近五年（2017-2021）高考數學真題類匯編

\—、立體幾何

一、多選題

1.（2021?全國高考真題試卷）在正三棱柱—中，A3=A4=1,點尸滿足

麗=2比+〃鶴，其中//e[0,l],則（）

A.當4=1時，男尸的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

c.當彳=；時，有且僅有一個點尸，使得APLBP

D.當〃=；時，有且僅有一個點P,使得A3,平面AB]P

二、單選題

2.（2021?浙江高考真題試卷）如圖已知正方體ABCD-A4GA，M,N分別是4,

23的中點，則（）

A.直線4。與直線垂直，直線MN//平面ABCD

B.直線4。與直線平行，直線肱V，平面

C.直線4。與直線相交，直線MV//平面ABCD

D.直線與直線25異面，直線平面3D。用

3.（2021?浙江高考真題試卷）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是（）

4.（2021?全國高考真題試卷（理））已如4,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個

點，且AC_L3cAe=5。=1,則三棱錐O—ABC的體積為（）

A近RA/3R?NA/3

121244

5.（2021?全國高考真題試卷（文））在一個正方體中，過頂點”的三條棱的中點分別為

E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，

則相應的側視圖是（）

正視圖

6.（2021?全國高考真題試卷（理））在正方體—中，p為42的中點,

則直線PS與AD］所成的角為（）

7.（2021?全國高考真題試卷）已知圓錐的底面半徑為血，其側面展開圖為一個半圓,

則該圓錐的母線長為（）

A.2B.20C.4D.4a

8.（2020?天津高考真題試卷）若棱長為2G的正方體的頂點都在同一球面上，則該球

的表面積為（）

A.12萬B.24萬C.36〃D.144萬

9.（2020?北京高考真題試卷）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三

棱柱的表面積為（）?

