高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省青島市黃島區2023-2024學年高二下學期4月期中考試數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，請將答題卡上交.一?單項選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.6個人分5張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同的分法種數是（）A. B. C.5! D.【答案】A【解析】6個人分5張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，所以從6個人中選5人即可，所以共有種分法.故選：A2.已知隨機變量的分布列如下所示，且，則（）123A. B. C. D.【答案】B【解析】由分布列的性質可得，，所以，又因為，所以，即，聯立方程，解得，所以.故選：B.3.某工廠5月份生產3000個燈泡，實驗得知燈泡使用壽命（單位小時）服從正態分布，已知，則工廠該月生產燈泡壽命在800小時以上個數約為（）A.2600 B.2700 C.2800 D.2900【答案】B【解析】因為燈泡使用壽命（單位小時）服從正態分布，且，所以，所以，所以工廠該月生產燈泡壽命在800小時以上個數約為個.故選：B4.若，則（）A.244 B.242 C.122 D.121【答案】C【解析】令，得，令，得，兩式相加得，則.故選：C.5.根據分類變量與的成對樣本數據，計算得到.已知，依據小概率值的獨立性檢驗，則（）A.與不獨立B.與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.05C.與獨立D.與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.05【答案】C【解析】因為根據，根據小概率值的獨立性檢驗知：與獨立，C正確.故選：C.6.1080不同的正因數個數為（）A.32 B.36 C.48 D.50【答案】A【解析】由題意可知，則1080的正因數，因為可取，可取，可取，所以1080不同的正因數個數為.故選：A.7.若隨機變量服從二項分布，且，則（）A. B.10 C. D.11【答案】C【解析】，因為，所以，解得，，，，，，，，所以的分布列為0123456所以的分布列為0149162536所以.故選：C.8.在如圖所示的九宮格中填入數字和字母，已知三個字母：都填到九宮格中且不能在同一行同一列，其他每格只能從數字中選擇一個填入，有公共邊的兩個格數字不相同，則不同的填法種數為（）A.5230 B.3619 C.4758 D.5184【答案】D【解析】先填，對于，有9個位置可以選擇，除去所在的行和列，有4個位置可以選擇，再除去所在的行和列，只剩1個位置，故填共有種；再填1，2，3，如下圖，④⑤①⑥②③由于公共邊的兩個格數字不相同，從①號位置開始:①有3種選擇，②有2種選擇，③有2種選擇，④有3種選擇，⑤有2種選擇，⑥有2種選擇，故填1，2，3有種；所以共有種.故選：D.二?多項選擇題：本大題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某研究小組用5組數據繪制了如下散點圖，若將第六組數據（點）加入后重新進行回歸分析，則（）A.相關系數的絕對值越趨于1B.決定系數變小C.殘差平方和變小D.解釋變量與預報變量相關性變弱【答案】BD【解析】從圖中可以看出點較其他點，偏離直線遠，故加入點后，回歸效果會變差，所以相關系數的絕對值越趨于0，決定系數變小，故A錯誤，B正確；擬合效果變差，則殘差平方和變大，故C錯誤；解釋變量與預報變量相關性變弱，D正確.故選：BD.10.已知離散型隨機變量，其中，則（）A.若，則B.C.若，則D.若，則為奇數的概率為【答案】ABD【解析】對于A選項，若，則，，所以，故A正確；對于B選項，由，得，所以，故B正確；對于C選項，若則，所以，因為，所以，所以，即，所以，即，故C錯誤；對于D選項，若則，所以，所以為奇數的概率為，故D正確.故選：ABD.11.已知事件，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，則A正確；，則B錯誤；，故C錯誤；，則D正確.故選：AD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】【解析】.故答案為:.13.的展開式中的系數為__________（用數字作答）【答案】【解析】由題可知，所以展開式的通項公式為，所以的展開式中的項為，的展開式中的項為，所以的展開式中的系數為.