轉動時，可將圓盤劃分為若干個半徑r、寬dr的圓環積分：(2)均質細圓環(m,R)繞中心軸轉動時，其轉動慣量為28mi：設有一質點系,第i個質點的位矢為ri,外力為Fi，內力為,按質點角動量定理有:對各質點求和,并注意到

，得剛體定軸轉動定理29上式稱為質點系角動量定理。當然它也適用于剛體作定軸轉動的情形。式(5)是一矢量式,它沿通過定點的固定軸z方向上的分量式為于是得（5）（6）就是描述物體作定軸轉動的方程。對定軸轉動的剛體，J為常量,d

/dt=,故（6）式又可寫成這就是剛體定軸轉動定理。30

應當指出，這里我們例題雖然借用力矩定義式來計算力矩，但對定軸轉動剛體來說,平行于轉軸的力是不產生力矩的，因此,這里力矩公式中的力應理解為外力在垂直于轉軸的平面內的分力。

以上內容的學習要點：掌握剛體定軸轉動定律及用隔離體法求解(剛體+質點)系統問題的方法。

解

有恒外力矩時,由轉動定律M=J

和=o+t得

20-Mr=J1，1=

/t1(因

o=0)(1)式(7)表明,剛體所受的合外力矩等于剛體的轉動慣量與剛體角加速度的乘積。例3-3以20N.m的恒力矩作用在有固定軸的轉輪上，在10s內該輪的轉速均勻地由零增大到100rev/min。此時撤去該力矩，轉輪經100s而停止。試推算此轉輪對該軸的轉動慣量。31

解對柱體：mg.R=J，這式子對嗎？錯！此時繩中張力Tmg。

正確的解法是用隔離體法。即對m:mg-T=ma對柱：TR=J，a=R解得=2mg/[(2m+M)R],

T=Mmg/(2m+M)。RMmTmg

代入t1=10s,t2=100s,=(100×2)/60=10.5rad/s；解式(1)、(2)得J=17.3kg.m2

例題3-４質量為M、半徑為R的勻質柱體可繞通過其中心軸線的光滑水平固定軸轉動；柱體邊緣繞有一根不能伸長的細繩，繩子下端掛一質量為m的物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。撤去外力矩時,

-Mr=J

2,

2=-/t2(2)32

m:

mg-T2=ma

a=R1=r2,

求解聯立方程，代入數據，可得

v=2m/s,T1=48N,T2=58N。m1:T1R=m1R2

1m2:T2r-T1r=m2r2

2例題3-5質量m1=24kg的勻質圓盤可繞水平光滑軸轉動，一輕繩纏繞于盤上，另一端通過質量為m2=5kg的具有水平光滑軸的圓盤形定滑輪后掛有m=10kg的物體，如圖所示。求當物體m由靜止開始下落了h=0.5m時，物體m的速度及繩中的張力。

解各物體受力情況如圖所示。T1T1T2mgm2mRr

1

233例題3-6一質量為m、半徑為R的勻質圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的光滑軸正以

o的角速度轉動。現將盤置于粗糙的水平桌面上，圓盤與桌面間的摩擦系數為μ，求圓盤經多少時間、轉幾圈將停下來？摩擦力是分布在整個盤面上的，計算摩擦力的力矩時，應將圓盤分為無限多個半徑為r、寬為dr的圓環積分。故摩擦力矩為解rdr

of與

0反向34于是得由=

o+t=0得又由

2-o2=2，所以停下來前轉過的圈數為rdr

of35可得(1)

上式的物理意義是：合外力矩的沖量(沖量矩)等于物體角動量的增量。若物體所受的合外力矩為零(即Ｍ＝0)時,則J

=常量(2)

討論：剛體與非剛體守恒情況!

