試題PAGE1試題河北省邢臺市2023-2024學年高一下學期期中數學試卷(解析版)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．（5分）（3+i）（4﹣2i）＝（）A．14﹣2i B．8﹣2i C．14+2i D．8+2i2．（5分）下列結論正確的是（）A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐 B．繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐 C．有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺 D．棱臺的所有側棱所在直線必交于一點3．（5分）已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．4．（5分）如圖，△O′A′B′是△OAB在斜二測畫法下的直觀圖，其中O′B′＝2O′A′＝4，則△OAB的面積是（）A． B．4 C．8 D．5．（5分）如圖，圓錐SO的頂點及底面圓的圓周都在球M的球面上，且圓錐SO的母線長和底面圓的直徑均為2，則球M的表面積為（）A．π B．4π C． D．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若sin2A+sin2B+cos2C＜1，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定的7．（5分）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若點E，F分別滿足，平面EB1C1F將三棱柱分成的左、右兩部分的體積分別為V1和V2，則V1：V2＝（）A．19：8 B．2：1 C．17：10 D．16：118．（5分）18世紀末，挪威測量學家維塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數，使復數及其運算具有了幾何意義，例如|z|＝|OZ|，即復數z的模的幾何意義為z對應的點Z到原點的距離．設復數z＝x+yi（x，y∈R），且，則|z+1|的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）已知復數z＝a+bi（a，b∈R，且b≠0）滿足，則（）A． B． C．|z|＝1 D．（多選）10．（6分）用一個平面去截一個幾何體，截面是四邊形，則這個幾何體可能是（）A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐（多選）11．（6分）在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，P為棱BB1上的動點（含端點），則下列結論正確的是（）A．四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的表面積是 B．四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的體積是 C．AP+PC的最小值為 D．AP+PC1的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）一個棱臺至少有個面．13．（5分）已知復數z和是關于x的方程x2+mx+8＝0（m∈R）的兩根，則|z|＝．14．（5分）在△ABC中，D，E分別在邊BC，AC上，且，若，則x﹣y＝，線段AD與BE交于點F，則＝．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知復數z＝m2﹣1+（m2﹣2m﹣3）i（m∈R）．（1）若復數z在復平面內對應的點位于第四象限，求m的取值范圍；（2）若是純虛數，求m的值．16．（15分）如圖，這是某建筑大樓的直觀圖，它是由一個半球和一個圓柱組合而成的．已知該幾何體的下半部分圓柱的軸截面（過圓柱上、下底面圓的圓心連線的平面）ABCD是邊長為6的正方形．（1）求該幾何體的表面積；（2）求該幾何體的體積．17．（15分）在平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝6，，F是線段AD的中點，，λ∈[﹣1，1]．（1）若，AE與BF交于點N，，求x﹣y的值；（2）求的最小值．18．（17分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別在BB1，AD上．已知AB＝BC＝6，AA1＝8，BE＝DF＝2．（1）作出平面C1EF截長方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面，并寫出作法；（2）求（1）中所作截面的周長；（3）長方體ABCD﹣A1B1C1D1被平面C1EF截成兩部分，求體積較小部分的幾何體的體積V．19．（17分）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝2，AD＝4．（1）若A為銳角，且，求△BCD的面積；（2）求四邊形ABCD面積的最大值；（3）當A＝60°時，P在四邊形ABCD所在平面內，求PA+PB+PD的最小值．