正（主）視圖側（左）視圖

俯視圖

A.6+73B.6+2A/3C.12+73D.12+273

10.（2020?浙江高考真題試卷）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體

的體積（單位：cn?）是（）

C.3D.6

11.（2020?海南高考真題試卷）日號是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直

的辱針投射到號面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為。），地球上一點“

的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點/處的水平面是指過點N且與OA垂直

的平面.在點4處放置一個日號，若辱面與赤道所在平面平行,點4處的緯度為北緯40。，

則號針與點N處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

12.（2020?全國高考真題試卷（文））下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積

是（）

A.6+4夜B.4+4拒C.6+26D.4+26

13.（2020?全國高考真題試卷（理））已知為球。的球面上的三個點，口。1為

△ABC的外接圓，若口。1的面積為4兀，AB^BC^AC^OO,,則球。的表面積為

（）

A.64兀B.48KC.36兀D.32兀

14.（2020?全國高考真題試卷（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的

形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面

三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

V5-1V5+1V5+1

15.（2020?全國高考真題試卷（理））已知口/BC是面積為38的等邊三角形，且其頂

點都在球O的球面上.若球0的表面積為16%,則。到平面ABC的距離為（）

A.石D,顯

2

16.（2020?全國高考真題試卷（理））如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱

的一個端點在正視圖中對應的點為在俯視圖中對應的點為N,則該端點在側視圖

中對應的點為（）

A.EC.GD.H

17.（?浙江高考真題試卷）祖迪是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“幕勢既同，

則積不容異''稱為祖眶原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式腺體=S/z,其中S是

柱體的底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該柱體的

體積（單位：cn?）是

6

?2+2*2+!13—3T

正視圖側視圖

A.158B.162

C.182D.324

18.（?全國高考真題試卷（理））如圖，點N為正方形ABCD的中心，AECD為正三

角形，平面ECDL平面ABC。,“是線段功的中點，則

A.BM=EN,且直線是相交直線

B.BM不EN,且直線是相交直線

C.BM=EN,且直線是異面直線

D.BM豐EN,且直線是異面直線

19.（?浙江高考真題試卷）祖的I是我國南北朝時代的偉大科學家.他提出的“累勢既同，

則積不容易'稱為祖眶原理，利用該原理可以得到柱體體積公式/體=S〃，其中S是柱

體的底面積，力是柱體的高，若某柱體的三視圖如圖所示，則該柱體的體積是

6

C.182D.32

20.（?浙江高考真題試卷）設三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，P是

棱14上的點（不含端點），記直線P8與直線AC所成角為a,直線P3與平面ABC所

成角為夕，二面角尸—AC—5的平面角為7,則

A./3<y,a<yB./3<a,（3<y

C./3<a,y<aD.a</3,y</3

21.（?全國高考真題試卷（理））已知三棱錐P-/2C的四個頂點在球。的球面上，

PA=PB=PC,口/3。是邊長為2的正三角形，E,尸分別是孫，48的中點，口CE尸=90。,

則球。的體積為

A.8"7B.4娓兀C.2屈兀D.屈兀

22.（?全國高考真題試卷（文））設a,0為兩個平面，則a□夕的充要條件是

A.a內有無數條直線與僅平行

B.a內有兩條相交直線與夕平行

C.a,夕平行于同一條直線

D.a,夕垂直于同一平面

23.（?上海高考真題試卷）已知平面夕、B、7兩兩垂直，直線。、b、c滿足：

asb=Bgy,則直線a、b、。不可能滿足以下哪種關系

A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩異面

24.（2018?浙江高考真題試卷）已知直線私〃和平面a,〃ua,則“加/歷”是“加〃

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

25.（2018?上海高考真題試卷）《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面

的四棱錐為陽馬，設A4是正六棱柱的一條側棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為

頂點、以A4為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數是（）

A.4B.8C.12D.16

26.（2018?浙江高考真題試卷）已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，

E是線段A3上的點（不含端點），設SE與所成的角為4，SE與平面ABC。所

成的角為％，二面角S—AB—C的平面角為。3,則

A.01<02<O3B.C,D.。2<。3<4

27.（2018?全國高考真題試卷（文））在長方體ABC。—A4GA中，AB=BC=2,

AG與平面BB?C所成的角為30。，則該長方體的體積為

A.8B.6也C.872D.8A/3

28.（2018?北京高考真題試卷（理））某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面

中，直角三角形的個數為

A.1B.2

C.3D.4

29.（2018?全國高考真題試卷（文））某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖

所示，圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的

對應點為3,則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為

30.（2018?全國高考真題試卷（理））設A,8,C,。是同一個半徑為4的球的球面上

四點，AABC為等邊三角形且其面積為96，則三棱錐￡>-ABC體積的最大值為

A.126B.1873C.24君D.543

31.（2018?全國高考真題試卷（理））中國古建筑借助樟卯將木構件連接起來，構件的

凸出部分叫樟頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是樺頭.若如圖擺放的

木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是

32.（2018?浙江高考真題試卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體

的體積（單位：。療）是（）

汩I*—2—>

正強圖面視圖

A.2B.4C.6D.8

33.（2018?全國高考真題試卷（文））在正方體A3C。-4與CR中，E為棱CQ的中

點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為

A.正B.走C.好D.立

2222

34.（2018?全國高考真題試卷（文））已知圓柱的上、下底面的中心分別為。一。2,

過直線。Q的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為

A.12.7271B.1271C.8A/2TTD.10兀

35.（2018?全國高考真題試卷（理））在長方體ABCD-A4GA中，AB=BC=1,

朋=，則異面直線AD］與DB］所成角的余弦值為

A.-B.更C.立D.—

5652

36.（2018?全國高考真題試卷（理））已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a

所成的角都相等，則々截此正方體所得截面面積的最大值為

3A/32G「372

.4亍4

37.（2017?全國高考真題試卷（文））如圖，在下列四個正方體中，A、3為正方體的

兩個頂點，M、N、。為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ

不平行的是（）

未命名

未命名

三、解答題

38.(2021?全國高考真題試卷)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面平面

AB=AD,。為BD的中點.

(1)證明：OALCD；

(2)若氯無!)是邊長為1的等邊三角形，點E在棱A。上，DE=2EA,且二面角

￡—BC—。的大小為45。，求三棱錐A—BCD的體積.

39.(2021?全國高考真題試卷(文))如圖，四棱錐P-A6CD的底面是矩形，包＞，底

面ABCD,”為5C的中點，且

(1)證明：平面R4MJL平面尸SD；

(2)若？D=DC=1,求四棱錐P—ABCD的體積.

