2023—2024學年高一下學期第三次月考數學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版必修第二冊第六章至第九章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.樣本數據的中位數是（）A.12B.11C.10D.10.5【答案】D【解析】【分析】將數據從小到大排列，按照法則求出中位數即可.【詳解】將數據從小到大排列：.故這組數據的中位數是.故選：D2.為了提升學生的文學素養，某校將2024年5月定為讀書月，要求每個學生都只選擇《平凡的世界》與《麥田里的守望者》中的一本.已知該校高一年級學生選擇《平凡的世界》的人數為450，選擇《麥田里的守望者》的人數為550.現采用按比例分層隨機抽樣的方法，從高一學生中抽取20名學生進行閱讀分享，則被抽到的這20名學生中選擇了《平凡的世界》的人數為（）A.9B.10C.11D.12【答案】A【解析】分析】利用分層抽樣比與總體抽樣比相等即可求出答案.【詳解】依題意，被抽到的這20名學生中選擇了《平凡的世界》的人數為.故選：A.3.已知在軟件的控制臺中，輸入“，）”，按回車鍵，得到的4個1~20范圍內的不重復的整數隨機數為，則這4個整數的標準差為（）A.B.C.40D.10【答案】B【解析】【分析】先求平均數，再由標準差的公式計算即可.【詳解】這4個整數的平均數為，則這4個整數的標準差為.故選：B.4.如圖所示，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】確定好基底，由向量的加減法的運算性質解出即可.【詳解】.故選：C5.下列命題是真命題的是（）A.上底面與下底面相似的多面體是棱臺B.若一個幾何體所有的面均為三角形，則這個幾何體是三棱錐C.若直線在平面外，則D.正六棱錐的側面為等腰三角形，且等腰三角形的底角大于【答案】D【解析】【分析】對A、B選項，舉反例即可得出A、B錯誤；對C選項，直線在平面外，包含兩種情況：或直線與平面相交，故C錯誤；對D選項，用排除法也可以得出，D正確.【詳解】對A選項，正方體的上底面與下底面相似，但正方體不是棱臺，A錯誤；對B選項，如圖所示的幾何體所有的面均為三角形，但該幾何體不是三棱錐，B錯誤；對C選項，若直線在平面外，則或直線與平面相交，C錯誤；對D選項，正六棱錐的側面為等腰三角形，設其.中一個側面為，其中，因為，所以，D正確.故選：D.6.已知樣本數據的平均數為，樣本數據的平均數為，若樣本數據的平均數為，則（）A.12B.10C.2D.11【答案】B【解析】【分析】依題意總平均數等于總數據和除以總數據的個數，直接解出即可.【詳解】根據題意可得，解得.故選：B.7.已知，且，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知，可得點為的外心，四邊形為菱形，則在上的投影向量為.【詳解】如圖，依題意可得點為的外心，因為，所以，所以，則四邊形為菱形，設，則，因為，所以在上的投影向量為.故選：A.8.內一點，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】在中，分別使用正弦定理，結合化簡整理即可得解【詳解】因為，所以，設，因為，所以．在中，由正弦定理可得，則，即，即，解得．故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則下列結論正確的是（）A.若為實數，則B.若，則C.若在復平面內對應的點位于第一象限，則D.若，則【答案】AD【解析】【分析】A選項，根據復數的類型得到方程，求出；B選項，利用復數除法法則計算出，從而得到方程組，求出答案；C選項，由所在象限得到不等式組，求出；D選項，計算出，利用復數模長公式求出答案.【詳解】A選項，若為實數，則正確.B選項，若，則，則解得錯誤.C選項，若在復平面內對應的點位于第一象限，則解得，錯誤.D選項，若，則，解得，則正確.故選：AD10.已知某省2023年各地市地區生產總值的占比如圖所示，則根據圖中關于該省2023年各地市地區生產總值占比的統計情況，下列結論正確的是（）A.A市2023年地區生產總值比B市2023年地區生產總值多B.圖中11個地市2023年地區生產總值占比的分位數為C.圖中11個地市2023年地區生產總值占比的分位數為D.若該省2024年各地市地區生產總值的增長率相等，則該省2024年各地市地區生產總值的占比不變【答案】ABD【解析】【分析】根據統計圖及百分位數的定義一一判斷即可.【詳解】由圖中統計數據，可得市2023年地區生產總值比B市2023年地區生產總值多，故A正確；因為，所以圖中11個地市2023年地區生產總值占比的分位數為，故B正確；因為，所以圖中11個地市2023年地區生產總值占比的分位數為，故C錯誤；若該省2024年各地市地區生產總值的增長率相等，則該省2024年各地市地區生產總值的占比不變，D正確.故選：ABD11.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正方體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，，點的曲率為分別為的中點，則（）A.直線平面B.在三棱柱中，點的曲率為C.在四面體中，點的曲率小于D.二面角的大小為【答案】ABD【解析】【分析】利用面面平行的判定性質判斷A；利用曲率的定義計算判斷BC；作出二面角的平面角并求得其大小判斷D【詳解】對于A，取中點，連接BG，FG，由D，E，F分別為的中點，得，而平面，平面，則平面，又，則四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，則平面，又，平面，于是平面平面，由平面BFG，得平面，A正確；對于B，在直三棱柱中，，則點的曲率為，解得，由，得，而，因此點的曲率為，B正確；對于C，過作，交的延長線于，連接，由平面ABC，平面ABC，得，，平面，則平面，平面，因此，，，又，則，，在四面體中，點的曲率為，C錯誤；對于D，由選項C知，為二面角的平面角，又，則，所以，D正確．故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.復數的虛部為__________.【答案】2【解析】【分析】由復數的運算結合復數的幾何意義求出即可.【詳解】因為，所以復數的虛部為2.故答案為：2.13.