案例分析與教師發展（教學案例）

主題：建議通過案例分析來促進教師的發展.教師發展

的途徑很多，每個教師的發展都會有自己的個性化軌跡，切

入點也各有不同：有的在職業激情中學習，有的在教學實踐

中研究，有的在案例分析中前進，有的在反思提煉中突破，

有的在互動交流中提升，有的在論文寫作中發展.我根據自

己的體會建議把案例分析作為促進教師發展的一個突破口：

'積累學科教學知識（PCK）

案例分析f提高教學與研究能力f促進教師發展.

生成實踐性智慧

期望：

?領會三個名詞：案例，案例教學，案例研究；

?參與一個行動：案例分析（校本教研的具體形式）；

?帶走一個信念：我要進行、也能進行案例研究.

我將采用講故事（故事主要指數學案例、講故事也就是

數學聊天，方言亦叫擺龍門陣、侃大山、神吹、嘮嗑（東北）,

片閑傳（陜西），傾計（廣東）和交流討論的方式來進行，

即通過教育事件的描述，發掘內隱于其背后的思想與意義（教

育敘事）.

1案例分析的初步認識

本來，可以先給出界定，然后舉例說明，但我不這樣做,

我將用分析案例的方式來說明案例分析.

1-1通過分析案例來說明案例分析

先做一個數學練習（自行車問題），再議一個教學問題

（三角形內角和的教學），可以認為是學習“案例分析”相

關概念和做法的情境創設.

1-1-1案例1:自行車問題（經歷解題案例）

第一、案例的呈現.

例1-1一個自行車新輪胎，若安裝在前輪則行駛

5000冊后報廢，若安裝在后輪則行駛3000m后報廢.如果

行駛一定路程后交換前、后輪胎，使一輛自行車的一對新輪

胎同時報廢，那么這輛車將能行駛多少而？

（請用代數或算術等多種方法求解.求解后想想如何讓

學生也學會解）

解法1

解法2

解法3

困難在哪里？

(1)不清楚解題困難在哪里，反正讀完題目之后就無

從下手了.可能“行駛多少加”有人想到行程問題上去了，

可又無法找到速度和時間.

(2)感覺好像什么都不知道，總磨損量不知道，什么

時候交換不知道，拿什么做等量關系不清楚，屬于什么題型

不清楚.

(3)理不清題目的條件是什么.特別是“自行車的前

輪后輪”把“甲乙兩個輪胎”與“自行車前后兩個位置”交

叉在一起，理不清”自行車的前輪后輪”的數學含義是什

么.(參見圖2)

(4)理不清題目的結論是什么.表面上，結論求“一

對新輪胎行駛多少冊”寫得很清楚，但這與“交換”前、后

輪胎有關，并且“交換”好像是實質的，否則，怎能“使一

輛自行車的一對新輪胎同時報廢”呢？(干擾因素)

如果你不能求解，沒關系，請先做第2題.

例1-2一件工程，平均分為前、后兩段，甲工程隊干

前半段5000小時完成，乙工程隊干后半段3000小時完成，

如果兩工程隊同時動工，甲工程隊干前段、乙工程隊干后段

一定時間后，甲、乙兩工程隊交換（交換時間不計），使前、

后兩段同時完工，問整個工程一共幾小時完成？

（屬于什么題型？中途交換如何處理？）

如果你能求解第2題請返回做第1題；如果你也不能求

解第2題，沒關系，請先做第3題：

例1-3一件工程，甲工程隊干一半需5000小時，乙工

程隊干一半需3000小時，如果甲、乙兩工程隊一齊干，整

個工程幾小時完成？（中途交換去掉了，屬于什么題型？）

如果你能求解第3題，請返回做第2、1題；如果你不

能求解第3題，請看第4題.

例1-4一件工程，甲工程隊干需10000小時，乙工程

隊干需6000小時，如果甲、乙兩工程隊一齊干，整個工程

幾小時完成？

這是標準的工程問題了.

最終至少要用兩個以上的解法完成第1題.希望完成之

后能談談感想，想說什么就說什么.

第二、案例的分析.

案例分析1:關于解法.

讓我們從新開始，缺什么就“用字母表示數”設什么,

有

解法1（方程解法）設每個新輪胎報廢時的總磨損量

為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1加的磨損量為荒，安裝

在后輪的輪胎每行使1碗的磨損量為短.又設一對新輪胎

交換位置前走了〃碗、交換位置后走了匕加，分別以一個輪

胎總磨損量為等量關系列方程，有（方程組）

kakbg

-----1-----=k,①

50003000

兩式相加，得

生辿+史必

50003000

貝口a+b=------------=-------------==3750Qkm）.④

k+卜]+]怎么算？

5000300050003000

（2009年初中數學聯賽參考答案）

作為“怎樣解題”任務是完成了，但作為“怎樣學會解

題”這只不過是新的開始一一反思分析.

反思L當然，這個解法條理清晰，書寫完整，答案正

確，也不乏趣味性的技巧.特別是，這個解法對“用字母表

示數”的運用很熟練，“缺什么設什么”、引進過渡性的字母

k,a,b,既有助于寫出相關代數式、建立等量關系、列出方程,

又“設而不求”（像化學反應中的催化劑），表現出解題的藝

術.但也正是這些技巧會給我們的教學講解和學生接受帶來

困惑，把所求的未知數設為兩個未知數之和學生不太

好理解，這是“怎樣想到的”也不容易說清楚，這促使我們

思考：能不能把題目處理得更好接受一些？

首先，既然太a力都只有輔助的作用，而①、②式的等量

關系也被更實質性的③式代替了，那么，我們能不能一開始

就抓住③式這個更本質的結構呢？事實上，不管甲輪胎還是

乙輪胎作前（后）輪，磨損率是一樣的，交換是非實質的，

就是說，若設一對新輪胎可走x而，則一對輪胎在前輪走了

xkm,在后輪也走了有（可以不列方程組，列方程就

行了）

解法2:（方程解法，去掉a力）設每個新輪胎報廢時的

總磨損量為人則安裝在前輪的輪胎每行駛1碗的磨損量為

嘉，安裝在后輪的輪胎每行使1粒的磨損量為嘉.又設

50003000

一■對新輪胎可走x碗，則一■對輪胎分別在前后輪各走了xAm，

有

工+旦=2k

50003000'

則x=卜2k人=i2「3750（km）.⑤

-----1------------1-----

5000300050003000

說明1：如果說原解法更關注前輪、后輪兩個“局部”

的話，那么新解法則把前輪、后輪合起來作“整體處理”T；

原解法將兩個“局部”列成兩條方程，新解法則已經完成兩

條方程相加、“整體”得出④式.