40.(2021?浙江高考真題試卷)如圖，在四棱錐P-A5CD中，底面ABCD是平行四

邊形，ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V151M,N分別為3C,PC的中點，

PD工DC,PMA.MD.

p

（l）證明：AB±PM；

（2）求直線AN與平面PDA1所成角的正弦值.

41.（2021?全國高考真題試卷（文））已知直三棱柱ABC-4與￡中，側面441與5為

正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC和CC的中點，BF1AXBX.

（1）求三棱錐尸—EBC的體積；

（2）已知。為棱A4上的點，證明.5產，。E

42.（2021?全國高考真題試卷（理））已知直三棱柱A5C-4與￡中，側面懼耳5為

正方形，AB=5C=2,E,尸分別為AC和CG的中點,。為棱4片上的點.，人用

c

(l)證明：BF±DE；

(2)當旦。為何值時，面551cle與面QEE所成的二面角的正弦值最小?

43.(2021?全國高考真題試卷(理))如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，包＞，底

面ABC。，PD=DC=LM為5c的中點，且

(1)求5C；

(2)求二面角A—PW—5的正弦值.

44.(2020?海南高考真題試卷)如圖，四棱錐尸-4BCD的底面為正方形，電＞，底面

ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為I.

p

/一、

(1)證明：平面PDC；

(2)已知尸。=皿=1,。為/上的點，QB=①,求PB與平面0CD所成角的正弦值.

45.(2020?天津高考真題試卷)如圖，在三棱柱ABC—4用4中，CC1,平面

ABC,AC±BC,AC^BC=2,CCX=3,點D,E分別在棱A4和棱CG上，且

AD=1CE=2,M為棱4耳的中點.

(□)求證：CXM1BXD.

(□)求二面角3—3]E—。的正弦值;

(□)求直線A3與平面。與E所成角的正弦值.

46.(2020?北京高考真題試卷)如圖，在正方體ABC。-A4G。中，E為8用的中

點.

（□）求證：3。1//平面42￡；

（口）求直線AA與平面所成角的正弦值.

47.（2020?浙江高考真題試卷）如圖，三棱臺NBC—尸中，平面/CFD□平面4BC,

BACB=nACD=A5°,DC=2BC.

（I）證明：EFUDB-,

（ID求。尸與面。3c所成角的正弦值.

48.（2020?海南高考真題試卷）如圖，四棱錐尸-N8CZ）的底面為正方形，PD□底面

ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為I.

AR

(1)證明：，□平面尸DC；

(2)已知尸。=40=1,。為/上的點，求總與平面。CD所成角的正弦值的最大值.

49.(2020?江蘇高考真題試卷)在三棱錐力—8C。中，已知CB=CD=小,BD=2,。為

8。的中點，AOunBCD,40=2,E為NC的中點.

(1)求直線48與。E所成角的余弦值;

(2)若點尸在2c上，滿足8尸=,2。設二面角斤-DE—C的大小為仇求sin。的值.

4

50.(2020?江蘇高考真題試卷)在三棱柱/8C-4SC1中，ABUAC,SC□平面/3C,E,

尸分別是NC,8C的中點.

(1)求證：斯□平面/BiCi；

(2)求證：平面/81C□平面4S51.

51.(2020?全國高考真題試卷(理))如圖，在長方體A3CD-A4G。中，點E尸分

別在棱。2,551上，S.2DE=EDltBF=2FB}.

（1）證明：點G在平面AE戶內;

(2)若AB=2,AD=1,A4=3,求二面角A—EE—人的正弦值.

52.（2020?全國高考真題試卷（文））如圖，在長方體ABC。-A用中，點E,F

分別在棱。2，BB1上,且=BF=2FB「證明：

（1）當=時，EF±AC；

（2）點G在平面AE歹內.

53.（2020?全國高考真題試卷（文））如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心,

△ABC是底面的內接正三角形，P為DO上一點,口/9。=90。.

?o

B

(1)證明：平面R18□平面以C；

(2)設。0=0,圓錐的側面積為石兀，求三棱錐尸TBC的體積.

54.(2020?全國高考真題試卷(理))如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AE

為底面直徑，AE=AD.AABC是底面的內接正三角形，尸為。。上一點，

p<9=—DO.

6

(1)證明：平面PBC；

(2)求二面角5—PC—石的余弦值.

