高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省德州市2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上.第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.設是可導函數，且，則（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】由題得，所以，故選：A2.記為等差數列的前n項和，若，，則數列的公差為（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】設數列的公差為，由，，得，解得故選：D.3.設是定義在上的奇函數，其導函數為，當時，圖象如圖所示，且在處取得極大值，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由圖可得：時，，單調遞增，則，所以，時，，單調遞減，則，所以，因為是定義在上的奇函數，所以當時，，單調遞減，則，所以，時，，單調遞增，則，所以，綜上：的解集為；故選：A4.等比數列的各項均為正實數，其前n項和為，已知，，則（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由是正項的等比數列,,所以，則，故或（舍去）所以，故，故選：C5.已知定義在上的函數的導函數為，，且對任意的滿足，則不等式的解集是（）A. B. C.0,+∞ D.1,+∞【答案】B【解析】令，則，所以在上單調遞減，因為，所以，不等式可變形為，即，可得，故選：B.6.已知等差數列an，bn的前n項和分別為，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又.故選：B.7.如圖，將一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形ABCD的梁，設，且梁的抗彎強度,則當梁的抗彎強度最大時,的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，即，令，，則，，則有，，解得或（舍），所以當時，，所以函數，在單調遞增，所以當時，，所以函數，在單調遞減，所以當，函數取得最大值，所以當梁的抗彎強度最大時，的值為.故選：C8.已知無窮數列滿足：如果，那么，且，，，是與的等比中項.若的前n項和存在最大值，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由，是與的等比中項，得，所以，若，由及題意可知：，，則，因此數列的項依次為：，所以數列是以為周期的數列，所以，數列單調遞增，無最大項，因此數列的前項和無最大值；若，同理可知數列的項依次是：，數列是以為周期的數列，且，即數列為以為周期的數列，且，所以.綜上.故選：C.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，由，e2為常數，所以，故選項A正確；對于B，由，為常數，所以，故選項B不正確；對于C，由，根據復合函數求導法則，，故選項C正確；對于D，由，根據復合函數求導法則，，故選項D正確.故選：ACD.10.已知正項數列an滿足，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則或C.若，則D.若，則前100項中，值為1和2的項數相同【答案】BC【解析】對于A，若，可得，，，，故A錯誤；對于B，若，可得，或，解得，或，滿足條件，故B正確；對于C，若，則，，，，，，，，，則，故C正確；對于D，若，則，，，，，，，，，，，則前100項中值為1的項數有47項，值為2的項數有48項，所以值為1和2的項數不同相同，故D不正確；故選;BC11.設函數，函數有三個零點，且滿足，則下列結論正確的是（）A.恒成立 B.實數m的取值范圍是C.函數的單調減區間 D.若，則【答案】BCD【解析】當時，，令，解得.當時，f'x>0，當時，f'x<0，單調遞減，所以在時取得極大值，極大值為.當時，，令，解得.當時，f'x<0，當時，f'x>0，所以在時取得極小值，極小值.如圖，對于B，如圖，函數有三個零點，實數m的在極大值和極小值之間，即取值范圍是，故B正確；對于A，如圖2，函數有三個零點，，則，故A錯誤；對于C，函數的單調減區間即為的單調減區間，在區間，上單調遞減，.當時，由洛必達法則，，所以時，，所以的單調減區間為，即的單調減區間為，故C正確；對于D，若，如圖2，在上單調遞減，在上遞增，則由正實數，且，，得，當時，令，，即在上遞減，于是有，即，，又，，從而有，在上遞增，所以，所以，故D正確.故選：BCD第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知是的極小值點，那么函數的極大值為______.【答案】【解析】因為，由題意可得，（2），故，，當或時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，故當時，函數取得極大值．故答案為：18．13.等比數列的公比為，其前項和記為，，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】因為，即，所以，所以，所以，因為an是公比為的等比數列，所以，解得，故.故答案為：.14.為提升同學們的科創意識，學校成立社團專門研究密碼問題，社團活動室用一把密碼鎖，密碼一周一換，密碼均為的小數點后前6位數字，設定的規則為：①周一至周日中最大的日期為x，如周一為3月28日，周日為4月3日，則取周四的3月31日的31作為x，即；②若x為偶數，則在正偶數數列中依次插入數值為的項得到新數列，即，，，，，，10，12，14，…；若x為奇數，則在正奇數數列中依次插入數值為的項得到新數列，即1，，3，，5，7，，9，11，13，…；③N為數列的前x項和，如，則9項分別為1，，3，，5，7，，9，11，故，因為，所以密碼為142857.若周一為4月22日，則周一到周日密碼為____________.【答案】428571【解析】因為周一為4月22日，則周日日期為4月28日，所以為偶數，所以數列為，，，，，，10，12，14，…所以數列的前項和；設為首項，公差的等差數列，，前項和為設為首項，公差的等比數列，，前項和為因為，，，所以數列的前項中有數列中的前項，與數列中的前項，所以，所以，所以，若周一為4月22日，則周一到周日的密碼為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知函數.（1）當時，求函數的單調區間；（2）若函數為定義域上的單調函數，求a的值和此時在點處的切線方程.解：（1）當時，（）則，所以，；，；，，所以的單調增區間為和，單調減區間為；（2）由，由函數為單調函數，所以，所以，此時，，故，所以此時的切線方程為.16.已知公差不為零的等差數列，，和的等比中項與和的等比中項相等.（1）若數列滿足，求數列的前n項和；（2）若數列滿足，（），求數列的通項公式.解：（1）設數列的公差為d（），與的等比中項與與的等比中項相等，即：，所以，又知，解得：，，所以，，，所以；（2），由累乘法可得：，即，故數列的通項公式：.17.某工廠生產某產品的固定成本為萬元，每生產萬箱，需另投入成本萬元，當產量不足萬箱時，；當產量不小于萬箱時，，若每箱產品的售價為200元，通過市場分析，該廠生產的產品可以全部銷售完.（1）求銷售利潤（萬元）關于產量（萬箱）的函數關系式；（2）當產量為多少萬箱時，該廠在生產中所獲得利潤最大？解：（1）由題意可知，銷售收入為萬元，當產量不足萬箱，即時，.當產量不小于萬箱，即時，.綜上可得.（2）設，當時，，則當時，當時，可知在上單調遞增，在上單調遞減.則，當時，由基本不等式可知，當且僅當，即時取等號.又，所以當產量為萬箱時，所獲利潤最大值為萬元.18.已知函數和數列，函數在點處的切線的斜率記為，且已知.（1）若數列滿足：，求數列的通項公式；（2）在（1）的條件下，若數列滿足，，是否存在正整數n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，請說明理由.解：（1）函數，由，得，所以，即：，因為，則，所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列，所以.（2）由（1）知，，由，得，即，所以，因為，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列.所以，所以，設，則，所以，兩式相減，得，所以，由，得，即，設（），則g2=0，因為，所以數列單調遞減，所以只有唯一解，所以存在唯一正整數，使得成立.19.若函數在上有定義,且對于任意不同的,都有，則稱為上的“類函數”.（1）若，判斷是否為1,2上的“2類函數”；（2）若，為1,2上的“2類函數”，求實數a的取值范圍.解：（1）對于任意不同的，設，則，，所以，所以不是1,2上