反思2：這個解法中人只有輔助作用，能不能也去掉，

怎么去？另外，由④及⑤中的運算式121=3750,我們看

-----1-----

50003000

到了一種結構——工程問題（這正是上述教學設計的一個基

本考慮），我們能不能一開始就抓住這個本質結構呢？有

解法3：（算術解法，再去掉左）設每個新輪胎報廢時的

總磨損量為1,則一對新輪胎報廢時的總磨損量為2；又由

已知得，安裝在前輪的輪胎每行駛1加的磨損量為」一，安

5000

裝在后輪的輪胎每行駛1加的磨損量為/，進而，每1km一

對輪胎磨損量為、+與；用總磨損量除以單位磨損量可得

50003000

“一對新輪胎同時報廢最多可行駛”

12]=3750（km）.

-----1-----

50003000

說明2：這個題型小學說是“工程問題”，到中學可以

說是“調和平均”1T（高中），“反比例函數模式”孫=左（初

—+—

ab

中，參見后面的提煉）.

反思3：解法3是在④、⑤「卜中取左=i（這是小

KK

-----1-----

50003000

學的慣例），左只能取1嗎？回答是：取5000與3000的最小

公倍數更方便.有

解法4：（技巧解法）假設自行車行駛了15000的，則前

輪用了3個，后輪用了5個，共報廢8個，所以，一對新輪

胎同時報廢能行駛理=3750（km）.

4

說明3：這也是把前輪、后輪合起來作“整體處理”.由

這個解法可知，前、后輪的磨損有3：5的關系，從而可以

改寫為

解法5：假設自行車已走了3000碗，后輪磨完，則一對

輪胎只剩下前輪的2000加；接下來按3：5的比例分配，前

輪會磨掉2000冊的之，后輪會磨掉它的?）,由2000x。=750知,

888

一對輪胎可走

3000+750=3750（加）.

反思4：解法1由目標牽引，進行了①、②“兩式相加”,

而由兩式相減呢，立即可得a=。，就是說，若一對新輪胎同

時報廢，則單個輪胎安裝在前輪行駛的路程等于其安裝在后

輪行駛的路程.這個實事有明顯的幾何意義：方程組①、②

中的兩條不平行直線關于對角線丁％對稱，其交點在對角線

kx上（或說兩個互為反函數的圖像一一兩條直線，相交于

對角線），有

解法6:（創設解法情景）設一對新輪胎交換位置后同時

報廢時自行車共行駛了xkm,我們不妨設想自行車的車把和

車座都可以旋轉，用人和車的掉頭代替前、后輪交換的裝

卸.當自行車行駛到二加時，磨掉了一半的磨損量（正好等

2

于一個輪胎的磨損量），有（如圖1）：前輪的磨損量恰好是

后輪的磨損剩余量，前輪的磨損剩余量恰好是后輪的磨損

量，如果此時旋轉車把和車座掉頭返回出發地，就交換了前、

后輪，再行駛七"回到出發地時一對新輪胎同時報廢.于是

2

一個新輪胎的總磨損量

=前進與77的磨損量+返程與"的磨損量，

22

有f1—…?前輪

5000+3000-1,-------------后輪

（這就是方程③蒜+蒜小圖1

得^x=j=3750.

---------------1---------------

2x50002x3000

不管題目還會有的多少解法，我們已經有了三類解法：

方程解法、算術解法、技巧解法.這可以認為是反思解法1

的成果，并且是“只要去做、人人都能做到”.

案例分析2：關于教學設計的意圖.

這是一個“親身參與”的解題教學案例，體現解題教學

是解題活動的教學，當中有四個基本的考慮.

（1）解題化歸的教學設計：如果你不能求解第1題，

請先做第2題；如果你能求解第2題請返回做第1題，如果

你也不能求解第2題，請先做第3題；如果你能求解第3題

請返回做第2、第1題，如果你也不能求解第3題，請先做

第4題，一路轉化為基本題型.這就是化歸：把一個未解決

或較難解決的問題轉化為已解決或較易解決的問題.

（2）揭示問題的深層結構：自行車問題有工程問題的

深層結構.可列表說明如下:

例1-1自行車問題例1-2工程問題

一對輪胎的磨損（感覺磨損有一件工程（感覺工程有建設性）

破壞性）

磨損量（從新輪胎到報廢）工程量（完成一件工程）

輪胎有兩個工程有兩段（甲乙輪胎對應前后兩

段工程）

甲、乙輪胎磨損量相等前、后兩段工程量相等

輪胎放在前面位置行駛甲工程隊干前段5000小時完成

5000Am報廢

輪胎放在后面位置行駛乙工程隊干后段3000小時完成

3000初/報廢

如果行駛一定路程后，交換如果兩工程隊同時動工，甲工程隊

前、后輪胎，使一輛自行車的干前段、乙工程隊干后段一定時間

一對新輪胎同時報廢（交換后，甲、乙兩工程隊交換，使前、

前、后輪胎好像是實質的，否后兩段同時完工（甲、乙兩工程隊

則，怎能“使一輛自行車的一交換不交換是非實質的，使前、后

對新輪胎同時報廢”？）兩段同時完工即可）

這輛車將能行駛多少癡？整個工程幾小時完成？

可見，”自行車問題”與“工程問題”有相同的結構！

這時，是從“工程問題”的角度重新理解題意，體會”條件

是什么、結論是什么”的最好機會.甲乙輪胎對應前后兩段

工程、自行車前后位置對應甲乙兩個工程隊（輪胎是工程、

位置是工程隊、磨損是干工程，如圖2）.于是，從工程的觀

點看例1-1,可以認為有兩個條件：其一是磨完一個新輪胎,

自行車的前輪位置需走5000加（完成工程前半段甲工程隊需

5000小時），其二是磨完一個新輪胎，自行車的后輪位置需

走3000加（完成工程后半段乙工程隊需3000小時完成）；結

論是：求自行車的前、后輪一起磨完兩個新輪胎需走多少而

（甲、乙兩工程隊一齊干，整個工程幾小時完成）.

