山東省濟寧市魚臺縣第一中學2025年高三3月摸底考試綜合試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．2．已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．已知函數，若有2個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，直線與拋物線交于，兩點，若，則為()A． B．40 C．16 D．5．已知拋物線和點，直線與拋物線交于不同兩點，，直線與拋物線交于另一點．給出以下判斷：①直線與直線的斜率乘積為；②軸；③以為直徑的圓與拋物線準線相切.其中，所有正確判斷的序號是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③6．若函數恰有3個零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．7．點為不等式組所表示的平面區域上的動點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．若復數滿足，則（）A． B． C．2 D．9．已知等差數列的前13項和為52，則（）A．256 B．-256 C．32 D．-3210．一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結果是，則判斷框中應填入的條件是（）A． B． C． D．11．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元12．已知角的終邊經過點P()，則sin()=A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若正三棱柱的所有棱長均為2,點為側棱上任意一點,則四棱錐的體積為__________．14．已知點是拋物線的準線上一點，F為拋物線的焦點，P為拋物線上的點，且，若雙曲線C中心在原點，F是它的一個焦點，且過P點，當m取最小值時，雙曲線C的離心率為______.15．三棱錐中，點是斜邊上一點.給出下列四個命題：①若平面，則三棱錐的四個面都是直角三角形；②若，，，平面，則三棱錐的外接球體積為；③若，，，在平面上的射影是內心，則三棱錐的體積為2；④若，，，平面，則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號是__________．（把你認為正確命題的序號都填上）16．由于受到網絡電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經濟損失，現將地區200家實體店該品牌洗衣機的月經濟損失統計如圖所示，估算月經濟損失的平均數為，中位數為n，則_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在中，，，點在線段上.（1）若，求的長；（2）若，，求的面積.18．（12分）如圖，在中，已知，，，為線段的中點，是由繞直線旋轉而成，記二面角的大小為.（1）當平面平面時，求的值；（2）當時，求二面角的余弦值.19．（12分）設，函數.（1）當時，求在內的極值；（2）設函數，當有兩個極值點時，總有，求實數的值.20．（12分）已知橢圓C的離心率為且經過點（1）求橢圓C的方程；（2）過點(0，2)的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B，以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M在橢圓C上，求直線l的方程.21．（12分）設函數（）的最小值為.（1）求的值；（2）若，，為正實數，且，證明：.22．（10分）已知橢圓的左右焦點分別是，點在橢圓上，滿足（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過點，且與橢圓只有一個公共點，直線與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點的兩點，與直線交于點（介于兩點之間），是否存在直線，使得直線，，的斜率按某種排序能構成等比數列？若能，求出的方程，若不能，請說理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計算．【詳解】由可得，因為，所以．故在方向上的投影為．故選：C．本題考查向量的數量積與投影．掌握向量垂直與數量積的關系是解題關鍵．2．A【解析】

根據橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結合和的離心率之積為，即可得的關系，進而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡可得，故選：A.本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎題.3．C【解析】

令，可得，要使得有兩個實數解，即和有兩個交點，結合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個實數解，即和有兩個交點，，令，可得，當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減.當時，，若直線和有兩個交點，則.實數的取值范圍是.故選：C.本題主要考查了根據零點求參數范圍，解題關鍵是掌握根據零點個數求參數的解法和根據導數求單調性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.4．D【解析】

如圖所示，過分別作于，于，利用和，聯立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示：過分別作于，于.，則，根據得到：，即，根據得到：，即，解得，，故.故選：.本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.5．B【解析】

由題意，可設直線的方程為，利用韋達定理判斷第一個結論；將代入拋物線的方程可得，，從而，，進而判斷第二個結論；設為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設，到準線的距離分別為，，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，，三點不共線，進而判斷第三個結論.【詳解】解：由題意，可設直線的方程為，代入拋物線的方程，有．設點，的坐標分別為，，則，．所．則直線與直線的斜率乘積為．所以①正確．將代入拋物線的方程可得，，從而，，根據拋物線的對稱性可知，，兩點關于軸對稱，所以直線軸．所以②正確．如圖，設為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設，到準線的距離分別為，，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，，三點不共線，則．所以③不正確．故選：B.本題主要考查拋物線的定義與幾何性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力和創新意識，考查數形結合思想、化歸與轉化思想,屬于難題．6．B【解析】

求導函數，求出函數的極值，利用函數恰有三個零點，即可求實數的取值范圍.【詳解】函數的導數為，令，則或，上單調遞減，上單調遞增，所以0或是函數y的極值點，函數的極值為：，函數恰有三個零點，則實數的取值范圍是：.故選B.該題考查的是有關結合函數零點個數，來確定參數的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應用導數研究函數圖象的走向，利用數形結合思想，轉化為函數圖象間交點個數的問題，難度不大.7．B【解析】

作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，利用的幾何意義即可得到結論．【詳解】不等式組作出可行域如圖：，，，的幾何意義是動點到的斜率，由圖象可知的斜率為1，的斜率為：，則的取值范圍是：，，．故選：．本題主要考查線性規劃的應用，根據目標函數的幾何意義結合斜率公式是解決本題的關鍵．8．D【解析】

把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的計算公式計算.【詳解】解：由題意知，，，∴，故選：D.本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數模的求法.9．A【解析】

利用等差數列的求和公式及等差數列的性質可以求得結果.【詳解】由，，得.選A.本題主要考查等差數列的求和公式及等差數列的性質，等差數列的等和性應用能快速求得結果.10．D【解析】