已知某圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則該圓柱的側面積為__________，該圓柱的內切球的體積為__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】（1）由圓柱的軸截面是面積為4的正方形，得到圓柱的底面半徑和高，應用圓柱的面積公式求解即可；（2）依據圓柱的底面半徑和高，得到內切球的半徑，應用球的體積公式求解即可.【詳解】依題意圓柱的軸截面是面積為4的正方形，可得該圓柱的底面半徑為1，高為2，則該圓柱的側面積為.易得該圓柱的內切球的半徑為1，則該圓柱的內切球的體積為.故答案為：，.14.為促進學生德?智?體?美?勞全面發展，某校開發出文化藝術課程?科技課程?體育課程等多類課程.為了解該校各班參加科技課程的人數，從全校隨機抽取5個班級，設這5個班級參加科技課程的人數分別為.已知這5個班級參加科技課程的人數的平均數為9，方差為4，則__________.【答案】0【解析】【分析】根據平均數，方差的定義可得，分析可得，分取11,12,13討論求解.【詳解】依題意得，化簡得.易知，得.又因為，所以這5個數的絕對值不超過4，所以，即，當時，可得，無解；當時，可得，由，，得這四個平方數只能為，則，符合題意，此時；當時，，無解.綜上，.故答案為：0.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知第10~19屆亞運會中國隊獲得的金牌數如下圖所示.（1）求第屆亞運會中國隊獲得的金牌數的極差；（2）剔除第屆亞運會中國隊獲得的金牌數數據，求剩余9屆亞運會中國隊獲得的金牌數的平均數；（3）設第屆亞運會中國隊獲得的金牌數的方差為，第屆亞運會中國隊獲得的金牌數的方差為，不通過計算，試比較與的大小，并說明理由.【答案】（1）（2）（3），理由見解析【解析】【分析】（1）將數據從小到大排列，找出最大值及最小值，解出極差即可；（2）剔除第屆亞運會中國隊獲得的金牌數數據，計算出平均數即可；（3）通過折線圖觀察比較出第屆亞運會中國隊獲得的金牌數與第屆亞運會中國隊獲得的金牌數的波動情況即可判斷.【小問1詳解】由題意知：第屆亞運會中國隊獲得的金牌數的極差為.【小問2詳解】剩余9屆亞運會中國隊獲得的金牌數的平均數為：.【小問3詳解】可判斷出，理由如下：因為第屆亞運會中國隊獲得的金牌數的波動性，明顯比第13~15屆亞運會中國隊獲得的金牌數的波動性大，所以.16.已知向量.（1）若，求的值.（2）設，向量與的夾角為.①求的大??；②在中，，求的周長.【答案】（1）（2）①；②.【解析】【分析】（1）根據向量的平行公式即可得的值.（2）①先有向量垂直關系得，再由向量夾角公式得的大小；②在三角形中由余弦定理得邊長，即可得到周長.【小問1詳解】且，，【小問2詳解】①因為，所以，即，解得.由，得，，故，因為，所以.②由題意得，由余弦定理得，故的周長為.17.在中，.（1）求角的大??；（2）若在邊上，，且，求的面積.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化簡即可得出所求角；（2）由正弦定理求出，再由三角形的面積公式求解.【小問1詳解】由題意得，即，由正弦定理得，由余弦定理得.因為，所以.【小問2詳解】如圖，因為，所以.在中，由正弦定理得，解得，則或（舍去），得，則.故.18.已知某工廠一區生產車間與二區生產車間均生產某種型號的零件，這兩個生產車間生產的該種型號的零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示（每組區間均為左開右閉）.尺寸大于的零件用于大型機器中，尺寸小于或等于的零件用于小型機器中.（1）若，試分別估計該工廠一區生產車間生產的500個該種型號的零件和二區生產車間生產的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數.（2）若，現有足夠多的來自一區生產車間與二區生產車間的零件，分別用于大型機器?小型機器各5000臺的生產，每臺機器僅使用一個該種型號的零件.方案一：直接將一區生產車間生產的零件用于大型機器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型機器每臺會使得工廠損失200元；直接將二區生產車間生產的零件用于小型機器中，其中用了尺寸大于的零件的小型機器每臺會使得工廠損失100元.方案二：重新測量一區生產車間與二區生產車間生產的零件尺寸，并正確匹配型號，重新測量的總費用為35萬元.請寫出采用方案一，工廠損失費用的估計值（單位：萬元）的表達式，并從工廠損失的角度考慮，選擇合理的方案.【答案】（1）420；200（2），選擇方案二.【解析】【分析】（1）計算出兩個生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率，進而求出兩個生產車間生產的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件數；（2）計算出一區生產車間生產的零件尺寸小于或等于的頻率和二區生產車間生產的零件尺寸大于的頻率，從而得到，結合，求出，與35比較后得到結論.【小問1詳解】一區生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率為，則該工廠一區生產車間生產的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數為；二區生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率為，則該工廠二區生產車間生產的500個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數為.【小問2詳解】一區生產車間生產的零件尺寸小于或等于的頻率為.二區生產車間生產的零件尺寸大于的頻率為.故.因為，所以.又因為采用方案二重新測量的總費用為35萬元，所以從工廠損失的角度考慮，應選擇方案二.19.如圖，在四棱臺中，平面，底面為平行四邊形，，且分別為線段的中點.（1）證明：.（2）證明：平面平面.（3）若，當與平面所成的角最大時，求四棱臺的體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）證明線面垂直，利用垂直條件及題意即可證明；（2）證明出平面中的兩條相交直線均平行于平面即可；（3）結合題意先求出，再求出的體積即可.【小問1詳解】證