<CT-----\乙工程隊

O?\中_L才土O隊/O\乙工程隊

前半段工程后半段工程

圖2

（3）溝通一題多解的內在聯系.

從原解法出發，上面呈現了方程、算術、技巧三類解法,

我們說三類解法不是各別孤立的.由③（或⑤）式有

一^=----1=3750.

---11---

5000---50003000

這是方程解法的結果，約去左（或說令左=1）便是工程解

法，而取左=15000,就是技巧解法.所以，三類解法是可以溝

通的.也惟有溝通不同解法的聯系，我們才能洞察問題的深

層結構，形成優化的認知結構.

（4）呈現解題分析的兩個關鍵環節一一解題思路的探

求和解題過程的反思.解題思路的探求是把“題”作為認識

的對象，把“解”作為認識的目標，重點展示由已知條件到

未知結論的溝通過程，說清怎樣獲得題目的答案（這是一個

認知過程，如找出解法1）.解題過程的反思是繼續把解題活

動（包括題目與初步解法）作為認識的對象，不僅關注如何獲

得解，而且寄希望于對“解”的進一步分析而增強數學能力、

優化認知結構、提高思維素質，學會“數學地思維”，重點

在怎樣學會解題（這是一個再認知過程，如找出解法2至解

法6）.

第三、對案例分析的啟示.

（1）這就是一個“親身參與”的解題教學案例.

（2）我們通過這個故事來啟引大家認識案例、關注案

例研究，實際上是在進行“案例教學”.

（3）講這個有趣的故事、分析提煉內蘊于其背后的思

想、意義與道理，就是案例研究.

（羅增儒.一個自行車問題的教學分析.中學數學教學參考（中旬），2013（1/2）：

68-72）

1-1-2案例2：在“三角形內角和定理”的課堂上

第1、案例的呈現

師生理清了“三角形內角和”的證明思路之后，學生

腦子里有一個圖、但板書沒有畫出來，寫出證明如下:

已知：ABC中，為三個內角.

求證：ZA+ZB+ZC=180.

證明：在三角形外部作ZACE=N4

則CE//AB,（內錯角相等，兩直線平行）

有NECD=/.（兩直線平行，同位角相等）

得ZA++!

=ZACE+ZECD+ZC（等量代換）

=180.（平角的定義）

第2、案例的研究.

反思1

（1）對這個證明你有什么看法？

①缺圖，②點。來歷不明，③“寫為ZACB,④其他（三

角形明確為ABC,先做CE//AB.........）

（2）對于“點。來歷不明"，你會如何處理？

（學員討論）

修正1如圖3,作3C的延長線C￡>（延長到0,有

線段之嫌），在ABC外部作ZACE=NA,

則CEHAB,（內錯角相等，兩直線平行）

有NECD=ZB.（兩直線平行，同位角相等）

得ZA+ZB+ZCA

=ZACE+NECD+ZACB（等量代換）/

=180.（平角的定義）BC…D

圖3

反思2：

（1）ABC為什么畫成銳角三角形？證明中沒有用到

“銳角三角形”條件，所以，圖3只是任意三角形的一個

代表.

可向學生說明，細分有7種情況（有二級分類）.

ZC三角形形狀ZA/B示意圖

銳角三角形NA為銳角為銳角

ZC直角三角形NA為直角為銳角

為上

銳直角三角形NA為銳角NB為直角

角

鈍角三角形NA為鈍角為銳角——

鈍角三角形NA為銳角NB為鈍角

NC為直角直角三角形NA為銳角ZB為銳角

NC為鈍角鈍角三角形NA為銳角48為銳角二

（2）為什么CE在ZAC。內部?

?“外角大于不相鄰的內對角”恰好是“三角形內角和

定理”的推論，有沒有邏輯循環？能不能避免？（修正3）

?叫學生作圖、作到哪里就那里，是變相不講道理.

附《幾何原本》中外角大于內角的證明：取邊AC的中

點。，連結8。并延長到E,使OE=3O,聯結CE.

易知COE=AOB（SAS\，

Ng

由于CE在ZACZ）內，所以ZACD>NBAC,同理，

ZACD>ZABC.BC~~D

說明“CE在ZACD內“！圖4

道理：得出CE/MB后，ABC在CE的一旁，則BC的延長

線。，必在CE的另一旁，是有道理的，

修正2如圖3,在ABC外部作ZACE=N4

則CE//AB,（內錯角相等，兩直線平行）

且ABC在CE的一旁，作的延長線CD,必在CE的另一旁,

有NECD=ZB.（兩直線平行，同位角相等）

ZA+ZB+ZC

=ZACE+ZECD+ZACB（等量代換）

=180.（平角的定義）

反思3：對來歷不明的。，只有“補”一個思路嗎？避

免邏輯循環有沒有別的辦法？

開頭

中間

不補（刪）

修正3如圖5,在ABC外部作ZACE=N4

則CE//AB,（內錯角相等，兩直線平行）

得ZA+ZB+ZC

=（ZACE+ZC）+ZB（等量代換）

=(ZACE+ZACB)+ZB

=180.（兩直線平行，同旁內角互補）圖5

第3、對案例研究的啟示.

以上我們共同經歷了一個“案例”，共同進行了一次“案

例研究”.

（1）學生給出一個證明，這個證明就是一個案例，數

學教育界習慣稱數學案例為課例.

（2）我們一起談“這個證明你有什么看法？”“你會

如何處理？”就是反思，就是“案例研究”.

（3）我們通過這個證明的反思，來啟引大家認識案例,

關注案例研究，體會案例教學的過程，感悟“我要進行案例

研究，我能進行案例研究”的理念，實際上是在進行“案例

教學”.

④講這個有教育意義的故事、分析提煉內蘊于其背后的

思想、意義與道理，有一個很時髦的詞，叫做“教育敘事”

即通過教育事件的描述，發掘內隱于其背后的思想與意義.

至少有兩個收獲：

收獲1：經歷了案例教學的三步驟過程：

①教員提供課例，學員體會情景.

②教員組織討論，學員分析材料.

③教員總結評述，學員掌握原理.

