高級中學名校試題PAGEPAGE1天津市河東區2025屆高三第一次模擬考試數學試題一?選擇題：本題共9個小題，每小題5分，共45分每小題給出的四個選項只有一個符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】且所以，故選：C2.已知為正數，則“”是“”的（）.A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】當時，所以為增函數，所以，當時，當時，則，當時，則，此時；所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A.3.函數的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題得，所以函數是奇函數，排除選項B,D.由題得，所以排除選項C.故選A4.已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，又，因為函數，在上單調遞減，且，又因為，所以，所以，即，所以，，即．故選：C．5.下列說法中，正確的有（）①回歸直線恒過點，且至少過一個樣本點；②根據列列聯表中的數據計算得出，而，則有的把握認為兩個分類變量有關系，即有的可能性使得“兩個分類變量有關系”的推斷出現錯誤；③是用來判斷兩個分類變量是否相關的隨機變量，當的值很小時可以推斷兩類變量不相關；④某項測量結果服從正態分布，則，則.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】回歸直線的性質是恒過樣本點的中心，但不一定會經過任何一個具體的樣本點.所以說法①錯誤.

在獨立性檢驗中，我們先提出一個假設.當根據列聯表中的數據計算得出，且時，這意味著在假設成立的條件下，出現這樣的值是一個小概率事件.小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生，但現在卻發生了，所以我們有理由拒絕假設，從而有的把握認為兩個分類變量有關系，同時也就意味著有的可能性使得“兩個分類變量有關系”的推斷出現錯誤，所以說法②正確.

是用于判斷兩個分類變量是否相關的隨機變量.當的值很小時，只能說明我們有較小的把握認為兩類變量相關，但不能就此推斷兩類變量不相關.因為即使值小，也有可能是由于樣本量等因素的影響，不能絕對地得出兩類變量無關的結論，所以說法③錯誤.

已知某項測量結果服從正態分布，正態分布具有對稱性，其對稱軸為.又因為，這表明與關于對稱軸對稱.根據正態分布的對稱性可知，與之和為，已知，那么，所以說法④正確.

故選：B.6.若將函數的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若在上有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，再將所得函數圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，令，得，則直線與函數在區間上的圖象有兩個交點，令，當時，，即，作出函數與函數在區間上的圖象如下圖所示：由圖象可知，當時，即當時，直線與函數在區間上的圖象有兩個交點.因此，實數的取值范圍是.故選：D.7.拋物線的焦點為，其準線與雙曲線的漸近線相交于兩點，若的周長為，則（）A.2 B. C.8 D.4【答案】A【解析】由題知，雙曲線的漸近線為，拋物線焦點，準線方程為，由得兩點坐標為，，所以，因為的周長為，所以，解得.故B，C，D錯誤.故選：A.8.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設，分別為中點，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.9.已知定義在上的函數是偶函數，當時，，若關于的方程，有且僅有6個不同實數根，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知，函數的圖像如下圖所示：根據函數圖像，函數在上單調遞增，在上單調遞減；且時取最大值2，在時取最小值0，是部分圖像的漸近線.令，則關于的方程即可寫成此時關于的方程應該有兩個不相等的實數根（其他情況不合題意），設為方程的兩個實數根，顯然，有以下兩種情況符合題意：①當時，此時，則②當時，此時，則綜上可知，實數的取值范圍是.故選：C.二?填空題：本題共6個小題，每小題5分，共30分把答案填在題中橫線上.10.已知復數，則___________.【答案】【解析】因，所以，所以；故答案為：11.在的展開式中，的系數為_________．【答案】【解析】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數為.故答案為：60.12.若直線：被圓：截得線段的長為6，則實數的值為______.【答案】24【解析】把圓：化為標準方程有：，所以圓心，半徑，又直線：，所以圓心到直線的距離為，因為直線：被圓：截得線段的長為6，根據勾股定理有：，解得，所以，解得.故答案為：24.13.已知，則的最小值為__________.【答案】【解析】因為，所以.所以,當且僅當時等號成立.故的最小值為.故答案為:.14.假定生男孩和生女孩是等可能的，現考慮有個小孩的家庭，隨機選擇一個家庭，則當已知該家庭個小孩中有女孩的條件下，個小孩中至少有個男孩的概率為_____.【答案】【解析】記事件該家庭個小孩中有女孩，事件該家庭中個小孩中至少有個男孩，則，，由條件概率公式可得.故答案為：.15.如圖，在中，，，為上一點，且滿足，則______________；若的面積為，則的最小值為______________．【答案】①.②.【解析】∵，又，∴，∴，又因為三點共線，則，即，，的面積為，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：,.三?解答題：本題共5個小題，共75分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在鈍角中，角，，所對各邊分別為，，，已知，，．（1）求邊長和角的大小；（2）求的值．解：（1）在中，由余弦定理得：，解得，，由正弦定理得：，由得，又是鈍角三角形，則A為鈍角，于是得，所以，.（2）由（1）知，，，所以.17.在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的大小；（3）已知點在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，試確定點的位置.（1）證明：取的中點為，連接，如下圖：因為為的中點，所以，由，則，因為，所以四邊形是平行四邊形，則，且，因為在正方形中，且，即且，所以四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以平面.（2）解：由，則，在正方形中，，所以兩兩垂直，以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如下圖：則，可得，，，，設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量；設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量，設平面與平面的所成角為，則，由，則.（3）解：由題意作圖如下：設，則，可得，設異面直線與所成角為，則，整理可得，解得，即，由，則，即，故點為靠近的四等分點.18.設橢圓的右頂點為，上頂點為.已知橢圓的離心率為，.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于，兩點，且點在第二象限.與延長線交于點，若的面積是面積的倍，求的值.解：（1）設橢圓的焦距為，由已知得解得，，所以，橢圓的方程為.（2）設點，，由題意，且，如圖所示：由的面積是面積的3倍，可得，所以，從而，所以，即.易知直線的方程為：，即.由消去，可得.由方程組消去，可得.由，可得，整理得，解得，或.當時，，符合題意；當時，，不符合題意，舍去.所以，.19.已知等差數列的前項和為，數列是等比數列，滿足，，，.（1）求數列和的通項公式；（2）對任意的正整數，設，求；（3）若對于數列，在和之間插入個，組成一個新的數列，記數列的前項和為，求.解：（1）在等差數列中，，而，解得，公差，則；設等比數列的公比為，，由，得，即，解得，，所以數列和的通項公式分別為，.（2）由（1）得，當為奇數時，，則；當為偶數時，，，，則，兩式相減得，因此，所以.（3）依題意，數列：項為前的總項數為，數列是遞增，當時，，當時，，因此數列的前項中，有數列的前項，有個，所以.20.已知函數，其中，（1）若，（i）當時，求的單調區間；（ii）曲線與直線有且僅有兩個交點，求的取值范圍．（2）證明：當時，存在直線，使直線是曲線切線，也是曲線的切線．解：（1）（i）由時，且，則，令，即，令，即，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（ii），兩側同時取對數，有，設函數，則，令，有，當時單調遞增，當時單調遞減，所以，又，且時，所以與有且僅有兩個交點，即與有兩個交點的充要條件為，即，所以的取值范圍為．（2）曲線在處的切線．曲線在處的切線．要證當時，存在直線是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當時，存在，使得和重合．