故答案為：.14.在一定的環境下，某種食品的保質期為正整數，根據統計數據，它近似滿足以下規律：對任意正整數，保質期恰好為的該食品在所有保質期不小于的該食品中的占比為.記該食品的保質期為為事件，該食品的保質期不小于為事件：則______，______.【答案】0.9；【解析】設食品總數為，保質期為年的食品數為，由題意，，則，即①；②；②①得，則,即得，因,則數列是首項為,公比為的等比數列，則.又由可得，，即，，于是，故.故答案為：；.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知展開式的二項式系數和為64.（1）若，求的值；（2）證明：為正整數.解：（1）因展開式的二項式系數和為，解得，，在中，取，得；（2）為整數.16.已知甲箱中有2個白球和4個紅球，乙箱中有4個白球和2個紅球.質點從原點出發，每次等可能的向左或向右移動一個單位，記事件“質點移動6次，最終在2的位置”.（1）求事件發生的概率；（2）若事件發生，從甲箱中取一球，否則從乙箱中取一球.求取出的球是紅球的概率.解：（1）要使質點移動次，最終在的位置，則需質點向左移動次，向右移動次，所以或；（2）設取出的球是紅球為事件，則，又有題知：，，故根據全概率公式得.17.某固態電池密度（單位）區間為，假設每塊電池電容量相等，為測試電池性能，隨機抽取60塊電池進行密度測試，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計這60塊電池密度的平均值（同一組中數據用該組區間的中點值代表）.（2）研發小組測試這60塊電池快速充電時間（電量30%到），將結果整理如下：充電時間能量密度小于不小于小于8不小于12根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為此固態電池能量密度與充電快慢有關？（3）根據大量測試數據，該款固態電池能量密度近似服從正態分布，用（1）中求得的樣本平均數作為的近似值，現任取一塊固態電池，求它能量密度大于的概率（精確到小數點后兩位數）.附：①參考公式：，其中.下表是獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值.0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828②當時，，解：（1）由頻率分布直方圖，估計這60塊電池密度的平均值為：；（2）根據題意補充列聯表，如下：充電時間能量密度總計小于不小于小于82432不小于161228總計243660零假設為：此固態電池能量密度與充電快慢無關，由表中數據，計算，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷零假設不成立，即能認為此固態電池能量密度與充電快慢有關，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05；（3）因為近似服從正態分布,，，則，所以現任取一塊固態電池，它能量密度大于的概率為0.16．18.肥胖不僅影響形體美，而且給生活帶來不便，此外還有關節軟組織損傷?心臟病?糖尿病?脂肪肝?痛風等危害.小王通過運動和節食進行減肥，并將時間x（單位：周）和體重（單位：）記錄制作如下統計表：12346890.187.687.286.284.284.3（1）若和滿足經驗回歸模型，求；（2）求該模型的決定系數,并判斷該經驗回歸方程是否有價值(認為有價值)；（3）當某組數據殘差的絕對值不超過0.3時，稱該組數據為“身材有效管理數據”，現從這六組數據中任意抽取兩組，設抽取的“身材有效管理數據”的個數為，求的分布列和期望.附：經驗回歸方程中，，參考數據：.解：（1）設則，因，則，又且經驗回歸直線過點，故得，，（2）由（1），12346890.187.687.286.284.284.3908886.88684.8840.010.160.160.040.360.0912.2510.360.165.765.29則，因,則該經驗回歸方程有價值；（3）經計算，這六組數據中，殘差的絕對值不超過0.3的有三組，分別是第一組、第四組和第八組，故從這六組數據中任意抽取兩組,的可能值有，于是，,則的分布列為：012故數學期望為.19.已知獎箱共張獎券，其中一等獎張，其余都是二、三等獎.（1）不放回的每次抽取一張，求第二次抽到一等獎的概率；（2）若，且二、三等獎個數比例為.（i）不放回的每次抽取一張，抽完為止.求一等獎最先全部抽出的概率.（ii）游戲規定：初始分為0分，每次從獎箱中有放回的抽取一張，取到一等獎得1分,取到非一等獎得分，分數為2分時或-2分時結束.求游戲結束時，