收獲2：感悟到教學處處有創新的空間.

①面臨"。來歷不明”我們的認識不要封閉，要廣開思

路，〈補］中間三個思路都是通的.

不補（刪）

②面對教材我們的認識也不要封閉.

（羅增儒.與“國培”學員一起做課例分析一一在“三角形內角和定理”的課堂

上.中學數學教學參考（中旬），2013,3）

上面的兩個小故事，是不是有助于樹立一種觀念，明白

一個道理，理解一個概念，學到一種方法？可以認為是學習

“案例分析”概念的情境創設.

1-2案例研究的現實需要

我國正在進行新世紀的課程改革，數學教學的生活化取

向、活動化取向、個性化取向正在熱情地展開（體現人本主

義、大眾數學、建構主義），同時也面臨許多始料未及、而

又缺乏現成解決方案的問題，向我們提出了從理論到實踐的

挑戰、向我們提出了從教學到數學的挑戰.

1-2-1教學中遇到的一些案例

（討論：實行新課程存在些什么問題？比如“三維目標”

（知識與技能，過程與方法，情感、態度與價值觀）——“四個方面”

（義務教育階段數學課程目標分為總目標和學段目標，從知識技能、數學思考、

問題解決、情感態度等四個方面加以闡述）-----“四基”（通過義務教育階

段的數學學習，學生能：獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知

識、基本技能、基本思想、基本活動經驗），它們之間是什么關系？）

（2011課標）

每學期每一節

各門課程數學課程數學課程數學內容數學內容

目

標X

課

知識與技能知識技能

程

或

數學思考

課過程與方法

堂

問題解決

目

情感、態度

標與價值觀情感態度

過程與方法是否對應“數學思考與問題解決”？

案例3：鐘面上的時針與分針是否組成角？

下面是一位教師在上人教版七年級上冊“角的度量”第

一課時的教學片斷.教師首先出示了時鐘、棱錐、樹葉等幾

幅圖片（見課本第131頁）.

教師：請同學們找出以上圖片所含的角.

學生：鐘面上的時針與分針，棱錐相交的兩條棱，樹葉

上交錯的葉脈等都是角.

教師：這些角有什么共同的特征？你能否根據這些特征

給角下一個定義？

學生：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.

教師：由線段組成的圖形是角嗎？

學生：不是角.

教師：回答正確.因為是線段而不是射線，所以由

線段組成的圖形不是角.

學生：老師，如果根據角的定義，鐘面上的時針與分針,

棱錐相交的兩條棱，樹葉上交錯的葉脈那也不是角了？

教師無言以對.

（官云春.由一則教學悖論引發的思考.中小學數學（教師版），2006,6）

解釋：這里有現實原型與抽象模式的關系，現實原型要

經過抽象才能成為數學.

案例4：乘法交換律的教學

有一個教學設計，用一個柄特別長的勺子喝水，勺子太

長自己喝不到，學生經過討論找到“交換喝水”的辦法：你

拿勺子喂給我喝，我拿勺子喂給你喝，喝水問題圓滿解決.這

個“活動”固然有趣，辦法也很好，但與“乘法”沒有關系,

亦離開了“數量不變”的交換率本身.交換律的本質是變化

中的不變性，學生在這里學到的不是數學或不是“乘法交換

律”.（地獄與天堂的寓言）

如何防止“去數學化”，既是教學的挑戰，又是數學的

挑戰.

（張奠宙.教育數學是具有教育形態的數學.數學教育學報，2005,8）

解釋：數學并不只是一種有趣的活動，僅僅使數學變得

有趣起來并不能保證數學學習一定能夠獲得成功（數學上的

成功還需要艱苦的工作）.有效的情景應該起始于精細的數

學認知分析，使情境具有數學對象的必要因素和必要形式

（這是一個創作與創造的過程），只注意情景的形式，缺失

了數學及其本質（去數學化），會好心辦壞事.如果學生說

柄長可以鋸短或靠前拿，你的課怎么上呢？如何防止“去數

學化”，既是教學的挑戰，又是數學的挑戰.

（說到乘法交換律還想提起，現實解釋3x10與10x3是可以有區別

的，比如，一個人生病了，醫生開了30個藥片，每天吃3次，每次

吃1片，連吃10天病就好了；反之，每天吃1次，每次吃10片，連

吃3天可能就把人吃死了.但去掉“吃好”與“吃死”不同現實的具體形

式與生活內容，可得出數學上的乘法交換律3x10=10x3）

案例5“倒數”的負情境

在講解“倒數”時，某教師作了這樣的設計，引導學生

“杯子可以倒過來，數可以倒過來嗎？”“上海自來水來自

海上，可以倒過來念還是'上海自來水來自海上'……”結

果學生出現了26的倒數是62.

（金小君.創設有效情景，讓課堂煥發活力.成才之路，2008,6）

解釋“倒數”對于分數而言確有顛倒分子分母的形式，

但這不是概念的本質特征（相乘等于1）,句子倒過來念更與

“倒數”概念毫不相干，于是，所引入的情境不具有“倒數”

的必要因素與必要形式，對學生的學習產生了負面效應.如

同數學上負數比零更小，教學中負情景不會比零情景更好.

案例6勾股定理的教學設計.

教師設計：測量你的兩塊直角三角尺的三邊長度，并將

各邊的長度填入下表:

二角尺直角邊a直角邊b斜邊C關系

1

2

根據已經得到的數據，請猜想三邊的長度a,dc之間的關系.

解釋（1）這個活動的設計值得商榷，一塊任意的三

角板，它的三邊長很可能并非整數.讓學生猜想三邊長分別

為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關系，就已

經不是容易的事，比如，學生可以由32=4+5和52=12+13,猜

想〃=a+c,更何況要猜想三個非整數之間的平方關系.這樣

處理，容易導致學生盲目的猜想和虛假的探究，在這“盲目”

和“虛假”中知識夾生、變相填鴨和浪費時間.

（2）關于數學探究.請注意

?靠測量和觀察只能得出猜想，得到的猜想必須證明才

是數學結論.

?大家意見相同不能算數學結論，要演繹證明，確認一

般性.

（3）這種探究沒有勾股定理的本質：直角四三角形的

代數描述.

案例7"用字母表示數”的導入情景.