55.(2020?全國高考真題試卷(文))如圖，已知三棱柱ABC-4山Ci的底面是正三角形，

側面881cle是矩形，M,N分別為3C,51cl的中點，尸為上一點.過囪G和尸

的平面交于E,交4c于足

(1)證明：AAilIMN,且平面小/MM□平面班CF；

兀

(2)設。為口43<1的中心，若/。=/5=6,/。//平面匹Ci斤，且口必^=一，求四棱

3

錐B—EBiCF的體積.

56.（2020?全國高考真題試卷（理））如圖，已知三棱柱NBC-481cl的底面是正三角形,

側面BBiCiC是矩形，M,N分別為BC,5cl的中點，尸為上一點，過81cl和尸

的平面交48于瓦交ZC于F.

（1）證明：AAiDMN,且平面出/MM口班Ci尸；

（2）設。為口/山?的中心，若4。□平面E3CF,且40=48,求直線囪￡與平面小/AW

所成角的正弦值.

57.（?江蘇高考真題試卷）如圖，在直三棱柱/2C—421cl中，D,E分別為8C,AC

的中點，AB=BC.

求證：（1）/向□平面DEG；

（2）BEDCiE.

58.（?天津高考真題試卷（理））如圖，平面ABC。，CF//AE,AD//BC,

ADAB,AB=AD=l,AE=BC=2.

(□)求證：3尸〃平面ADE；

(□)求直線CE與平面石所成角的正弦值；

(口)若二面角石—5D—F的余弦值為工，求線段C5的長.

3

59.(?全國高考真題試卷(理))圖1是由矩形4DE2,RtOlBC和菱形AFGC組成的一

個平面圖形，其中N8=l,BE=BF=2,UFBC=60°,將其沿48,8c折起使得BE與昉

重合，連結。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的4C,G,。四點共面，且平面/8C□平面8CGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

圖1圖2

60.(?全國高考真題試卷(文))如圖，直四棱柱ABCDT/C。/的底面是菱形,44尸4,

AB=2,HBAD=60°,E,M,N分別是8C,BBi,/心的中點.

DiCi

(1)證明：MN□平面C/Z)E；

(2)求點C到平面CiDE的距離.

61.(?全國高考真題試卷(理))

如圖，長方體/3小4/1口01的底面/8CZ)是正方形，點E在棱441上，BEUECi.

(1)證明：BE□平面班Ci；

(2)若AE=AiE,求二面角B-EC-Ci的正弦值.

62.(?上海高考真題試卷)如圖，在正三棱錐P-ABC中,

PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=6

(1)若PB的中點為M,的中點為N,求AC與的夾角;

（2）求P—ABC的體積.

63.（2018?上海高考真題試卷）已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為。，半徑為2.

P

（1）設圓錐的母線長為4,求圓錐的體積；

（2）設PO=4,OA、05是底面半徑，且NAOfi=90。，M為線段A5的中點,

如圖.求異面直線PM與06所成的角的大小.

64.（2018?江蘇高考真題試卷）在平行六面體ABCD-中，A\=AB,

AB,，與G.

求證：（1）AB//平面44。；

（2）平面A，平面ABC.

65.（2018?江蘇高考真題試卷）如圖，在正三棱柱4BC-4SC1中，AB=AAi=2,點尸,

0分別為43,2C的中點.

（1）求異面直線2尸與NG所成角的余弦值;

（2）求直線CG與平面N0G所成角的正弦值.

66.（2018?全國高考真題試卷（文））如圖，矩形A8CD所在平面與半圓弧CD所在平

面垂直，M是C。上異于C,。的點.

（1）證明：平面AMD，平面BMC；

（2）在線段40上是否存在點尸，使得MC〃平面PBD?說明理由.

67.（2018?北京高考真題試卷（理））如圖，在三棱柱中，CCj_L平面NBC,

D,E,F,G分別為441,AC,AG，8用的中點，AB=BC=?,AC=AAl=2.

Ci

Ai

(1)求證：NC□平面3EF；

(2)求二面角8-CD-Ci的余弦值；

(3)證明：直線尸G與平面3co相交.

68.(2018?北京高考真題試卷(文))如圖，在四棱錐P-A6CD中，底面ABCD為矩

形，平面上4￡＞，平面48。￡),PAA.PD,PA=PD,E、尸分別為AD、QB的

中點.

