高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山西省晉中市部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】因?yàn)椋郑裕獾茫?故選：C2.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且時(shí)，，則（）A.10 B.9 C. D.【答案】D【解析】由奇函數(shù)的定義得，故選：D.3.已知全集，集合，，則下列關(guān)系中正確的是（）A B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得，由可得或，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，不包含，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，故D錯(cuò)誤.故選：B4.用數(shù)字1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這些三位數(shù)中是3的倍數(shù)的有（）A.3個(gè) B.6個(gè) C.9個(gè) D.12個(gè)【答案】D【解析】從數(shù)字，，，中選擇個(gè)數(shù)，有，，；，，；，，；，，共四種情況，其中由，，和，，組成的三位數(shù)是的倍數(shù)，所以這些三位數(shù)中是3的倍數(shù)的有個(gè).故選：D5.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上一點(diǎn)，若P到x軸的距離為4，且，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】由題得，代入得，，即，解得，故選：A.6.設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A.60 B.56 C.12 D.8【答案】A【解析】由二項(xiàng)分布的性質(zhì)得，，故選：A.7.已知，，則（）A B.C. D.【答案】C【解析】已知，，所以，所以，所以，，則.故選：C.8.數(shù)學(xué)中的玫瑰線是一種具有周期性的曲線，常見(jiàn)的玫瑰線有三葉玫瑰線、四葉玫瑰線和六葉玫瑰線.已知一個(gè)四葉玫瑰線的方程為，其圖象如圖所示.若將滿足，的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，則滿足的整點(diǎn)有（）A.9個(gè) B.17個(gè) C.25個(gè) D.33個(gè)【答案】C【解析】由，得，則滿足，因?yàn)椋裕矗瑒t第一象限內(nèi)滿足的整點(diǎn)有，其中滿足的有，共6個(gè)，所以滿足的整點(diǎn)有個(gè).故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)镈.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象【答案】AC【解析】，對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，此時(shí)有增有減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得，故D錯(cuò)誤，故選：AC．10.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，且對(duì)任意的，，時(shí)，恒成立，則“不等式成立”的一個(gè)充分不必要條件為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)閷?duì)任意的，，時(shí)，恒成立，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以不等式成立等價(jià)于，又定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，即函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，即，所以，解得，綜上不等式成立的條件為，所以“不等式成立”的一個(gè)充分不必要條件為其子集，即或.故選：BC11.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，平面B.四面體的體積為定值C.的最小值為D.四面體的外接球半徑的取值范圍是【答案】ABD【解析】對(duì)于A，在直三棱柱中，平面，平面，所以，因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，又平面，所以，即平面，故A正確；對(duì)于B，在直三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，即到平面的距離等于到平面的距離，所以，即四面體的體積為定值，故B正確；對(duì)于C，將翻折到與矩形共面，如圖所示，連接與相交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，在中，，，由余弦定理可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在直三棱柱中，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)，，，因?yàn)辄c(diǎn)M是線段上任意一點(diǎn)，由，所以，所以可取，，設(shè)四面體的外接球球心為，半徑為，則，即，由對(duì)稱關(guān)系可得，又，所以，解得，因?yàn)椋裕蔇正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，，若，則a的值為_(kāi)_______.【答案】或【解析】，，即，所以或，故答案為：或.13.已知雙曲線（，）的上、下焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線l與雙曲線C的上、下兩支分別交于點(diǎn)P，Q.若，，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_______.【答案】【解析】因?yàn)椋栽O(shè)所以，則，所以，所以，又因?yàn)椋裕瑒t雙曲線C的離心率為.故答案為：.14.在中，若，的面積為6，則邊長(zhǎng)度的最小值是________.