（老師想通過蘭州拉面引入2〃，上一次條數為〃，下一次條數為2”）

師：同學們，早餐吃過了嗎?

生：吃過了.

師：你們都吃了什么早餐？

生：面包，稀飯，餅干……

師（感覺不太好）：有吃過拉面嗎？

生：沒有.

師：拉面怎么做的？

生用手比畫.

師：做拉面，你能發現什么規律嗎?

生：拉面越拉越長.

師：還有其他規律嗎？

生茫然，師無奈.

師：拉面拉長后條數怎樣變化？

生：越來越多.

師（不得已）：任意多次后，拉面條數可以表示為2",這

就是今天學習的用字母表示數，引出課題.

（金小君.創設有效情景，讓課堂煥發活力.成才之路，2008,6）

解釋：（1）這節課教師提供的情境太發散，徒然浪費

了時間.形式主義與繁瑣哲學的情景實際上是一種“負情

景”，它既增加教學夾生的風險，又進行了生命的奢侈消費.

（2）小學學習的字母運用主要有三種情況：

情況1：用字母表示單位或數量.如用氣表示千克、用四

表示厘米、用力表示高、用/表示時間等，無論哪種情況，都

是有關詞語的“縮寫”，還不是代數學上的符號表示.

情況2：用x表示未知數.這是小學用字母表示數的主要

思維成果，所以，初中學生一遇到字母時，都會習慣性地認

為是未知量.

情況3：用字母表示規律.如運算律和圖形的周長、面

積計算公式等，有加法的交換律和結合律、乘法的交換律和

結合律、乘法對加法的分配律；計算三角形、長方形、平行

四邊形、圓的周長、面積公式；計算長方體、正方體、圓柱

體的體積和表面積公式、圓錐的體積公式等.這些表示中，

包括數與字母、字母與字母的運算.

（2）初中學習用字母表示數，關鍵在于提高、提高的

關鍵在于抽象，在于抽象程度的提高，談幾點相關的看法.

看法1：關鍵在抽象.在數學發展史上，從丟番圖用縮

寫的字母表示數到韋達用字母表示一般意義上的數，用了整

整1200年，經歷了三個歷史階段：文辭代數一一縮寫代數

——符號代數，要學生在短短的45分鐘內，走過人類認識

提升的漫長歷史，關鍵在抽象.從具體事物到數字是第一次

抽象（比如，從一個人、一棵樹、一張桌子抽象出自然數

“1”，但誰也沒有見過“1”，生活中從來就沒有數學上抽

象的“1”），從具體數字到字母（用字母代替數）是第二次

抽象.

看法2：抽象的本質.用字母表示數的數學本質，不僅

是字母“代替”文字、“代替”數字的過程，而且更是具體

數字符號化和形式化的抽象過程，更是靜態數字一般化、動

態化的活化過程.它是人類認識從算術到代數的一次飛

躍.這時，字母既可以表示已知量又可以表示未知量，既可

以表示常量又可以表示變量，還可以表示這個數量在不斷的

運動變化中.

看法3：用字母表示數的學術意義.符號的使用是數學

表達和進行數學思考的重要形式.

①用字母表示數的抽象性可以超越各類數量的實際情

境或具體特點，給我們帶來字母表示任何數、任何量的方便,

以后還可以用字母表示兀素，表不集合，表示向量，表示矩

陣等.

②用字母表示數的一般性使代數變得更能適應普遍的

場合，大大擴展了代數的應用范圍，大大促進了代數的發

展.（有一種觀點認為：缺少數學符號是制約中國古代數學

發展的一個原因）

③用字母表示數的形式化可以簡潔而準確地表示事物

的復雜關系，有利于數學的表達、研究、傳播和交流，使代

數真正發展成為一門關于形式運算的學科.（科學語言）

用字母表示數是用字母來代替數字或式子，并形成符號

結構的一種思想.它是發展符號意識，進行量化刻劃的基礎，

也是從常量研究過渡到變量研究的基礎.從“用字母表示數”

到用字母表示未知元、表示待定系數、表示函數廣/⑺、表

示字母變換等，是一整套的代數方法.代數思維的突出特征

——從過程到對象（凝聚），離不開用字母表示數的思想方

法.具體解題中引進輔助元法、待定系數法、換元法等都體

現了“用字母表示數”的作用.

這些小例子表明，現實向我們提出了從理論到實踐的挑

戰、向我們提出了從教學到數學的挑戰.我們認為，這是教

師專業化發展的一個歷史良機，建議同行們通過“行動研究”

的方式來解決現實問題，通過反思性的實踐來促進自身的水

平提高.

1-2-2問題涉及的關系

（1）關注過程和關注結果的關系；（過程與結果，預設

與生成）

沒有過程的結果是事實的外在灌輸，沒有結果的過程是

時間的低效消費.過程與結果并重.

精心預設是精彩生成的基礎，精彩生成是教學觀念、教

學能力和精心預設的升華.預設與生成并重.

（2）學生自主學習和教師講授的關系；（教師與學生，

講授與探究）

（形式主義：必須撤講臺擺桌子，必須先學后講，教師

講不得超過10分鐘，……）學生為主體、教師為主導.（在

課堂教學中，教師是主導性主體，其對象性活動指向學生;

學生是發展性主體，其對象性活動指向自身發展，教學是在

這種師生雙主體的關系下開展的主體性活動）

歷史上是先有探究學習后有接受學習；講授法不是萬能

的，沒有講授法是萬萬不能的；講授與探究結合.

（3）合情推理和演繹推理的關系；（歸納與演繹）

數學上有兩種類方法，一類是發現的方法，一類是論證

的方法.直覺用于發現（有利于創新但未必可靠），邏輯用

于證明（可靠但不利于創新）.應既教猜想又教論證.

（4）生活情境和知識系統性的關系；（生活經驗與知識

體系）

生活中只有數學的原型和數學的應用，誰見過數學上的

“1”、幾何上的“點”？

缺乏直觀的概念是盲目的，缺乏概念的直觀是空虛的，

數學教學既要有“引進的情景化”，又要有“提煉的去情景

化”（數學化）.形式主義與繁瑣哲學的情景實際上是一種

“負情景”，它既增加教學夾生的風險，又進行了生命的奢

侈消費.

