高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1陜西省榆林市2025屆高三下學(xué)期第三次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故.故選：D.2.已知，則的虛部為（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】，虛部為4.故選：B.3.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由可得：.故選：C.4.已知向量，若，則（）A. B.5 C. D.13【答案】A【解析】由得，解得，由，則.故選：A.5.雙曲線的右焦點(diǎn)為，若以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的離心率等于（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】根據(jù)題意得：圓心，半徑為，雙曲線漸近線方程為，即，以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與雙曲線的漸近線相切，且，圓心到漸近線的距離，即，，則雙曲線的離心率，故選：B6.如圖，是邊長(zhǎng)為的正三角形.曲線是分別以為圓心，為半徑畫的圓弧，稱曲線為螺旋線旋轉(zhuǎn)一圈，然后又以為圓心，為半徑畫弧，，如此下去，畫到第10圈，則所得螺旋線的總長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可知的長(zhǎng)度分別為：，所以此數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差，項(xiàng)數(shù)為30的等差數(shù)列，則根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得：該數(shù)列前30項(xiàng)的和為，故選：B.7.交流電的瞬時(shí)值隨時(shí)間周期性變化，正負(fù)號(hào)表示電流方向的交替變化.電流強(qiáng)度（安）隨時(shí)間（秒）變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則當(dāng)秒時(shí)，電流強(qiáng)度是（）A.安 B.5安 C.安 D.安【答案】D【解析】由圖象得，電流的最大值和最小值分別為10和，可得.由周期得，再將點(diǎn)代入，得，所以.因?yàn)?，所以時(shí)，所以.將代入得.故選：D.8.已知函數(shù)，則的最小值為（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】法1：因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值.法2：因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此與函數(shù)符號(hào)相同，原不等式等價(jià)于上恒成立，因此，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)直線上，因此.法3：因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，零點(diǎn)為0，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，零點(diǎn)為，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).法4：設(shè)，則恒成立，因?yàn)椋詾楹瘮?shù)的極小值點(diǎn)，因此，又，所以，當(dāng)時(shí)，，由解法1知，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，滿足題意.因此，下同解法1.法5：設(shè)，則恒成立，因?yàn)?，所以為函?shù)的極小值點(diǎn)，因此，又，所以，由解法1知在上單調(diào)遞增，且，因此，下同解法1.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有三個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)2分，有兩個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)3分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.的周長(zhǎng)為16 B.的最小值為C.的面積的最大值為12 D.存在點(diǎn)，使得【答案】AC【解析】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)的頂點(diǎn)，則的面積，所以面積的最大值，故C正確；對(duì)于D，由已知，，設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，即，又，則，代入，得，此方程無實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.若的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.角C為鈍角 B.C. D.的最小值為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，∵，∴，即，∴，又，∴一定為鈍角，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由余弦定理知，，化簡(jiǎn)得，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，∵，∴，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，∵，∴，∵為鈍角，則，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，則正實(shí)數(shù)的取值可能是（）A. B. C.1 D.【答案】ACD【解析】因?yàn)椋?，所以可化為，即；令，則有對(duì)于定義域內(nèi)任意，都有，所以在上單調(diào)遞減，所以在上，；因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，即；令，，?dāng)時(shí)，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；可化為，，因?yàn)樗裕挥?，可知?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)在上的單調(diào)性以及的正負(fù)情況，有：若，則在上恒成立，所以，即在上恒成立；令，則，，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增減，所以時(shí)，取得最大值，，所以；因?yàn)?，，均滿足題意，不合題意，所以ACD正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.乙巳蛇年，古城榆林燃動(dòng)全國(guó)秧歌熱潮，國(guó)內(nèi)外共39支隊(duì)伍匯聚榆林，舞動(dòng)非遺年味.現(xiàn)有4名國(guó)際友人，每人從俄羅斯、保加利亞、榆林市直教育系統(tǒng)的三支秧歌隊(duì)中選擇觀看一支，則不同的觀看方式有__________.（用數(shù)字作答）【答案】81【解析】4名國(guó)際友人，每人有三種選擇，所以種.故答案為：81.13.如圖所示，在上、下底面對(duì)應(yīng)邊的比為1：2的三棱臺(tái)中，過上底面一邊作一個(gè)平行于棱的平面，記平面分三棱臺(tái)兩部分的體積為（三棱柱），兩部分，那么______.【答案】3：4【解析】設(shè)三棱臺(tái)高為，上底面的面積是，則下底面的面積是，，.故答案為：.14.若把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，則曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為__________.【答案】4【解析】解法1：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為4.解法2：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為4.故答案為：.15.某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x（萬元）與銷售額y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：超市ABCDE廣告支出x24568銷售額y3040606070（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望；（2）利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)廣告支出為10萬元時(shí)的銷售額．附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．解：（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市有C，D，E這3家超市，則隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，，，的分布列為：123數(shù)學(xué)期望．（2），，，．關(guān)于線性回歸方程為；在中，取，得．預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出10萬元時(shí)的銷售額為87萬元．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且是與的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.（1）解：依題可得：，即：，解得，所以.（2）證明：設(shè)，則，所以，17.如圖1，已知為等邊三角形，四邊形為平行四邊形，.把沿向上折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，使得平面平面，如圖2所示.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.（1）證明：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)闉榈冗吶切?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槠矫?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?（2）解：由（1）知平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?設(shè)的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，可得.設(shè)平面的法向量，則，即，取，則平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，則，即，取，則平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）解：由（1）知平面，平面，所以，，而，故的取值范圍為.18.已知平面上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在與之間.（i）證明：線段垂直于軸；（ii）記的面積為的面積為，求的取值范圍.解：（1）設(shè)點(diǎn)，由于動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)此拋物線的方程是，則，故曲線的方程是.（2）（i）因?yàn)橹本€的斜率不為0，故設(shè)的方程為，聯(lián)立可得：，，則，.故，故直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以線段垂直于軸（ii）由（i）可知，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在與之間，所以，，則，令，則，令，則，解得；令，解得.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以的取值范圍為.19.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的，用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，其中和分別是和次多項(xiàng)式，且滿足.其中為的導(dǎo)數(shù).已知在處的階帕德近似為.（1）求實(shí)數(shù)的值，利用的階帕德近似估計(jì)的近似值（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：當(dāng)時(shí)，.（1）解：，因?yàn)?，所以，解得?（2）解法1：設(shè)，則在上恒成立.若，則顯然成立；若，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，因此，即在上單調(diào)遞增