南陽地區2024年春季高一年級階段檢測考試卷數學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：北師大版必修第二冊第一、二章占35%，第三章至第五章占65%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據復數乘法運算化簡即可.【詳解】.故選：A.2.已知是第二象限角，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用同角的三角函數基本關系式先求出余弦值，再求正切值即得.【詳解】因是第二象限角，且，故，則.故選：B.3.在中，是的中點，在上，且，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據題意利用平面向量基本定理結合向量的加減法運算求解即可.【詳解】因為是的中點，所以.因為，所以，則.故選：D4.已知復數是關于的一元二次方程（，）的一個根，則（）A.B.C.19D.31【答案】C【解析】【分析】利用方程根的意義，結合復數相等求出即得.【詳解】由復數是方程的根，得，即，而，則，解得，所以.故選：C5.函數是（）A.最小正周期為的奇函數B.最小正周期為的奇函數C.最小正周期為偶函數D.最小正周期為的偶函數【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式化簡函數式得，根據函數的奇偶性定義和余弦型函數的周期公式即可確定選項.【詳解】因為，由的定義域為，且，又由，可得是最小正周期為的偶函數.故選：C.6.（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】將切化弦，再由利用兩角差的余弦公式化簡，即可得解.【詳解】.故選：B7.某數學興趣小組成員為測量某塔的高度，在該塔的底部點的同一水平面上的，兩處進行測量.如圖，已知在處測得塔頂的仰角為45°，在處測得塔頂的仰角為30°，，米，則該塔的高度（）A.15米B.米C.30米D.米【答案】A【解析】【分析】利用仰角的定義及銳角三角函數，結合余弦定理即可求解.【詳解】設米，則米，米.在中，由余弦定理可得，即，解得.故選：A.8.已知，，且，，則（）A.或B.或C.D.【答案】D【解析】【分析】根據三角恒等變換的知識先求得對應的三角函數值，進而求得.【詳解】因為，，所以，所以，.因為，所以，所以.因為，所以.因為，所以，則，故（）.因為，所以.因為，所以.因為，所以，所以，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列各式中，計算結果為的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】對A，利用誘導公式和兩角和的正弦公式運算判斷；對B，利用兩角和的正切公式運算；對C，利用二倍角正切公式運算判斷；對D，利用輔助角公式運算判斷.【詳解】對于A，因為，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，故C錯誤；對于D，因為，故D正確.故選：BD.10.已知，是兩個不同的非零復數，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則或D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】設，，由得的值可判斷A；由得可判斷B；舉例可判斷C；由求出可判斷D.【詳解】設，（，且不同時為0，不同時為0），對于A，則，，，由得，則，故A正確；對于B，由，得，，，故B正確；對于C，當，時，滿足，此時，且，則C錯誤；對于D，由，得，則，即，故D正確.故選：ABD.11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.偶函數B.的圖象關于點中心對稱C.方程在上的所有解的和是D.若，對任意的，，，恒成立，則的最大值是【答案】ACD【解析】【分析】化簡，求出可判斷A；求出圖象的對稱中心坐標可判斷B；判斷出的圖象、函數的圖象關于直線對稱，結合圖象可判斷C；利用單調性定義得出在上單調遞增，結合的單調性，利用，可判斷故D.【詳解】對于A，由題意可得，則，由于，從而是偶函數，故A正確；對于B，由（），得（），則圖象的對稱中心為（），故B錯誤；對于C，由，得，，所以的圖象關于直線對稱，函數的圖象也關于直線對稱，如圖，在上有6個解，且在直線兩側各有3個解，則它們所有解的和是，故C正確；對于D，由對任意的，，且，恒成立，得在上單調遞增，令（），得（），因為，所以當時，，此時的最大值是；當時，，此時的最大值是，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是化簡出，且在C選項中解題的關鍵點是結合圖象解題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則______.【答案】##【解析】【分析】根據向量垂直列方程，化簡求得值.【詳解】由題意可得，則，解得.故答案為：.13.已知，則______.【答案】【解析】【分析】將拆解成，利用誘導公式和二倍角公式轉化，代入計算即得.【詳解】.故答案為：.14.已知復數，（），且，則______.【答案】或3【解析】【分析】求得復數，根據已知條件可得出關于實數的等式與不等式，即可解得實數的值.【詳解】由題意可得，則，即，即，故.因為，所以，，且.因為，所以，解得或.故答案為：或3四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知復數（）.（1）若是純虛數，求的值；（2）若在復平面內對應的點在第四象限，求的取值范圍.【答案】（1）1（2）.【解析】【分析】（1）由純虛數的定義列出方程組得出；（2）由復數在復平面內對應的點的特征，列出不等式組得出的取值范圍．【小問1詳解】由題意可得，則的實部為，虛部為，因為是純虛數，所以，解得；【小問2詳解】題意可得，解得，即的取值范圍是.16.已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，利用三角函數的基本關系式，求得，再利用兩角差的余弦公式，即可求解；（2）由（1）求得，得到，結合正切的倍角公式，即可求解.【小問1詳解】解：因為，所以.又因為，所以，因為，所以，所以，.【小問2詳解】解：因為，所以，由（1）可知，則，所以，故.17.在中，角的對邊分別是,且.（1）證明：.（2）若，求的取值范圍，【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）化切為弦，移項后運用和角公式，解三角方程即得；（2）由正弦定理將邊表示為，再利用和角公式、二倍角公式化為，求出角范圍，設，利用函數的單調性即可求得.【小問1詳解】因為，所以，即，移項得，，所以.因為，，所以，即.【小問2詳解】由正弦定理可得，則.因為，，故則.因為解得，所以.設，則在上單調遞增，故，即的取值范圍是.18.已知復數（，，且），且是實數.（1）求的值；（2）求的取值范圍；（3）求的最小值.【答案】（1）（2）（3）1.【解析】【分析】（1）根據題意，利用復數的除法運算結合復數的分類求解；（2）由（1）結合復數的幾何意義求解；（3）先利用復數的除法運算化簡得，代入運算化簡，再利用基本不等式求解.【小問1詳解】因為，所以，因為是實數，所以.因為，所以，即.【小問2詳解】由（1）可知.設在復平面內對應的點為，則點的集合是以原點為圓心，2為半徑的圓.設，同理可知滿足點的集合是以為圓心，為半徑的圓.因為，所以，即的取值范圍是.【小問3詳解】.因為，所以，則，故.因為，且，所以，所以，則，當且僅當，即時，等號成立，故，即的最小值是1.19.已知函數.（1）若，求的最大值及對應的的取值集合；（2）若對任意的，，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）最大值為3，此時的取值集合為.（2）.【解析】【分析】（1）當時，得到函數，結合正弦函數的性質，即可求解；（2）設，求得，得到函數，根據題意轉化為對任意的，，恒成立，結合二次函數的性質，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：當時，，當時，即函數取得最大值，最大值為，所以的最大值為3，此時的取值集合為.【小問2詳解】解：設，則，故，對任意的，恒成立，等價于對任意的，不等式恒成立