高級中學名校試題PAGEPAGE1天津市河北區2023-2024學年高一下學期末質量檢測數學試題一、選擇題：本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數，，則（）A.-1 B.1 C.-5 D.5【答案】A【解析】復數，，由共軛復數的定義可知，，則有.故選：A.2.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說法正確的是（）A.與互為對立事件 B.C.與相等 D.與互斥【答案】B【解析】AD選項，事件與能同時發生，不是互斥事件，不是對立事件，故AD均錯誤；B選項，，故B正確；C選項，事件與事件不是同一個事件，故C錯誤．故選：B．3.一個總體中共有10個個體，用簡單隨機抽樣的方法從中抽取一個樣本容量為3的樣本，則某一個特定個體被抽到的概率為（）A. B.C D.【答案】A【解析】依題意每個個體被抽到的概率均為，則某一個特定個體被抽到的概率為.

故選：A.4.如圖，在正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因，所以即為異面直線與所成角的平面角，而，所以異面直線與所成角的大小為.故選：C.5.用半徑為的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，則該圓錐筒的高為（）A.12 B.C.9 D.3【答案】D【解析】設圓錐的底面半徑為，高為，母線為，依題意可得，，所以，則.故選：D.6.如圖，已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，.故選：B.7.設，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】C【解析】對于A：若，，則或，又，則或與相交，相交也不一定垂直，故A錯誤；對于B：若，，則或，若，則在平面內存在直線，使得，又，則，又，所以；若，又，所以；綜上可得，由，，，可得，故B錯誤；對于C：若，，則，又，，是兩個不同的平面，則，故C正確；對于D：若，，，則或與異面，故D錯誤．故選：C．8.若連續拋兩次骰子得到的點數分別是，，則點在直線上的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若連續拋兩次骰子得到的點數分別是，，則點有種可能，其中滿足的數對有，共5種可能，所以點在直線上的概率是.故選：C.9.某市6月1日至14日的空氣質量指數變化趨勢如圖所示，空氣質量指數小于100表示空氣質量優良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染，下列說法中不正確的是（）A.該市14天空氣質量指數的中位數為78.5B.該市14天空氣質量指數的第30百分位數為55C.該市14天空氣質量指數的平均值大于100D.計算連續3天空氣質量指數方差，其中6日到8日的方差最大【答案】C【解析】對于A，將14天的空氣質量指數由小到大排列為：，所以該市14天空氣質量指數的中位數為：，故A正確.對于B：因為，所以該市14天空氣質量指數的百分位數為，故B正確；對于C：，該市14天空氣質量指數的平均值小于100，故C錯誤；對于D：因為連續3天空氣質量指數，6日到8日的波動最大，也即方差最大，故D正確.故選：C.10.如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為，則點到平面的距離為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】由直三棱柱的體積為6，可得，設到平面的距離為，由，，，解得，即到平面的距離為.故選：B.二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案填在題中橫線上．11.i是虛數單位，復數______．【答案】【解析】.故答案為：.12.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．為掌握各類超市的營業情況，現按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本，應抽取中型超市__________家．【答案】20【解析】∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，∴共有超市200+400+1400=2000，∵按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本，∴每個個體被抽到的概率是，∴中型超市要抽取400×=20家.故答案為：20．13.某校團委舉辦“強國復興有我”知識競賽，甲、乙兩位同學同時回答一道題目．已知甲同學答對的概率為，乙同學答對的概率為．若這兩位同學回答正確與否互不影響，則甲、乙兩位同學中至少1位同學答對這道題的概率為______．【答案】【解析】由題意，所求概率為.故答案為：.14.已知長方體的長、寬、高分別為3，2，1，且長方體的所有頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為______．【答案】【解析】因為長方體的長、寬、高分別為3，2，1，則長方體的體對角線長為，又長方體外接球的直徑即為長方體的體對角線，設外接球的半徑為，則，所以，所以外接球的表面積.

故答案為：.15.《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，河圖的排列結構如圖所示，一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八同道居左，四與九為友居右，五與十相守居中，其中白圈為陽數，黑點為陰數，若從陽數和陰數中各取一數，則其差的絕對值為5的概率為______．【答案】【解析】所有的基本事件為，其中，，共25個基本事件；目標事件為，，，，，共5個基本事件，所以.故答案為：.三、解答題：本大題共4個小題，共40分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.拋擲兩枚質地均勻的骰子（標記為一號和二號），觀察兩枚骰子分別可能出現的基本結果.（1）寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；（2）求下列事件的概率；①“兩個點數之和是5”；②“一號骰子的點數比二號骰子的點數大”.解：（1）拋擲一枚骰子有6種等可能的結果，一號骰子的每一個結果都與二號骰子的任意一個結果配對，組成擲兩枚骰子試驗的一個結果，用數字表示一號骰子出現的點數，用數字表示二號骰子出現的點數，則數組表示這個試驗的一個樣本點，所以這個試驗的樣本空間為：，樣本空間共有36個樣本點，由于骰子的質地均勻，因此各個樣本點出現的可能性相等，所以這個試驗是古典概型.（2）由（1）知，事件A所含樣本點：，共4個，所以；事件B所含樣本點為：，共15個，所以.17.已知的內角，，所對的邊分別為，，，向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值和的面積．解：（1）因為向量，，且，所以，由正弦定理得，又，則，顯然，則，又，所以.（2）由余弦定理得，整理得，解得或（舍），所以面積.18.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節水方案，對居民用水情況進行了調查．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）已知該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，說明理由；（3）估計居民月均用水量的眾數、中位數，說明理由．解：（1）由頻率分布直方圖知，，解得，所以直方圖中的值為.（2）由圖得月均用水量不低于3噸的頻率為，所以估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數為（人）.（3）由圖可知，眾數是；因為，，所以中位數在區間內，設為，則，解得，即中位數為.19.如圖，在三棱柱中，與交于點，平面，，是的中點．（1）證明：平面；（2）證明：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）在三棱柱中，與交于點，所以