（5）改革與繼承的關系.（傳統與創新）

用一句話來概括中國數學教育的特色，那就是：“在良

好的數學基礎上謀求學生的數學發展.”這里的“數學基礎”,

其內涵就是三大數學能力：數學運算能力、空間想象能力、

邏輯思維能力；這里的“數學發展”是指：提高用數學思想

方法分析問題和解決問題的能力，促進學生在德智體各方面

的全面發展.與此相應的教學方式，則是貫徹辯證唯物主義

精神，進行“啟發式”教學，關注課堂教學中的數學本質，

倡導數學思想方法教學，運用“變式”進行練習，加強解題

規律的研究.……

（參見張奠宙.關于中國數學教育的特色------與國際上相應概念的對

照.人民教育，2010,2）

如何繼承而又促進學生的發展？應該把教學的主動權

交給教師，有關部門可以提出指導性意見（如提出四種方式

學習方式：除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流

同樣是學習數學的重要方式），具體實施由教師決定一一以

前，行政決定農民怎樣種地，糧食不夠吃，后來，農民決定

怎樣種地，糧食吃不完.

新課程面臨問題是對教師的學習愿望與學習潛能的喚

醒與激發，是對教師反思、變革、實踐能力的有效培植.（不

是教師不適應、不合格才需要培訓，而是教師要學習、要成

長、要發展才需要培訓.）

課程改革與教師專業發展之間存在著良性循環：一方

面，課程改革為教師專業發展提供機會，并促進教師的專業

發展；另一方面，教師的專業發展是課程改革的重要支撐，

課程改革也因教師活躍的身影和創造的激情而充滿活力.

課程改革使得中國成為最需要教育家的時候，也成為最

可能產生教育家的時候.

2案例研究的理論提煉

2-1案例研究的理論支持

2-1-1對教育研究方法的反思.

對教育研究方法的反思導致了幾個轉向，如：

（1）支撐教師教育的理念根基已由以往的關注“理論”

轉向關注“實踐”、關注“課堂”；

?“聽了未必接受”.傳播學的“認知不協調”理論認

為，人們總是回避同自己原有認知要素對立的不協調信息，

而積極接觸與之協調的信息.

?“接受了未必會用”.哲學認識論的“默會知識論”

指出，專業人員所具有的知識很多是緘默（不能解釋）的、

個性化的，而且鑲嵌于情境活動之中（需要“做中學”）才

能學會.實際上，大部分教師在參與講授為主的培訓后，都

很難把聽來的理論和技能運用到日常教學上，這已經成為教

師培訓難以消解的困惑.

?喬依斯與許瓦斯（Joyce&Showers,1982）的等組實

驗發現，教師在課程培訓的同時，如參與校內同事間的互助

指導，可有75%的人能在課堂上有效應用所學的內容；否則

只有15%悟性較高的人能有同樣的表現.

（2）教育問題的研究從借鑒自然科學的精確描述轉向

為對教育問題的理解和詮釋.

越是追求精確，就越是脫離人類經驗，于是，“案例教

學”、“教育敘事”、“行動研究”等應運而生.

（3）教師發展從理論培訓到校本教研的興起，以校為

本的教研，其核心要素是：

?實踐與反思，

?交流與合作，

?引領與創新.

2-1-2教師知識組成的新認識

通常認為，數學教師的知識組成包括教育學知識、數學

系統知識、數學教學知識諸方面，而美國舒爾曼的研究表明:

教師專業知識結構由三類知識構成，即

（1）原理規則知識；

（2）專業的案例知識.

（3）運用原理規則于特殊案例的策略知識.

這就從教師的知識分類上將教育教學案例納入到教師

的知識系統，并且后兩者都屬于內隱知識一一這些知識以及

創造性解決問題的能力，僅僅依靠現成書本的格式化知識的

傳授是無法獲得的.（冰山的水下部分）

2-1-3范良火博士論文的結論

范良火在其博士論文中研究得出：教師教學知識的最重要

來源是

（1）自身的教學經驗和反思;

（2）和同事的日常交流.

至于職后培訓、當學生時的經歷、職前培訓、閱讀專業

報刊等都是其次的、第三、第四位的，教師自主的實踐中學

習、及教師群體內部的自主交流是對教師的專業發展貢獻最

大的兩個方面.

2-1-4顧泠沅“行動教育”模式

（青浦經驗：1977年，以初中一、二年級的數學常見題，對全縣

中學最高年級的4373名學生進行統考，總平均分數為11.1分，零

分學生的比例高達23.5%,約有三分之二的學生連小學的分數運算

都不熟練.經過近九年的改革，青浦縣的數學質量從七十年代的全市

最低水平開始逐年穩步上升，1985年初中升學考試數學成績，全市

各區縣平均為69.7分，青浦縣平均為79.1分.）

顧泠沅在上海的調查研究表明：

（1）保持同事間的互助指導，還須注重縱向的理念引

領；（防止蘿卜煮蘿卜還是蘿卜）

（2）保持側重討論式的案例教學，還須包含行為跟進

的全過程反思.

（3）因此在通常的教師培訓形式之外，構建了以課例

為載體、專業引領與行為跟進相統整的“行動教育”模式，

為教師在職教育提供了一種有價值的選擇.基本模式如下圖

所示.

圖6

2-1-5我的個人體會

我是在耀縣水泥廠當了十年礦山職工之后調到子弟當

中學教師的(1978),既不懂數學又不懂教學，不懂就學，

通過分析教學案例學教學，通過分析解題案例學解題.記得

我當中學教師時(1978-1986)常常問自己:

?有專業學者的功底嗎？

?有教育理論家的修養嗎？

?有教學藝術家的氣質嗎？

?有青年導師的榜樣形象嗎？

如果我們沒有向這四個方向努力，我們怎能心安理得地面對

充滿求知渴望的孩子，又怎能問心無愧地面對我們的崇高職

業和激情人生？我的體會是“案例研究”促進了我所有這四

個方面的發展，所以，我今天選擇了這樣一個經驗話題來與

大家交流.