參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．（5分）（3+i）（4﹣2i）＝（）A．14﹣2i B．8﹣2i C．14+2i D．8+2i【分析】直接利用復數代數形式的乘法運算化簡得答案．【解答】解：（3+i）（4﹣2i）＝12﹣6i+4i﹣2i2＝12﹣6i+4i+2＝14﹣2i．故選：A．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎題．2．（5分）下列結論正確的是（）A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐 B．繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐 C．有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺 D．棱臺的所有側棱所在直線必交于一點【分析】根據題意，由棱錐的定義分析A，由圓錐的定義分析B，由棱臺的定義分析C和D，綜合可得答案．【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，各側面都是全等的等腰三角形，且底面為正多邊形的棱錐是正棱錐，A錯誤；對于B，繞直角三角形的一條直角邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐，B錯誤；對于C，若幾何體中，有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形，不能保證側棱的延長線交于一點，該幾何體不一定為棱臺，C錯誤；對于D，由棱臺的定義，棱臺的所有側棱所在直線必交于一點，D正確．故選：D．【點評】本題考查棱柱、棱臺、棱錐的結構特征，注意常見幾何體的定義，屬于基礎題．3．（5分）已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．【分析】根據題設條件及投影向量的概念進行計算即可求解．【解答】解：由題意，在上的投影向量為：＝＝．故選：C．【點評】本題考查投影向量的概念，屬基礎題．4．（5分）如圖，△O′A′B′是△OAB在斜二測畫法下的直觀圖，其中O′B′＝2O′A′＝4，則△OAB的面積是（）A． B．4 C．8 D．【分析】根據題意，求出直觀圖的面積，進而由原圖面積與直觀圖面積的關系，分析可得答案．【解答】解：根據題意，直觀圖△O′A′B′中，O′B′＝2O′A′＝4，∠B′O′A′＝45°，則其直觀圖的面積S′＝×O′B′×O′A′×sin45°＝2，則原圖的面積S＝2S′＝2×2＝8．故選：C．【點評】本題考查平面圖形的直觀圖，注意原圖面積與直觀圖面積的關系，屬于基礎題．5．（5分）如圖，圓錐SO的頂點及底面圓的圓周都在球M的球面上，且圓錐SO的母線長和底面圓的直徑均為2，則球M的表面積為（）A．π B．4π C． D．【分析】設底面圓O半徑為r，球M半徑為R，圓錐高為h，則R2＝（h﹣R）2+r2，求解R得出結果．【解答】解：如圖，底面圓O半徑r＝1，母線l＝2，球M半徑為R，連接AM，圓錐高，則R2＝（h﹣R）2+r2，即，解得，則球M表面積．故選：D．【點評】本題考查了圓錐外接球表面積的計算，屬于中檔題．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若sin2A+sin2B+cos2C＜1，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定的【分析】由已知結合同角平方關系，正弦定理及余弦定理進行化簡即可判斷．【解答】解：若sin2A+sin2B+cos2C＜1，則sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，由正弦定理得，a2+b2﹣c2＜0，即cosC＜0，所以C為鈍角，即△ABC為鈍角三角形．故選：C．【點評】本題主要考查了同角基本關系，正弦定理及余弦定理在三角形形狀判斷中的應用，屬于基礎題．7．（5分）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若點E，F分別滿足，平面EB1C1F將三棱柱分成的左、右兩部分的體積分別為V1和V2，則V1：V2＝（）A．19：8 B．2：1 C．17：10 D．16：11【分析】先計算三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V＝Sh，再得出三棱臺AEF﹣A1B1C1的體積V1，從而根據，即可求解．【解答】解：設△ABC的面積為S，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高為h，則三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V＝Sh，因為，，所以EF∥BC，所以△AEF∽△ABC，且，所以△AEF的面積，則三棱臺AEF﹣A1B1C1的體積，從而，故．故選：A．【點評】本題考查幾何體體積的計算，屬于中檔題．8．