(□)求證：PEYBC-,

(□)求證：平面M6,平面PC。；

(口)求證：所〃平面PCD.

69.(2018?全國高考真題試卷(理))如圖，四邊形ABC。為正方形，E,尸分別為AD.BC

的中點，以。尸為折痕把△。回。折起，使點。到達點P的位置，且PF_LBF.

(1)證明：平面PER,平面AM。；

(2)求。P與平面AM。所成角的正弦值.

70.（2018?全國高考真題試卷（理））如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半

圓弧CD所在平面垂直，M是C。上異于C,D的點.

（1）證明：平面AMD，平面BMC；

（2）當三棱錐"-ABC體積最大時，求面〃A3與面MCD所成二面角的正弦值.

71.（2018?浙江高考真題試卷）如圖，已知多面體ABC-AiBiCi,AiA,BiB,CiC均垂

直于平面ABC,□ABC=120°,AiA=4,CiC=l,AB=BC=BiB=2.

（口）證明：ABi□平面AiBiG；

（□）求直線ACi與平面ABBi所成的角的正弦值.

72.（2018?全國高考真題試卷（文））如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=BC=2①,

PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點.

（1）證明：PO,平面ABC；

（2）若點M在棱上，且MC=2MB,求點C到平面POM的距離.

73.（2018?全國高考真題試卷（文））如圖，在平行四邊形A5CM中，AB=AC=3,

NAQ0=9O°,以AC為折痕將口4。0折起，使點M到達點。的位置，且

（1）證明：平面ACD，平面ABC；

2

（2）。為線段A。上一點，尸為線段上一點，且5。=。。=§￡從，求三棱錐

Q—ABP的體積.

74.（2017?山東高考真題試卷（文））由四棱柱48CZA48CQ1截去三棱錐C1-81CA

后得到的幾何體如圖所示，四邊形/BCD為正方形，。為NC與5。的交點，E為4D

的中點，平面ABCD

（1）證明：4。口平面21coi；

（2）設朋■是的中點，證明：平面平面8CA.

四、填空題

75.（2021?全國高考真題試卷（理））以圖□為正視圖，在圖□□口口中選兩個分別作為

側視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為

（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖④

76.（2021?全國高考真題試卷（文））已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30%則

該圓錐的側面積為.

77.（2020?海南高考真題試卷）已知正方體/BCCMiBGOi的棱長為2,M,N分別為

BBi、4B的中點，則三棱錐4MWD1的體積為

78.（2020?海南高考真題試卷）已知直四棱柱的棱長均為2,

口840=60。.以D1為球心，垂）為半徑的球面與側面BCCiBi的交線長為.

79.（2020?江蘇高考真題試卷）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所

構成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內孔半徑為0.5cm,則此

六角螺帽毛坯的體積是—cm.

80.（2020?全國高考真題試卷（文））已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐

內半徑最大的球的體積為.

81.（2020?全國高考真題試卷（理））設有下列四個

pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內.

P2:過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3:若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/u平面a,直線加□平面a,則

則下述命題中所有真命題的序號是.

□P1△。4,口P1△。2口V。3口「P3V

82.（?江蘇高考真題試卷）如圖，長方體ABC。-A4GA的體積是120,￡為CC】的

中點，則三棱錐E-5CD的體積是.

83.（?北京高考真題試卷（理））某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三

視圖如圖所示.如果網格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為.

84.（?北京高考真題試卷（理））已知/，機是平面e外的兩條不同直線.給出下列三個

論斷：

□/□m；□機口。；口/口a.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的.

85.（?全國高考真題試卷（理））學生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術制作模型.如

圖，該模型為長方體ABCD-4耳G2挖去四棱錐O-后所得的幾何體，其中

。為長方體的中心，分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,AA；=4cm,

3。打印所用原料密度為0.9g/co?,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為

g.

86.（?天津高考真題試卷（文））已知四棱錐的底面是邊長為友的正方形，側棱長均為

如.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐

底面的中心，則該圓柱的體積為.

87.（?全國高考真題試卷（文））已知口4。8=90°,P為平面/8C外一點，PC=2,點P

到\JACB兩邊AC,BC的距離均為,那么P到平面ABC的距離為.

88.（2018?江蘇高考真題試卷）如圖所示，正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂

點的多面體的體積為.