這表明：當合外力矩為零時,物體的角動量將保持不變，這就是定軸轉動的角動量守恒定律。由定軸轉動定方程:一.定軸轉動的角動量守恒定律

§3-2力矩的時間累積效應—剛體的角動量定理、角動量守恒定律36

當系統所受的合外力力矩為零時,系統的總角動量的矢量和就保持不變。

系統動量守恒的條件是：(3)時

(4)時在日常生活中,利用角動量守恒的例子也是很多的。例如在跳芭雷舞和花樣滑冰時,演員和運動員總是先張開兩臂旋轉,然后收攏臂和腿,減小轉動慣量以獲得很快的旋轉速度。定軸轉動的角動量守恒定律同樣適用于由若干個物體組成的系統。系統的角動量守恒定律描述如下：二.物體系的角動量守恒對比：系統角動量守恒的條件是：

37圖38角動量守恒在現代技術中有著非常廣泛的應用。例如直升飛機在未發動前總角動量為零,發動以后旋翼在水平面內高速旋轉必然引起機身的反向旋轉。為了避免這種情況,人們在機尾上安裝一個在豎直平面旋轉的尾翼,由此產生水平面內的推動力來阻礙機身的旋轉運動。與此類似,魚雷尾部采用左右兩個沿相反方向轉動的螺旋漿來推動魚雷前進,也是為了避免魚雷前進中的自旋。安裝在輪船、飛機、導彈或宇宙飛船上的回轉儀(也叫“陀螺”)的導航作用，也是角動量守恒應用的最好例證。以上內容的學習要點：掌握角動量守恒的條件及用角動量守恒定律求解問題的方法。39

解(1)對桿和兩小球組成的系統：初看起來,由于有摩擦外力矩的存在,碰撞過程中好象角動量不守恒。.ommvv

例題3-11粗糙的水平桌面上，有一長為2L、質量為m的勻質細桿，可繞通過其中點且垂直于桿的豎直光滑固定軸o自由轉動，桿與桌面間的摩擦系數為μ，起初桿靜止。桌面上有兩個質量均為m的小球，各自在垂直于桿的方向上，正對著桿的一端，以相同的速率v相向運動，并與桿的兩端同時發生完全非彈性碰撞(設碰撞時間極短),如圖所示。求:(1)兩小球與桿剛碰后，這一系統的角速度為多少？(2)桿經多少時間停止轉動？(不計兩小球重力造成的摩擦力矩）40解得其中但仔細分析一下便知：由于碰撞時間極短，摩擦外力矩與桿和兩小球碰撞過程中的內力矩比較起來,完全可以忽略，系統角動量仍守恒,于是.ommvv(2)摩擦力矩為dm.oxdxfr由=o+t得：41(1)外力(重力和軸的支撐力)對轉軸的力矩為零，所以系統角動量守恒，于是有(J盤+J人)

O=J盤-m人v(R/2)

上式正確嗎？顯然是錯誤的。

oR/2

例題3-12勻質園盤(m、R)與一人(m/10,視為質點)一起以角速度

o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉動,如圖所示。如果此人相對于盤以速率v、沿半徑為R/2的園周運動(方向與盤轉動方向相反),求:(1)圓盤對地的角速度;(2)欲使園盤對地靜止，人相對園盤的速度大小和方向？解系統:圓盤+人。系統什么量守恒？42

所以在應用角動量守恒定律求解問題時，應代入人相對于慣性系(地面)的角速度。正確的式子是：解出：

R/2(2)欲使盤靜止，可令得式中負號表示人的運動方向與盤的初始轉動(

o)方向一致。角動量守恒定律只適用于慣性系。P1312.回轉儀—剛體進動不要求43整個剛體的轉動動能為

剛體的轉動動能=剛體上各質點動能之和。設剛體繞一定軸以角速度

轉動,第i個質元的質量為Δmi，它到轉軸的距離為ri，它的線速度vi=riω，同一時刻各質點的角速度ω相同；

相應的動能質點的動能為對比！(１)§3-3力矩的空間累積效應—剛體的機械能守恒定律一.剛體定軸轉動的動能44二

設物體在力F作用下,繞定軸oz轉動，力F的作用點P的位移為ds=rd

，其中d

為角位移,力F與位移ds的夾角為(90o-)(見圖)。按功的定義,力F在這段位移中所作的元功是

dA=Fdscos(90o-)=Frsind=Md

(2)即力矩所作的元功等于力矩M和角位移d

的乘積。當剛體在力矩M的作用下由角

1轉到

2時,力矩所作的功為(3)FZdsd

r

op力矩的功率是

P=dA/dt=Md

/dt=M

(4)