2-2名詞解釋

“案例”一詞源于法學，就是一個案件，哈佛法學院將案

例應用于法律人才的培養，產生案例教學；哈佛工商學院將

其移植于工商管理人才的教學，取得顯著成效；之后，人們

把“病例”用于醫生培養，把“戰例”用于軍官培養，把“課

例”用于教師培養，都叫做案例教學.伴隨案例教學而進行

的分析、反思、提煉又促進了“案例研究”的發展.這里有

三個詞：案例、案例教學、案例研究.案例是一個教學實例,

案例教學是一種教學方法，案例研究是一類研究方法.三者

既有聯系又有區別.

2-2-1案例（課例）

（1）界定：數學教育上的案例是具有典型意義的教學

過程的描述.

對于數學教學上的案例，我們更習慣叫做課例（或個

案），在形式上，可以是體現教育理論與教學技能的課堂實

錄，可以是學生學數學的生動故事，可以是教師教數學的有

趣設計，還可以是教學實踐中遇到的意外與困惑的事件.為

了教學研究的需要，課例的敘述可以對課堂信息的攝取有所

側重，對課堂之外的情況（如教師、學生的背景）及心理活

動有所描述（動機、態度、思想、意圖、需要等），這就使

得用于教學分析的課例與記錄教學實驗的課例略有區別.創

作課例可以是一種“教育敘事”，用記敘文的體裁表示出來.

（2）作用：教學課例包含有充分多的信息（可以代表

一類事物），蘊含一定程度的理論原理，反映了教學實踐的

經驗與方法，滲透著對特定教學問題的深刻反思，可以幫助

數學教師樹立一種觀念，明白一個道理，理解一個概念，學

到一種方法；案例是了解教學的窗口，是問題解決的源泉，

是教學理論的故鄉，是教師發展的階梯.

（3）特征：典型性、研究性、啟發性.

2-2-2案例教學

（1）界定：案例教學是一種通過典型教學過程（課例）

的分析來學習教育理論與教學技能的教學方法.

它與傳統的講授法不同，強調教與學雙方直接參與，共

同對案例或疑難問題進行討論.案例教學突出體現了

?教學內容，

?學習方式，

?教育觀念

的轉變.這是一種研究性學習.

（2）教師培訓中的案例教學可分成3個步驟來實施：

①教員提供課例，學員體會情景.

較長的課例可以課前提供，較短的情節可以隨堂呈

現.提供的方式可以是書面材料、錄相或口頭敘述.（參見

后面的例子）

②教員組織討論，學員分析材料.

這是一個師生互動、生生合作的學習過程.一般說來，

每個課例都可以從多個角度進行分析，每個學員又都有自己

的興趣指向，如果引導啟發不當，有的學員會不知從什么地

方開始談，有的學員會只談現象與技節.因此，教師要充分

了解課例的內容，提前進行精心的準備，臨場還得有機敏靈

活的動態調節.為了使討論相對集中，可以隨課例的呈現提

出幾道重點思考題.

在案例教學中，教師更多地從講臺站到了學員的背后，

聰明不是由教師告訴、而是由學員自己去獲得.

③教員總結評述，學員掌握原理.

這一步主要由教師進行，教師的總結首先要有理論深

度，使學員確實學到東西；其次要體現現場討論的情況.

老師們在日常教學中，可以獨立地進行經常性的課例分

析，也可以以教研組為單位開展交流.

需要說明的是：案例教學與舉例說明是不同的；課例分

析與評優課、或說課也是不同的.然而，課例分析水平的提

高，可以促進所有這幾方面水平的提高.

2-2-3案例研究

（1）界定：在對典型教育事件進行具體描述的基礎上,

通過分析、歸納和解釋，概括出具有普遍性結論的研究方法,

叫做案例研究.

在案例研究中，作為研究素材的一個或多個案例本身是

研究的一部分，對案例的收集、整理和敘述本身體現著研究

者的研究旨趣和研究立場，但是，案例素材本身并不是理論,

需要研究者對案例素材進行分析、解釋、判斷和評價，形成

特定的理論.從這個意義上說，案例研究是從具體經驗事實

走向一般理論的一種研究工具.（相當于生物學研究中的標

本）

案例研究突破了理論脫離實踐的困境，建構了與實際問

題緊密相連的知識體系，便于教師結合自己的教學實際開展

研究.

（2）分析的視角.

通過現場聽課、錄像播放、文本閱讀等獲得案例是很

方便的，但是，怎樣開展案例研究呢？我們建議抓住三個主

要視角.

①數學的視角（主要看數學功底）

?內容結構：數學內容充實、完整，邏輯線路明晰.

?知識構建：原有知識經驗明確，有構建新知識的合理過

程.

?數學概念：清晰、準確，有發生過程.

?數學論證：科學、正確，有思維揭示.

?數學思想：有數學思想方法的滲透、提煉或闡明.

②教學的視角（主要看教學能力）

?教學目標：體現三維目標，定位準確，教學性質清楚.

?教學要求：恰當、適合學生的最近發展區.

?教學方法：創設發現情景，鼓勵探索質疑，多向交流溝

通，促成意義建構.

?教學過程：有序、完整，思路清晰，使用多媒體，激勵

性評價.

?教學效果：突出了重點、突破了難點，實現了教學目標.

③觀念的視角.

已經進行了十幾年的數學新課改課堂，我們的眼光不要

停留在十幾年前，觀察課堂、尋找特色，應該與時俱進，有

新的認識：

?新課改所倡導的教學理念經過十幾年的貫徹，必然會

與數學學科特征有機結合，產生出既區別于其他學科、又區

別于傳統的數學教學新特色.其實質是創新.

?新輸入的課改理念經過十幾年的貫徹，必然會與數學

教育的中國道路相互作用，促進中國數學教育在新課程背景

下的現代發展.其實質還是創新.

?如今的數學教學大體上都是：以問題情景作為課堂教

學的平臺，以“數學化”作為課堂教學的目標，以學生通過

自己努力得到結論（或發現）作為課堂教學內容的重要構成,

以“師生互動”作為課堂學習的基本方式.就是說，數學現

實、數學化、再創造、師生互動是四個關鍵詞.

最重要的是能從這些視角里看清基本事實，并用這些事

實去分析相關的數學處理、解釋相關的教學行為.當然，課

例分析的共識有的只能作為教師的營養，間接進入課堂，而

有的則可以直接進入課堂，這兩方面都將促進教學的發

展.課例分析不應是“空對空”的“紙上談兵”，而應該是

“實對實”的“行動研究”.