首先判斷循環結構類型，得到判斷框內的語句性質，然后對循環體進行分析，找出循環規律，判斷輸出結果與循環次數以及的關系，最終得出選項．【詳解】經判斷此循環為“直到型”結構，判斷框為跳出循環的語句，第一次循環：；第二次循環：；第三次循環：，此時退出循環，根據判斷框內為跳出循環的語句，，故選D．題主要考查程序框圖的循環結構流程圖，屬于中檔題．解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區分程序框圖是條件分支結構還是循環結構；(3)注意區分當型循環結構和直到型循環結構；(4)處理循環結構的問題時一定要正確控制循環次數；(5)要注意各個框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可．11．D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．12．A【解析】

由題意可得三角函數的定義可知：，，則：本題選擇A選項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

依題意得,再求點到平面的距離為點到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點到平面的距離為點到直線的距離所以,所以.故答案為:本題考查椎體的體積公式,考查運算能力,是基礎題.14．【解析】

由點坐標可確定拋物線方程，由此得到坐標和準線方程；過作準線的垂線，垂足為，根據拋物線定義可得，可知當直線與拋物線相切時，取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得點坐標，根據雙曲線定義得到實軸長，結合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準線上的一點拋物線方程為，準線方程為過作準線的垂線，垂足為，則設直線的傾斜角為，則當取得最小值時，最小，此時直線與拋物線相切設直線的方程為，代入得：，解得：或雙曲線的實軸長為，焦距為雙曲線的離心率故答案為：本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用；關鍵是能夠確定當取得最小值時，直線與拋物線相切，進而根據拋物線切線方程的求解方法求得點坐標.15．①②③【解析】

對①，由線面平行的性質可判斷正確；對②，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結合外接球半徑公式即可求解；對③，結合題意作出圖形，由勾股定理和內接圓對應面積公式求出錐體的高，則可求解；對④，由動點分析可知，當點與點重合時，直線與平面所成的角最大，結合幾何關系可判斷錯誤；【詳解】對于①，因為平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四個面都是直角三角形，∴①正確；對于②，若，，，平面，∴三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球，∴，，∴體積為，∴②正確；對于③，設內心是，則平面，連接，則有，又內切圓半徑，所以，，故，∴三棱錐的體積為，∴③正確；對于④，∵若，平面，則直線與平面所成的角最大時，點與點重合，在中，，∴，即直線與平面所成的最大角為，∴④不正確，故答案為：①②③.本題考查立體幾何基本關系的應用，線面垂直的性質及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔題16．360【解析】

先計算第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，，面積和超過0.5，所以中位數在第二塊求解，然后再求得平均數作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故；而，故.故答案為：360.本題考查頻率分布直方圖、樣本的數字特征，考查運算求解能力以及數形結合思想，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）先根據平方關系求出,再根據正弦定理即可求出；（2）分別在和中，根據正弦定理列出兩個等式，兩式相除，利用題目條件即可求出，再根據余弦定理求出，即可根據求出的面積．【詳解】（1）由，得，所以.由正弦定理得，，即，得.（2）由正弦定理，在中，，①在中，，②又，，，由得，由余弦定理得，即，解得，所以的面積.本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應用，以及三角形面積公式的應用，意在考查學生的數學運算能力，屬于基礎題．18．(1);(2).【解析】

(1)平面平面,建立坐標系，根據法向量互相垂直求得;(2)求兩個平面的法向量的夾角.【詳解】(1)如圖，以為原點，在平面內垂直于的直線為軸所在的直線分別為軸,軸，建立空間直角坐標系，則，設為平面的一個法向量,由得,取,則因為平面的一個法向量為由平面平面，得所以即.(2)設二面角的大小為，當平面的一個法向量為,綜上,二面角的余弦值為.本題考查用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,難度一般.19．（1）極大值是，無極小值；（2）【解析】

（1）當時，可求得，令，利用導數可判斷的單調性并得其零點，從而可得原函數的極值點及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個不同的實根，，從而可得△及，由，得．則可化為對任意的恒成立，按照、、三種情況分類討論，分離參數后轉化為求函數的最值可解決；【詳解】（1）當時，.令，則，顯然在上單調遞減，又因為，故時，總有，所以在上單調遞減.由于，所以當時，；當時，.當變化時，的變化情況如下表：+-增極大減所以在上的極大值是，無極小值.（2）由于，則.由題意，方程有兩個不等實根，則，解得，且，又，所以.由，，可得又.將其代入上式得：.整理得，即當時，不等式恒成立，即.當時，恒成立，即，令，易證是上的減函數.因此，當時，，故.當時，恒成立，即，因此，當時，所以.綜上所述，.本題考查利用導數求函數的最值、研究函數的極值等知識，考查分類討論思想、轉化思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，該題綜合性強，難度大，對能力要求較高．20．（1）（2）【解析】

（1）根據橢圓的離心率、橢圓上點的坐標以及列方程，由此求得，進而求得橢圓的方程.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理.根據平行四邊形的性質以及向量加法的幾何意義得到，由此求得點的坐標，將的坐標代入橢圓方程，化簡后可求得直線的斜率，由此求得直線的方程.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，點在橢圓上，所以，且解得，所以橢圓的方程為．（2）顯然直線的斜率存在，設直線的斜率為，則直線的方程為，設，由消去得