即力矩的瞬時功率等于力矩和角速度的乘積。.力矩的功45

式(5)說明：合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量。這便是定軸轉動的動能定理。

根據剛體定軸轉動定律式：在上式兩邊同乘以d

并積分得：完成積分得(5)對比:質點動能定理：三.剛體定軸轉動的動能定理46一個包括有剛體在內的系統,如果只有保守內力作功,則這系統的機械能也同樣守恒。在計算剛體的重力勢能時，可將它的全部質量集中在質心。因此剛體的機械能為。(6)四.機械能守恒定律在剛體系統中的應用式中,hc為剛體質心到零勢面的高度2.剛體的平面平行運動問題（新書p114不要求）

47又因

解細棒受力情況如圖所示。

例題3-13一根質量為m、長為l的均勻細棒AB，可繞一水平光滑水平軸o在豎直平面內轉動，o軸離A端的距離為l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞o軸轉動，求棒轉過角

時的角加速度和角速度。

BA

Cmgo48所以完成積分得(2)當=90°時，=0，討論:(1)當=0時=3g/2l，0本題也可用動能定理，或機械能守恒定理求。=(3g/l)

1/2。49

例題3-14如圖所示，有一由彈簧、勻質滑輪和重物M組成的系統，該系統在彈簧為原長時被靜止釋放。運動過程中繩與滑輪間無滑動。求:(1)重物M下落h時的速度；(2)彈簧的最大伸長量。hMmrk零勢面，v=r由此解得：

解(1)系統在運動過程中只有保守力—重力和彈性力作功，所以機械能守恒：50(2)彈簧伸長最大時，Ｍ的速度應為零。上式中令v=0,得彈簧的最大伸長量為：hmax=2Mg/k。五、守恒定律的意義及其應用動量守恒角動量守恒能量守恒特點和優點：各個守恒定律都是涉及過程的規律，又都只要滿足一定的整體條件，則可不追究過程細節而能對系統的初、末狀態下結論。或由初態求出末態來。意義：守恒定律的發現、推廣和修正能推動人們深入認識自然界。守恒定律時空對稱性動量守恒定律角動量守恒定律能量守恒定律空間平移對稱性空間轉動對稱性時間平移對稱性51

解(1)桿+子彈：豎直位置，外力(軸o處的力和重力)均不產生力矩，故碰撞過程中角動量守恒：2l/3mvooA

解得(2)桿在轉動過程中顯然機械能守恒：

例題3-15長為l、質量為M的勻質桿可繞通過桿一端的水平光滑固定軸o轉動，開始時桿豎直下垂，如圖所示。有一質量為m的子彈以水平速度射入桿上的A點，并嵌在桿中，oA=2l/3,求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;(2)桿能轉過的最大角度

。52由此得：2l/3mvooA

53系統在運動過程中，只受到一個外力—重力的作用，而重力不產生力矩，故角動量守恒；顯然機械能也守恒。(1)

例題3-16空心園環可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉動，轉動慣量為Jo,半徑為R，初始角速度為

o

。質量為m的小球靜止在環的最高處A點，由于某種擾動，小球沿環向下滑動，求小球滑到與環心O在同一高度的B點時，環的角速度及小球相對于環的速度各為多少。(設環的內壁和小球都是光滑的，環截面很小)ABOR

o解系統(小球和環)在運動過程中哪些量守恒？54

上式中的v是小球相對于地的速度，它應為

vB表示小球在B點時相對于地面的豎直分速度(即相對于環的速度)。

(2)由(2)得由(1)得環的角速度為圖BR

oAO55例題3-17工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉速一起轉動。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉動慣量為JA=10kg

m2，B的轉動慣量為JB=20kg

m2。開始時A輪的轉速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉速；在嚙合過程中，兩輪的機械能有何變化？

A

ACBACB圖56

為兩輪嚙合后共同轉動的角速度，解

以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統來考慮，在嚙合過程中，系統受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對轉軸的力矩為零，后者對轉軸有力矩，但為系統的內力矩。系統沒有受到其他外力矩，所以系統的角動量守恒。按角動量守恒定律可得以各量的數值代入得或共同轉速為在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機械能不守恒，部分機械能將轉化為熱量，損失的機械能為57p109

2.回轉儀進動第3章完P1142.剛體平面平行運動問題不要求58*2.回轉儀—剛體進動(Ｐ109不要求)旋進：高速旋轉的物體，其自轉軸繞另一個軸轉動的現象。定軸轉動vvLLzz=$∥（對軸）w但對定點轉動vL還平行于vw嗎？顯然若mm1