（5分）18世紀末，挪威測量學家維塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數，使復數及其運算具有了幾何意義，例如|z|＝|OZ|，即復數z的模的幾何意義為z對應的點Z到原點的距離．設復數z＝x+yi（x，y∈R），且，則|z+1|的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】由題意，把化為|[（x+1）+yi]﹣（3+3i）|＝，利用絕對值不等式求出|z+1|的取值范圍．【解答】解：由z＝x+yi（x，y∈R），且，得|[（x+1）+yi]﹣（3+3i）|＝，由＝|[（x+1）+yi]﹣（3+3i）|≥|（x+1）+yi|﹣|3+3i|＝|z+1|﹣3，所以|z+1|≤4；由＝|[（x+1）+yi]﹣（3+3i）|≥|3+3i|﹣|（x+1）+yi|＝3﹣|z+1|，所以|z+1|≥2；所以|z+1|的取值范圍是[2，4]．故選：D．【點評】本題考查了復數的模長應用問題，也考查了轉化思想，是基礎題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）已知復數z＝a+bi（a，b∈R，且b≠0）滿足，則（）A． B． C．|z|＝1 D．【分析】結合復數的四則運算，以及共軛復數的定義，求出a，b，即可依次判斷．【解答】解：復數z＝a+bi（a，b∈R，且b≠0）滿足，則（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，即，解得，b＝，故A正確；B錯誤；，故C正確；z+＝2a＝﹣1，故D正確．故選：ACD．【點評】本題主要考查復數的運算，以及共軛復數的定義，屬于基礎題．（多選）10．（6分）用一個平面去截一個幾何體，截面是四邊形，則這個幾何體可能是（）A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐【分析】根據圓錐、圓柱、三棱柱、三棱錐的幾何特征，分別分析出用一個平面去截該幾何體時，可能得到的截面的形狀，逐一比照后，即可得到答案．【解答】解：用一個平面去截一個圓錐，得到的圖形可能是圓、橢圓、拋物線、雙曲線的一支、三角形，不可能是四邊形，故A不滿足要求；用一個平面去截一個圓柱，軸截面是四邊形，故B滿足要求；用一個平面去截一個三棱柱，當截面平行于側棱時，截面是四邊形，故C滿足要求；用一個平面去截一個三棱錐，當截面經過兩組對棱的中點時，截面是四邊形，故D滿足要求．故選：BCD．【點評】本題考查的知識點是圓錐的幾何特征，圓柱的幾何特征，球的幾何特征，其中熟練掌握相關旋轉體的幾何特征，培養良好的空間想像能力，是解答本題的關鍵．（多選）11．（6分）在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，P為棱BB1上的動點（含端點），則下列結論正確的是（）A．四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的表面積是 B．四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的體積是 C．AP+PC的最小值為 D．AP+PC1的最小值為【分析】對于A，該四棱臺的側面都是等腰梯形，算出所有面的面積即可求解；對于B，先求出棱臺的高，再利用棱臺的體積公式即可求解；對于C，把四邊形A1ABB1，BB1C1C展開至同一個平面，連接AC，AC1，AB1，易知AP+PC的最小值就是展開圖中AC的長，解三角形即可；對于D，在△AA1B1中，利用余弦定理即可求解．【解答】解：如圖1，由題意可知該四棱臺的側面都是等腰梯形，且∠A1AB＝60°，作A1E⊥AB，垂足為E，因為A1A＝4，∠A1AB＝60°，所以，所以，則四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的表面積，故A正確；如圖2，設O1，O分別是A1C1和AC的中點，則OO1是四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的高，作A1H⊥AC，垂足為H，由題中數據可知，則四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的體積＝，故B正確；如圖3，把四邊形A1ABB1，BB1C1C展開至同一個平面，連接AC，AC1，AB1，易知AP+PC的最小值就是展開圖中AC的長，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，則，即AP+PC的最小值為，故C正確；在△AA1B1中，由余弦定理可得，則，從而，由圖可知，則D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查正四棱臺的體積與表面積以及利用展開思想求最值問題，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）一個棱臺至少有5個面．【分析】由題意，根據面數最少的棱臺是三棱臺，即可求解．【解答】解：易知面數最少的棱臺是三棱臺，而三棱臺有5個面，則一個棱臺至少有5個面．故答案為：5．【點評】本題考查棱臺的結構特征，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．13．