（還可參見：《全國中學青年數學教師優秀課評價標準（修訂

版）》，《中國數學教育》2012年第6期）

3案例分析的實踐

3-1案例8“四邊形內角和”的教學

第1、案例的呈現.

2005年的一次教研會上，兄弟單位介紹了“四邊形內

角和”的教學，分兩步介紹如下：

（1）教師在兩個水平相當的班上所進行的學習活動是一

樣的，都組織學生去探究，找出的解題途徑也大體相同，如

圖7所示.

圖7

教師總結講評后，在一個班（記為力班）增加了一個環

節，組織學生討論在這“一題多解”的背后，有什么共同的

地方一一“化歸為三角形的內角和”；另一個班（記為夕班）

沒有這個環節.

（2）25天后，組織了一次測試，求圖8中各角之和（凹

五邊形的內角和），結果，A班有89%的學生能夠完成，B

班有25%的學生能夠完成.在所完成的同學中，多數都是連

結兩條輔助線改EC,如圖9轉化為3個“三角形的內角和”

之和來解決.

第2、案例的分析.（大家討論）

聽完這個敘述之后，我們要問：

（1）你最突出的感受是什么？說出你最想說的話來.

為了把思考引向深入，我們還要繼續問：

（2）課例說了些什么事實？這些事實說明了什么道

理？

①為什么會有89%與25%的差距？

②教師的教學與研究能否結合起來?

③怎樣認識圖9的正確解答？

④從這個課題中能提煉哪些數學思想方法?

(討論發言，這個討論的一個目的是滲透“數學思想方法的

教學”)

下面是我們的初步總結.

這是一個簡明而又富于啟發性的案例，描述了一個微型

教學實驗，有實驗假設、有實驗過程、有變量控制、有效果

測試，以“化歸思想提煉”為自變量，以“問題解決水平”

為因變量，之間的因果關系存在明顯的正相關.這是把教學

與研究結合起來，把教學納入到學術研究的軌道.我們在這

里作出4點分析.

(1)進行數學思想方法的提煉是可行和有效果的.

在A班的討論顯化了數學內容和數學方法所隱含的本質

思想一一化歸；在B班沒有這一提煉，學生的認識停留在“一

題多解”的操作層面和化歸思想的“滲透”階段.結果，進

行思想方法顯化提煉的班89%通過測試，未進行顯化提煉的

班只有25%通過測試，差異十分顯著，因而“進行數學思想

方法的提煉是可行和有效果的”.這應該是我們從案例的敘

述中所獲得的最明顯的印象，而做法本身并不復雜，教師幾

乎時時、事事、處處都可以做，這對破除“數學思想方法教

學”的神秘性很有沖擊力和啟示性，用數據說話也很有份量.

當然，啟示的內涵并不是每一課題都討論“有什么共同

的地方？”一題多解可以這樣問，不是一題多解呢？還是這

樣問就呆板了、僵化了.遇到一題一解其實可以通過分析解

題的過程與步驟，找出每一步的內容與作用、組織為整體的

內容與作用等，提煉出數學實質與邏輯結構.于是內在的思

想方法就有機會浮出水面了，不浮出水面也能作為“隱性知

識”而“滲透”在學生的思想里.關鍵在于行動，在于有提

煉數學思想方法的自覺性.比如，分析圖8中的眾多解法的

共同本質，可得

①本質思想1：化歸.所有這些解法都是通過輔助線將

“四邊形的內角和”化歸為“三角形的內角和”，它是“把

一個未解決或較難解決的問題轉化為已解決或較易解決的

問題”的一個具體形式.

②本質思想2：數形結合.定理本身是數形結合的，從

運算角度看，都是幾何上的“隱性和ZA+ZB+NC+””，通過

角的分割、轉移與合并，產生求和式的拆項、交換與結合，

轉化為代數上的“顯性和”360,數形結合又是一個本質思

想.

伴隨上述思想還有：

③本質思想3:不變量.變化，但和不變，

體現了變動中的不變量.

④本質思想4:分解與組合.化歸中圖形的分割、轉移

與合并，代數和中數式的拆項、交換與結合，都體現了分解

與組合.

（2）進行數學教育的研究是人人都能做到的.

這個案例本身就是一個微型實驗，有實驗假設、有實驗

過程、有變量控制、有效果測試，以“化歸思想提煉”為自

變量，以“問題解決水平”為因變量，之間的因果關系存在

明顯的正相關，這就是數學教育研究.有的教師埋怨不知道

數學教育研究怎么做，埋怨找不到課題，這個案例應該是一

個很好的啟示：不是缺少課題，而是缺少發現課題的眼光.

試想，研究生到學校來發上一些問卷、做上幾周試驗，

碩士論文出來了，博士論文出來了.我們天天在課堂上拼搏,

理應天天有素材，月月有文章，年年有大作.

比如說，由上述案例的啟發就可以進一步精致化，化歸

的心理機制是怎樣的？（類比是不是值得考慮）收集學生做

測試時的草稿紙、與學生作面對面的深度訪談，定能將這個

案例與“化歸思想”的研究引向深入，得出更富于理論價值

和實踐意義的結論.更重要的是，在自己的每節課中關注數

學思想方法的提煉，關注數學的本質，就把教學納入到學術

活動的軌道.教學本來就應該是一種學術活動！

（3）注意防止“認知基礎”異化為“認知障礙”，努

力提供高認知水平的教學.

如圖10,其實聯結即EC當中有一條就夠了一一化歸為

一個三角形的內角和加上一個四邊形的內角和，學生普遍用

圖9來求解表明，學生對“化歸為三角

形的內角和”有直接的依賴，化歸認識/^/\

還停留在當初學習“四邊形內角和"的/、'、\

水平上（25天前），而沒有表現出學習BC

水平的提升.這提醒我們：要注意防止“認知基礎”異化為

“認知障圖10

礙”，要努力提供高認知水平的教學.

（4）測試數據的進一步分析.

數據表明：

①前25%左右的學生存在“內隱學習”.不管教師進不

進行“數學思想方法的提煉”，兩個班的優秀生都會自覺領

悟”化歸為三角形內角和”；據詢問，兩個班中有10多個同

學就是轉化為圖10求解的，這說明“10多個同學”已經擺