高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省淄博市淄川區2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.曲線在點（1，0）處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，故所求切線方程為．故選：A．2.已知數列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選:C3.若函數，滿足且，則（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】取，則有，即，又因為所以，所以，所以.故選：C4.6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A.120種 B.90種C.60種 D.30種【答案】C【解析】首先從名同學中選名去甲場館，方法數有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數有；最后剩下的名同學去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C5.若函數在內無極值，則實數的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】C【解析】因為函數在內無極值，所以在內無變號零點，根據二次函數的對稱性和單調性知，在區間單調遞增，所以或即可，解得或，故選：C.6.已知數列是遞增的等比數列，，若的前項和為，則，則正整數等于（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】聯立可得或，又因為數列是遞增的等比數列，所以，則公比，所以，所以.故選：B.7.若函數在區間內存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，若在區間內存在單調遞增區間，則有解，故，令，則在單調遞增，，故.故選：D.8.定義：設函數在上的導函數為，若在上也存在導函數，則稱函數在上存在二階導函數，簡記為.若在區間上，則稱函數在區間上為“凹函數”.已知在區間上為“凹函數”，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，，則，，因為在區間上為“凹函數”，所以，即在上恒成立，則在上恒成立，當，即時，因為，，所以，故顯然成立，當，即時，令，則在上恒成立，又因為，所以在上單調遞增，所以，即，則在上恒成立，令，則，又，當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，則，所以，綜上：，即.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.記等差數列的前項和為，已知，，則有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由，得，設等差數列的公差為，則有，所以，所以，所以，，，由，得，故選：ACD.10.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.常數項是24 B.第4項系數最大C.第3項是 D.所有項的系數的和為1【答案】AD【解析】因為展開式的通項公式為；令可得，所以常數項為，A正確；由通項公式可知，當時，第4項的系數為負數，故B錯誤；第3項是，所以第三項為24，故C錯誤；令可得所有項的系數的和為1，故D正確.故選：AD.11.下列說法正確的是（）A.甲?乙?丙?丁4人站成一排，甲不在最左端，則共有種排法B.3名男生和4名女生站成一排，則3名男生相鄰的排法共有種C.3名男生和4名女生站成一排，則3名男生互不相鄰的排法共有種D.3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有1296種【答案】ACD【解析】對于A：先排最左端，有種排法，再排剩余3個位置，有種排法，則共有種排法，故A正確；對于B：3名男生相鄰，有種排法，和剩余4名女生排列，相當于5人作排列，有種排法，所以共有種排法，故B錯誤；對于C：先排4名女生，共有種排法，且形成5個空位，再排3名男生，共有種排法，所以共有種排法，故C正確；對于D：由C選項可得3名男生和4名女生站成一排，則3名男生互不相鄰的排法共有種排法，若女生甲在最左端，且男生互不相鄰的排法有種排法，所以3名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296種，故D正確.故選：ACD12.已知函數是定義在上的奇函數，當時，.則下列結論正確的是（）.A.當時，B.函數在上有且僅有三個零點C.若關于的方程有解，則實數的取值范圍是D.，【答案】BD【解析】令，則，所以，得，所以選項A錯誤；觀察在時的圖象，令，得，可知在上單調遞減，在上遞增，且在上，，在上，，由此可判斷在僅有一個零點，由函數的對稱性可知在上也有一個零點，又因為，故該函數有三個零點，所以選項B正確；由圖可知，若關于的方程有解，則，所以選項C錯誤；由圖可知，的值域為，所以對，恒成立，所以選項D正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.數列滿足，，則___________．【答案】【解析】因為，所以，，，，，累加得：故答案為：.14.的展開式中的系數為___________．【答案】【解析】的展開式通項公式，當時，，當時，，故的展開式中的系數為.故答案為：715.某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數字作答）．【答案】64【解析】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.16.已知偶函數，其導函數為，當時，，，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】令，當時，，在上單調遞增．因為是偶函數，所以是奇函數．因為，所以．；不等式等價于，所以或，解得或．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知展開式的二項式系數和為64，且．（1）求的值；（2）求展開式中二項式系數最大的項；（3）求的值．解：（1）∵的展開式的所有項的二項式系數和為，∴，故展開式中第三項為：，所以；（2）∵，∴第四項的二項式系數最大，所以展開式中二項式系數最大的項；（3）因為，∴，令，可得.18.已知等差數列的首項為1，且，___．在①；②成等比數列；③，其中是數列}的前n項和．在這三個條件中選擇一個，補充在橫線中，并進行解答．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列{}的前n項和．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分，解：（1）若選擇①：設的公差為d，因為，，所以，所以，所以；若選擇②：因為成等比數列，所以，又，所以，又，設的公差為，所以，解得，所以；若選擇③：設的公差為d，因為，所以，又，即，解得，所以；（2）由題知．所以，所以，所以，所以.19.某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．（1）將V表示成r的函數V（r），并求該函數的定義域；（2）討論函數V（r）的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．解：（1）∵蓄水池的側面積的建造成本為元，底面積成本為元∴蓄水池的總建造成本為元所以即∴∴又由可得故函數的定義域為（2）由（1）中，可得（）令，則∴當時，，函數為增函數當，函數為減函數所以當時該蓄水池的體積最大考點：1.函數的應用問題；2.函數的單調性與導數；2.函數的最值與導數.20.設函數，已知是函數極值點．（1）求a；（2）設函數．證明:．解：（1）由，，又是函數的極值點，所以，解得；（2）[方法一]：轉化為有分母的函數由（1）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（ⅰ）當時，，，即證．令，因為，所以在區間內為增函數，所以．（ⅱ）當時，，，即證，由（ⅰ）分析知在區間內為減函數，所以．綜合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最優解】：轉化為無分母函數由（1）得，，且，當時，要證，，，即證，化簡得；同理，當時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，故；當時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導數不等式中的常見結論證明令，因為，所以在區間內是增函數，在區間內是減函數，所以，即（當且僅當時取等號）．故當且時，且，，即，所以．（ⅰ）當時，，所以，即，所以．（ⅱ）當時，，同理可證得．綜合（ⅰ）（ⅱ）得，當且時，，即．21.已知數列的前項和為滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足.①求數列的前項和；②若對于一切正整數恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）當時，；當時，，，，即；又，，數列自第二項起為等比數列，公比為，此時；經檢驗：不滿足，.（2）①由（1）得：，則；當時，，，，；經檢驗：滿足，；②當時，，當時，，，則當時，，又，，即；，即，解得：或，即實數的取值范圍為.22.已知函數．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．解：（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（