高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省部分學(xué)校2025屆高三第六次學(xué)業(yè)水平聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】由，所以.故選：C.2.已知集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】有或，所以，，由有，所以，即.故選：A.3.已知的面積為4，在平面內(nèi)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)的，則的面積為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】如圖所示，將在平面內(nèi)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)的，可得，且與的高相等，所以.故選：B.4.已知圓與圓有條公切線，圓覆蓋圓，，則圓面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)圓的方程有：，圓圓心，半徑，因?yàn)閮蓤A有條公切線，所以圓、相外切，所以兩圓圓心距，即，解得，因?yàn)閳A覆蓋圓，，所以圓半徑的最小值為，所以圓面積的最小值為.故選：A5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?故選：D6.已知直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)由對(duì)稱性有，由，所以，所以，所以.故選：C.7.若方程的非整數(shù)根是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則圖象的對(duì)稱中心為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由有，得或（舍去），所以，即，所以，所以，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，，故選：B.8.若定義在上的函數(shù)，，，，可以作為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，則稱是上的“三角形函數(shù)”．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的“三角形函數(shù)”，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，，又，，故，由題意得，即，解得.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖是年月日國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的年月到年月的各月累計(jì)營(yíng)業(yè)收入與利潤(rùn)總額同比增速的折線圖，則（）A.累計(jì)營(yíng)業(yè)收入同比增速的方差大于累計(jì)利潤(rùn)總額同比增速的方差B.累計(jì)利潤(rùn)總額同比增速的極差為C.累計(jì)營(yíng)業(yè)收入同比增速的眾數(shù)為D.累計(jì)利潤(rùn)總額同比增速的分位數(shù)為【答案】BCD【解析】A.根據(jù)折線圖得，累計(jì)利潤(rùn)總額同比增速的折線圖波動(dòng)程度明顯大于累計(jì)營(yíng)業(yè)收入同比增速的折線圖波動(dòng)程度，故累計(jì)營(yíng)業(yè)收入同比增速的方差小于累計(jì)利潤(rùn)總額同比增速的方差，A錯(cuò)誤.B.累計(jì)利潤(rùn)總額同比增速的最大值為，最小值為，故極差為，B正確.C.觀察累計(jì)營(yíng)業(yè)收入同比增速的數(shù)據(jù)，出現(xiàn)了次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故累計(jì)營(yíng)業(yè)收入同比增速的眾數(shù)為，C正確.D.將累計(jì)利潤(rùn)總額同比增速的數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋撸嗬塾?jì)利潤(rùn)總額同比增速的分位數(shù)為，D正確.故選：BCD.10.在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.平面平面B.若四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為C.當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，異面直線與所成角的取值范圍是D.當(dāng)直線與直線所成的角是時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋置妫妫裕郑妫裕B接，同理可證，又，面，所以面，又面，所以平面平面，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為，則,設(shè)四面體的外接球球心，半徑為，由，得到，解得，則，則球的表面積為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，因?yàn)椋郑O(shè)異面直線與所成的角為，則，又，則，所以，又，所以，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，易知，設(shè)，則，又，則，整理得到，其軌跡為平面上，以為圓心，為半徑的圓，又是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD11.已知互不相等的正實(shí)數(shù)，，，，是，，，的任意順序的一個(gè)排列，定義隨機(jī)變量，滿足則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】依題意，，，的全排列有種，因?yàn)殡S機(jī)變量，滿足，所以當(dāng)或時(shí)，，；當(dāng)或時(shí)，，；當(dāng)或時(shí)，，；又當(dāng)或時(shí)，，，即滿足的排列有，，，，，，，共種；所以，故A正確，B錯(cuò)誤；同理當(dāng)或時(shí)，，，滿足，即；當(dāng)或時(shí)，，，滿足，即；綜上可得，故C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)時(shí)，所以滿足，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】由.故答案為：.13.“曼哈頓距離”是一種在幾何空間中用于衡量?jī)牲c(diǎn)之間距離的方式，如在維空間中，設(shè)點(diǎn)，，則“曼哈頓距離”表示為．若橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線交于另一點(diǎn)，則，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”______；若將在軸上方的部分沿軸翻折得到一個(gè)直二面角，則在空間直角坐標(biāo)系中，______．【答案】①.②.【解析】根據(jù)題干，上頂點(diǎn)，根據(jù)直線的截距式方程可得直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y整理得：，解得或，當(dāng)時(shí)，（對(duì)應(yīng)點(diǎn)B），當(dāng)時(shí)，，所以，根據(jù)“曼哈頓距離”，即可求出，將在軸上方的部分沿軸翻折得到一個(gè)直二面角，則在空間直角坐標(biāo)系中，得到，,故，故答案為：；14.