高級中學名校試題PAGEPAGE1山西省太原市某校2024-2025學年高二下學期3月月考數學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知，為的導函數，則＝（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】；，故答案選：B2.已知等比數列滿足，，則（）A.26 B.78 C.104 D.130【答案】B【解析】設等比數列公比為，根據已知可得，，所以，，解得，所以，.故選：B.3.在等差數列中，，則（）A.8 B.12 C.16 D.20【答案】B【解析】由題意，數列為等差數列，結合等差數列的性質得，，

則，所以.

故選：B.4.當時，函數取得最大值，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】因為函數定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.5.已知各項均為正數的等比數列中，，，成等差數列，則（）A.27 B.3 C.1或3 D.1或27【答案】A【解析】設等比數列的公比為q，因為，，成等差數列，所以，所以，化簡得，所以（不合題意，舍去），所以.故選：A.6.若函數在上有極值，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的定義域為，，要函數在上有極值，則在上有零點，即在上有實數根.令，則，當且僅當時等號成立，所以.當時，，函數單調遞增，則函數在上沒有極值，故.故選:D.7.已知函數，則（）A.函數的極大值點為B.函數極小值為2C.過點作曲線的切線有兩條D.直線是曲線的一條切線【答案】D【解析】，令，解得或，因為，；，；，；所以在遞增，遞減，遞增，故的極大值點為，故A錯誤；極小值為，故B錯誤；設過的切線為，切點為，所以，則，從而，解得或，有三條切線，故C錯誤；令，即，解得，從而，即切線方程為，故D正確．故選：D.8.已知函數,且,其中是的導函數，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數f（x）=sinx-cosx，所以f′（x）=cosx+sinx，由f′（x）=2f（x），得：cosx+sinx=2sinx-2cosx，即3cosx=sinx，所以.所以=.故答案為A.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知在等比數列中，滿足，，是的前項和，則下列說法正確的是（

）．A.數列是等比數列B.數列是遞增數列C.數列是等差數列D.數列中，，，仍成等比數列【答案】AC【解析】為等比數列，且，，，，對于A，，，是等比數列，故A正確；對于B，，，，且，是遞減數列，故B錯誤；對于C，設，則，是等差數列，故C正確；對于D，，，，因為，故數列{}中，，，不成等比數列，故D錯誤.故選：AC.10.數列滿足，，數列的前n項和為，則（）A.是等比數列 B.是等比數列C. D.【答案】BCD【解析】對于AB，數列中，，，則，，因此數列是以為首項，3為公比的等比數列，A錯誤，B正確；對于C，，則，C正確；對于D，，D正確.故選：BCD11.已知函數，則下列判斷正確的是（）A.存在，使得 B.函數的遞減區間是C.任意，都有 D.對任意兩個正實數、，且，若，則【答案】BCD【解析】因為，定義域為，，令，則，所以函數在上單調遞減；令，則，所以函數在上單調遞增；所以函數，在處取得極小值也就是最小值，，所以對任意，故正確、錯誤；令，則，，令，則．在上為減函數，則，令，由，得，則，當時顯然成立．對任意兩個正實數、，且，若，則正確，故正確．故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.等差數列的前n項和為，若，則______【答案】【解析】設等差數列公差為，因為，可得，解得，所以.故答案為：.13.設數列滿足，，若數列的前n項之積為，則的值為_________．【答案】－1【解析】因為，所以所以數列是周期為3的數列所以故答案為：14.定義在上的偶函數的導函數為,當時,,且，則使得成立的x的取值范圍為__________________.【答案】【解析】設，為偶函數當時，所以時，單調遞減，且時，單調遞增，且所以故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.）15.設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數列的前項和．解：（1）設的公比為，為的等差中項，，；（2）設的前項和為，，，①，②①②得，，16.設函數，其中.（1）討論的單調性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.解：（1）函數的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區間為，增區間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數的單調性可得，故即.17.記為數列的前n項和.已知.（1）證明：是等差數列；（2）若，，成等比數列，求的最小值.以及此時的n的值解：（1）由，得①，所以②，由②-①，得，化簡得，所以數列是公差為1的等差數列.（2）由（1）知數列的公差為1.由，得，解得.所以，所以當或13時，取得最小值，最小值為.18.已知數列，其前項和為，，．（1）求的通項公式；（2）若，設數列的前項和，求證：；（3）若對恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）因為，當時，所以，即，所以，即，所以，，，，，，累乘可得，又，所以，當時也成立，所以；（2）由（1）可得，所以；（3）因為對恒成立，即對恒成立，即對恒成立，令，則，所以時，當時，當時，即，所以，所以，即實數的取值范圍為；19.已知．（1）求的單調區間；（2）若，記，為函數兩個極值點，求的取值范圍．解：（1），（x＞0），令