89.（2018?全國高考真題試卷（文））已知圓錐的頂點為S,母線S3互相垂直，SA

與圓錐底面所成角為30。，若ASAB的面積為8,則該圓錐的體積為.

90.（2018?全國高考真題試卷（理））已知圓錐的頂點為S,母線胡，S3所成角

的余弦值為G，SA與圓錐底面所成角為45。，若A&R的面積為5后，則該圓錐

的側面積為.

91.（2018?天津高考真題試卷（理））已知正方體ABC。-A4GR的棱長為1，除面

ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E,F,G,H,M如圖），則四棱錐

"―EEGH的體積為

五、雙空題

92.（?全國高考真題試卷（文））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印

信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半

正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面

體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一

個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱

長為.

圖1圖2

近五年（2017-2021）高考數學真題類匯編

H—、立體幾何（答案解析）

1.BD

【分析】

對于A,由于等價向量關系，聯系到一個三角形內，進而確定點的坐標；

對于B,將P點的運動軌跡考慮到一個三角形內，確定路線，進而考慮體積是否為定值；

對于C,考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解P點

的個數；

對于D,考慮借助向量的平移將尸點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解尸點

的個數.

易知，點p在矩形內部（含邊界）.

對于A,當2=1時，BP=BC+jLiBBx=BC+pCC,,即此時Pe線段CG，△AB/周長

不是定值，故A錯誤;

對于B,當〃=1時，BP=ABC+BB^=BB^+AB^,故此時P點軌跡為線段用G,而

B.CJIBC,501〃平面ABC,則有P到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，

故B正確.

對于C,當2=g時，麗=；前+〃函，取5C,用G中點分別為。，H,則

BP=BQ+^iQH,所以P點軌跡為線段Q",不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，

4喙0,1],P(0,0,//),電,/],則“=BP=fo,-1,/z,

I2J12JI2)\2J

麗=〃(〃-i)=o,所以〃=0或〃=i.故a,Q均滿足，故c錯誤；

1—?—,1-_,',

對于D,當〃二一時，B尸=2BC+—8Bi,取8耳，CG中點為M，N.BP=BM十九MN，

22

所以P點軌跡為線段MN.設因為4。爭，0,0；所以而=一￥，為，；，

__?']'3]]]

A§=------，—,T，所以一+一%-一=0=>%=-一，此時P與N重合，故D正確.

^22)42°2°2

故選：BD.

【小結】

本題主要考查向量的等價替換，關鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內.

2.A

【分析】

由正方體間的垂直、平行關系，可證平面A8，，即可得出結論.

連A。，在正方體ABCD—A4G。中，

M是4。的中點，所以河為A2中點，

又N是的中點，所供MNIIAB,

W平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以〃平面ABCD

因為AB不垂直3￡),所以不垂直3。

則MV不垂直平面3。2與，所以選項B,D不正確;

在正方體ABCD-4用￡。中,AD11\D,

平面/1A。。，所以A3_LA］。，

AD^AB^A,所以平面AB",

平面AB。，所以A。，03,

且直線ARRB是異面直線，

所以選項B錯誤，選項A正確.

故選：A.

【小結】

關鍵點小結：熟練掌握正方體中的垂直、平行關系是解題的關鍵，如兩條棱平行或垂直，同

一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關系.

3.A

【分析】

根據三視圖可得如圖所示的幾何體，根據棱柱的體積公式可求其體積.

幾何體為如圖所示的四棱柱，其高為1,底面為等腰梯形

該等腰梯形的上底為夜，下底為2夜，腰長為1，故梯形的高為孝，

故匕BCDABCD~一*(+2^/2)X^――X1=一，

故選：A.

4.A

【分析】

由題可得為等腰直角三角形，得出6c外接圓的半徑，則可求得。到平面A5C

的距離，進而求得體積.

?.?AC，BC,AC=BC=1,.?.△A3C為等腰直角三角形，；,AB=J5,

則AABC外接圓的半徑為交，又球的半徑為1,

2

設。到平面ABC的距離為d，

訴I、3_1_11V2_V2

所以%-ABC=§Sc?ABC=§*5乂11義11義可=五.

故選：A.

【小結】

關鍵小結：本題考查球內幾何體問題，解題的關鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到

截面距離的勾股關系求解.

5.D

【分析】

根據題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結合直觀圖進行判斷.