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，取得最值，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】4【解析】當(dāng)時(shí)，取得最值，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，設(shè)的最小正周期為，則，解得，故，解得，又，故，又，所以，①，，②聯(lián)立①②得，，故，，則，故或0或或，解得或或或，故在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故答案為：4四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，是否存在實(shí)數(shù)，使得有兩個(gè)解？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由題意可知，數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，即，故的通項(xiàng)公式為（2），則.又的對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞增，故不存在實(shí)數(shù)，使得有兩個(gè)解.16.新高考模式的選科是按物理類與歷史類兩大塊組合進(jìn)行，即物理與歷史必選一科，再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、地理、政治四個(gè)學(xué)科中任選兩科，加上語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)組成一種組合，簡(jiǎn)稱“物理類”與“歷史類”．為了解選科組合是否與性別有關(guān)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了100名學(xué)生，進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：性別選科組合合計(jì)物理類歷史類男生40女生30合計(jì)已知在這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到選物理類學(xué)生的概率為0.6．（1）完成表中數(shù)據(jù)，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷選科組合是否與性別有關(guān)；（2）從上述選物理類的學(xué)生中利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取4人調(diào)查其選物理類的原因．（ⅰ）用表示這4人中男生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）已知這4人中有女生的條件下，求男生、女生人數(shù)不相等的概率．附：，其中．0.10.050.0052.7063.8417.879解：（1）由題可得選物理類學(xué)生為，可得列聯(lián)表：性別選科組合合計(jì)物理類歷史類男生401050女生203050合計(jì)6040100零假設(shè)：：選科組合是否與性別無(wú)關(guān)，由列聯(lián)表可得，根據(jù)小概率值0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為選科組合與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005；（2）（ⅰ）物理類男生應(yīng)抽取人數(shù)為：人，物理類女生應(yīng)抽取人數(shù)為：人，所以隨機(jī)變量的可能性為：.所以,所以的分布列為：234，（ⅱ）令事件為“這4人中有女生”，令事件為“男生、女生人數(shù)不相等”，則有,所以,所以在有女生的條件下，男生、女生人數(shù)不相等的概率為.17.如圖，已知正方形與矩形所在平面互相垂直，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．（1）若平面，求的值；（2）求三棱錐的體積；（3）當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）設(shè)，分別連接，因?yàn)檎叫危詾榈闹悬c(diǎn)，又因?yàn)槠矫妫移矫妫矫嫫矫妫裕诰匦沃校瑸榈闹悬c(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，所以，當(dāng)平面時(shí)，則.（2）因?yàn)樗倪呅螢榫匦危傻茫遥忠驗(yàn)槠矫嫫矫妫移矫妫矫嫫矫妫云矫妫吹狡矫娴木嚯x為，因?yàn)椋移矫妫矫妫云矫妫忠驗(yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以到平面的距離等于到平面的距離為，即三棱錐的高為1因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，可得，所以三棱錐的體積.（3）由（2）知：平面，且，所以平面，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因，則，，可得，解得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率為，上的點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求的方程；（2）設(shè)直線與相交于不同的兩點(diǎn)，．（ⅰ）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線的斜率為，證明：為定值；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的值．解：（1）依題意得，解得，所以橢圓的方程為；（2）（ⅰ）由得.因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即（*），設(shè)，，,則，所以，故，因此為定值，（ⅱ）因此，化簡(jiǎn)可得，即，解得，均滿足（*），故19.“拉格朗日中值定理”是法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日在其著作《解析函數(shù)論》中給出的，其內(nèi)容為若函數(shù)滿足如下條件：①在區(qū)間上的圖象是連續(xù)的；②在區(qū)間上可導(dǎo)，則在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立．已知函數(shù)．（1），且，若恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在區(qū)間，使？若存在，寫出證明過(guò)程；若不存在，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且，證明：．（1）解：由題意，對(duì)于任意，有，等價(jià)于.根據(jù)拉格朗日中值定理，存在使得.因此，要求對(duì)所有成立.整理得.設(shè)函數(shù)gx=-e在內(nèi),單調(diào)遞增，在內(nèi),單調(diào)遞減..故；（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù).驗(yàn)證是否存在區(qū)間（）使得f(a)+f(b)2>fa+b方法一：不等式f(a)+f(b)2>fa+b由拉格朗日中值定理，可知存在，使得，因此只需保證f's>f'(t)由于函數(shù)，在時(shí)大于零，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,所以只需要即可，因此存在這樣的區(qū)間.方法二：f(a)+f(b)2>fa+b2等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間當(dāng)（即）時(shí)，f'x'=ex-2>0，在為凸函數(shù)；當(dāng)為凹函數(shù).在凹區(qū)間（如）取，則；在凸區(qū)間（如）取，則f(a)+f(b)2>fa+b因此存在這樣的區(qū)間.（3）證明：由于，設(shè)，，令得