（5分）已知復數z和是關于x的方程x2+mx+8＝0（m∈R）的兩根，則|z|＝．【分析】根據復數的運算及二次方程根與系數的關系即可求得．【解答】解：設z＝a+bi（a，b∈R），則，從而，故．故答案為：．【點評】本題考查二次方程根與系數的關系，考查共軛復數及復數的模長公式，屬基礎題．14．（5分）在△ABC中，D，E分別在邊BC，AC上，且，若，則x﹣y＝，線段AD與BE交于點F，則＝9．【分析】由已知結合向量的線性運算即可求解x，y，進而可求x﹣y；結合向量的線性運算及平面向量基本定理即可求解．【解答】解：因為，所以，因為，所以，則，，故，因為B，F，E三點共線，所以＝，因為＝3，所以，所以，因為A，F，D三點共線，所以，所以，所以，解得k＝，則＝9．故答案為：，9．【點評】本題主要考查了向量的線性運算及平面向量基本定理的應用，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知復數z＝m2﹣1+（m2﹣2m﹣3）i（m∈R）．（1）若復數z在復平面內對應的點位于第四象限，求m的取值范圍；（2）若是純虛數，求m的值．【分析】（1）結合復數的幾何意義即可求解；（2）結合復數的四則運算及基本概念即可求解．【解答】解：（1）因為z＝m2﹣1+（m2﹣2m﹣3）i對應的點位于第四象限，所以，解得1＜m＜3，故m的范圍為（1，3）；（2）因為＝＝＝﹣m2+m+2+（m+1）i是純虛數，故﹣m2+m+2＝0，m+1≠0，所以m＝2．【點評】本題主要考查了復數的四則運算，復數的幾何意義及基本概念的應用，屬于基礎題．16．（15分）如圖，這是某建筑大樓的直觀圖，它是由一個半球和一個圓柱組合而成的．已知該幾何體的下半部分圓柱的軸截面（過圓柱上、下底面圓的圓心連線的平面）ABCD是邊長為6的正方形．（1）求該幾何體的表面積；（2）求該幾何體的體積．【分析】（1）分別求出各個面的面積即可求解；（2）分別求出半球和圓柱的體積即可求解．【解答】解：由題意可知半球的半徑R＝3，圓柱的底面圓半徑r＝3，高h＝6，（1）由球的表面積公式可得半球的曲面面積，由圓的面積公式可得圓柱底面圓的面積，由圓柱的側面積公式可得圓柱的側面積S3＝2πrh＝36π，故該幾何體的表面積S＝S1+S2+S3＝18π+9π+36π＝63π．（2）由球的體積公式可得半球的體積，由圓柱的體積公式可得圓柱的體積，故該幾何體的體積V＝V1+V2＝18π+54π＝72π．【點評】本題考查幾何體體積與表面積的計算，屬于基礎題．17．（15分）在平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝6，，F是線段AD的中點，，λ∈[﹣1，1]．（1）若，AE與BF交于點N，，求x﹣y的值；（2）求的最小值．【分析】（1）以向量、為基底，表示出、、，根據且建立關于x、y的方程組，解出x、y的值，即可得到本題的答案；（2）根據題意算出＝12，將、表示為、的組合，利用平面向量數量積的運算性質，推導出＝[（λ﹣1）+]?（+）＝16λ2+2λ+12，進而利用二次函數的性質，求出的最小值．【解答】解：（1）當時，E為CD的中點，可得＝＝+，若，則＝＝（x﹣1）+y，因為F是AD的中點，所以＝+，結合，得…①，由，得＝…②，將①②組成方程組，解得x＝，y＝，所以x﹣y＝；（2）根據題意，可得＝||?||cos＝12，由＝，得＝+＝+，可得＝＝（λ﹣1）+，由，得＝﹣＝+，所以＝[（λ﹣1）+]?（+）＝（λ2﹣λ）||2+（﹣）+||2＝16（λ2﹣λ）+12（﹣）+62＝16λ2+2λ+12，根據二次函數的性質，當λ＝時，的最小值為16×（）2+2×（）+12＝．【點評】本題主要考查平面向量的線性運算法則、平面向量數量積的定義與運算性質、二次函數的最值求法等知識，屬于中檔題．18．（17分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別在BB1，AD上．已知AB＝BC＝6，AA1＝8，BE＝DF＝2．（1）作出平面C1EF截長方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面，并寫出作法；（2）求（1）中所作截面的周長；（3）長方體ABCD﹣A1B1C1D1被平面C1EF截成兩部分，求體積較小部分的幾何體的體積V．【分析】（1）延長C1E，與CB的延長線交于點N，連接NF并延長，分別交AB于P，交CD的延長線于M，連接MC1，交DD1于點Q，連接QF，PE，即可得到截面；（2）根據相似關系得出各邊的長，即可求解；（3）利用割補法即可求得幾何體的體積．【解答】解：（1）如圖所示，五邊形PEC1QF為所求截面．作法如下：延長C1E，與CB的延長線交于點N，連接NF并延長，分別交AB于P，交CD的延長線于M，連接MC1，交DD1于點Q，連接QF，PE，則五邊形PEC1QF為所求截面．（2）由（1）易得，則BN＝2，由，得BP＝2，AP＝4，則，，由，得MD＝2，由，得QD＝2，QD1＝6，則，，故截面的周長為．（3）．故所求體積為．【點評】本題考查幾何體的結構特征以及體積的計算，屬于中檔題．19．（17分）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝2，AD＝4．（1）若A為銳角，且，求△BCD的面積；（2）求四邊形ABCD面積的最大值