由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示,

所以其側視圖為

故選：D

6.D

【分析】

平移直線ADi至Bq,將直線形與AD】所成的角轉化為尸3與3。所成的角，解三角形即

可.

如圖，連接BC],PG，PB,因為42口3。1，

所以NP3G或其補角為直線尸3與AD1所成的角,

因為，平面AXBXCXDX,所以53]，PC]，又PC,±BR,BBXnBR=耳，

所以PC,1平面PBBX,所以PC】，PB,

設正方體棱長為2,則Bq=2貶,PC[=；D[B[=0,

sinNP5G=A=；，所以NP3￡=g.

z6

故選：D

7.B

【分析】

設圓錐的母線長為/,根據圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.

設圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則M=2?x0，解得

1=141-

故選：B.

8.C

【分析】

求出正方體的體對角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.

這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，

2

所以，這個球的表面積為S=4;z"火2=4；TX32=36》.

故選：C.

【小結】

本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關鍵，屬于基礎

題.求多面體的外接球的面積和體積問題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢

復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球

可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，

再根據勾股定理求球的半徑；（3）如果設計幾何體有兩個交，可過兩個面的外心分別作兩個

面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心.

9.D

【分析】

首先確定幾何體的結構特征，然后求解其表面積即可.

由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形，側面為三個邊長為2的正方形,

貝U其表面積為.S=3x（2x2）+2x[gx2x2xsin60°]=12+26

故選：D.

【小結】

（1）以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當的分析，從

三視圖中發現幾何體中各元素間的位置關系及數量關系.

（2）多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理.

（3）圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而

表面積是側面積與底面圓的面積之和.

10.A

【分析】

根據三視圖還原原圖，然后根據柱體和錐體體積計算公式，計算出幾何體的體積.

由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，

且三棱錐的一個側面垂直于底面，且棱錐的高為1,

棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2,

所以幾何體的體積為：

—x—x2xlxl+—x2xl|x2=—+2=—,

3（2J（2）33

故選：A

【小結】

本小題主要考查根據三視圖計算幾何體的體積，屬于基礎題.

11.B

【分析】

畫出過球心和辱針所確定的平面截地球和號面的截面圖，根據面面平行的性質定理和線面垂

直的定義判定有關截線的關系，根據點A處的緯度，計算出唇針與點A處的水平面所成角.

畫出截面圖如下圖所示，其中CD是赤道所在平面的截線；/是點A處的水平面的截線，依

題意可知。4，/；A3是號針所在直線.用是號面的截線，依題意依題意，辱面和赤道平面

平行，辱針與唇面垂直，

根據平面平行的性質定理可得可知mllCD、根據線面垂直的定義可得ABLm：

由于NAOC=4(F,〃〃/CD,所以NQ4G=NAOC=40。，

由于NCMG+NG4E=N5L4E+NG4E=90°,

所以4AE=NQ4G=4O。，也即號針與點A處的水平面所成角為NB4E=40。.

故選：B

【小結】

本小題主要考查中國古代數學文化，考查球體有關計算，涉及平面平行，線面垂直的性質,

屬于中檔題.

12.C

【分析】

根據三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個面的面積，即可求得其

表面積.

根據三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形

根據立體圖形可得：5AABC=SAADC=SACDB=1X2X2=2

根據勾股定理可得：AB=AD=DB=2V2

AADB是邊長為2&的等邊三角形

根據三角形面積公式可得:

2

SAADB=^ABAD-sin60°=1(272).與=26

該幾何體的表面積是.3x2+273=6+2下）

故選：C.

【小結】

本題主要考查了根據三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關鍵是掌握根據三視圖畫出立體

圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎題.

13.A

【分析】

由已知可得等邊AABC的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出。a的值，根據球的截面性

質，求出球的半徑，即可得出結論.

設圓。1半徑為「，球的半徑為R,依題意，

得謂=4乃,；/=2,；AABC為等邊三角形，

由正弦定理可得A3=2rsin60°=2G，

：.00I=AB=26根據球的截面性質OO,±平面ABC,

OO±OA,R=OA=400：+2=4,

Xl=^OO2+r

?e?球。的表面積S=4兀R?=647r-

故選：A

【小結】

本題考查球的表面積，應用球的截面性質是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于基礎題.

14.C

【分析】

設CD