【答案】【解析】設(shè)，則，由，得，由余弦定理得，令，則，即（其中），所以，即，得，解得或，即或（舍去），解得或（舍去），所以的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.2024年12月14日，人民日?qǐng)?bào)健康客戶端從深圳市市場(chǎng)監(jiān)督管理局獲悉，深圳率先獲批農(nóng)業(yè)農(nóng)村部農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量安全監(jiān)管司水果質(zhì)量分級(jí)試點(diǎn)，建立優(yōu)質(zhì)水果品質(zhì)評(píng)價(jià)制度.深圳在全國(guó)率先研制集口感、香氣、營(yíng)養(yǎng)等客觀理化指標(biāo)的水果質(zhì)量分級(jí)“深圳標(biāo)準(zhǔn)”，將水果分為、A和B三個(gè)等級(jí)，其中藍(lán)莓按照橫徑x（mm）分類標(biāo)準(zhǔn)是：為等級(jí)，為A等級(jí)，為B等級(jí).某藍(lán)莓生產(chǎn)基地收獲藍(lán)莓后按照藍(lán)莓橫徑x（）（mm）進(jìn)行分類包裝，包裝標(biāo)準(zhǔn)為，，，，，，，，質(zhì)檢部從生產(chǎn)線上抽取500盒藍(lán)莓作為樣本進(jìn)行檢測(cè)，并按橫徑繪制了頻率分布直方圖如下.（1）用樣本估計(jì)這批藍(lán)莓橫徑的中位數(shù)（精確到0.01mm）；（2）按等級(jí)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式從樣本中抽取25盒藍(lán)莓做進(jìn)一步檢測(cè)，從所抽取的25盒藍(lán)莓中任選2盒.設(shè)事件M：2盒藍(lán)莓的等級(jí)不相同，事件N：2盒中至少有1盒為B等級(jí)，判斷事件M與事件N是否相互獨(dú)立，并說(shuō)明理由.解：（1）由頻率分布直方圖得，解得.又，，設(shè)這批藍(lán)莓橫徑的中位數(shù)為，則，，解得，所以這批藍(lán)莓橫徑的中位數(shù)為.（2）因?yàn)闉榈燃?jí)，為A等級(jí)，為B等級(jí)，則由頻率分布直方圖得水果的B等級(jí)，A等級(jí)和等級(jí)的盒數(shù)之比為，所以25盒藍(lán)莓中B等級(jí)，A等級(jí)和等級(jí)的盒數(shù)為13盒，8盒，4盒，所以，，，因?yàn)椋瑒t，所以事件M與事件N不相互獨(dú)立.16.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，M為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上（不含端點(diǎn)）.（1）若平面，求證：N為中點(diǎn)；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求線段CN的長(zhǎng)度.（1）證明：連接，經(jīng)過(guò)的平面平面，又平面，所以，因?yàn)镸為CD的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以N為的中點(diǎn)（2）解：以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，則，則，取，得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，則，取，得，所以，由題可得，解得，所以.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）證明：由題意，，又，解得，，①，②②減①得，所以，即，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，因?yàn)椋?18.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求曲線與曲線的公切線；（3）已知，若的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，求的取值范圍.解：（1），當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，此時(shí)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，綜上當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2），，，設(shè)公切線在上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為，，此時(shí)切線方程為，設(shè)公切線在上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為，此時(shí)切線方程為，所以，，時(shí)兩邊都是單調(diào)，且時(shí)，等號(hào)成立，故，公切線方程為；（3），，即，因?yàn)榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)為，，所以有兩個(gè)不同的正數(shù)解，所以又，代入解得，，，令，，，所以在單調(diào)遞減，，故答案為.19.某數(shù)學(xué)興趣研究小組發(fā)現(xiàn)雞蛋的形狀類似于橢球體，橢球體的表面為橢球面.在空間直角坐標(biāo)系下，橢球面的方程為（，，），研究小組通過(guò)祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”得到對(duì)應(yīng)的橢球體的體積為.該研究小組通過(guò)測(cè)量得到某雞蛋對(duì)應(yīng)的橢球面的方程為.（1）求橢球面C對(duì)應(yīng)的橢球體的體積；（2）已知橢球面C與坐標(biāo)面的截痕是橢圓E，過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F作直線l與橢圓E相交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M，N分別作橢圓E的切線，兩切線交于點(diǎn)A.①證明：點(diǎn)A在定直線上；②求面積的取值范圍.解：（1）由題得；（2）①當(dāng)時(shí)，得橢圓，右焦點(diǎn)F，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：，，與橢圓聯(lián)立得，，此時(shí)過(guò)M，N時(shí)的切線方程分