投影變換2.3.1投影變換的目的和方法2.3.2換面法以及用換面法求解度量和定位問題示例2.2.3以投影面垂直線為軸的旋轉法簡介2.3.1投影變換的目的和方法2.3.1.1投影變換的目的為了求解方便和作圖簡捷，求解幾何元素對投影面不處于特殊位置的度量和定位問題時，常常使幾何元素之間的相對位置保持不變，而改變其中的某些元素與投影面的相對位置，成為有利于解題的特殊位置，然后用改變成新位置后的特殊位置解題，這種方法稱為投影變換。當點、直線、平面等幾何元素對投影面處于某些特殊位置時，它們的投影圖能直接反映一些它們之間的度量關系、或定位問題，也就可以較簡捷地求解它們之間的度量和相對位置。2.3.1.2兩種常用的投影變換方法圖2.138兩種常用的投影變換方法(a)換面法(b)旋轉法保持幾何元素的位置不動，更換一個投影面，使幾何元素在新投影面體系中處于有利于解題的位置，這樣的方法稱為換面法。保持投影面的位置不動，使幾何元素繞同一條投影面垂直線旋轉同一個角度，使幾何元素旋轉到有利于解題的位置，這樣的方法稱為旋轉法。2.3.1.3在投影圖中直接反映點、直線、平面的度量或便于定位的特殊情況圖2.139在投影圖中直接反映點、直線、平面的度量或便于定位的特殊情況（1）(a)兩點間的距離，直線的真長(b)點與直線的距離(一)(c)點與直線的距離(二)(d)兩平行直線的距離(一)(e)兩平行直線的距離(二)(g)兩交叉直線的距離(二)(h)點與平面的距離(i)平行的直線和平面的距離圖2.139在投影圖中直接反映點、直線、平面的度量或便于定位的特殊情況（2）(f)兩交叉直線的距離(一)(j)兩平行平面的距離(m)兩交叉直線的夾角(n)直線與平面的夾角(o)兩相交平面的夾角圖2.139在投影圖中直接反映點、直線、平面的度量或便于定位的特殊情況（3）(k)平面圖形的真形(l)兩相交直線的夾角2.3.2換面法以及用換面法解定位及度量問題示例2.3.2.1換面法的原理和基本作圖(1)換面時必須保留原投影面體系中的一個投影面，新投影面垂直于保留的投影面。(2)新投影面應選擇在使選定的幾何元素處于便利解題的位置。如一次換面不能解決問題，可連續換面兩次，必要時，也可進行更多次換面。(3)必須充分理解和熟練掌握換面法的基本作圖，也就是理解和熟練掌握點的投影變換的作圖法。用換面法解題時必須遵循下述的規定：保留H面、更換V面，形成H、V1新投影面體系的基本作圖：①按實際需要確定投影軸，由點的原有投影作垂直于新投影軸的投影連線。②在這條投影連線上，從新投影軸向新投影面一側，量取點的被更換的投影軸到被更換的投影之間的距離，就得到該點的新投影。圖2.140作點的V1面投影(a)立體圖(b)投影圖圖2.141作點的H1面投影(a)立體圖(b)投影圖保留V面、更換H面，形成H1、V新投影面體系的基本作圖：圖2.142點的兩次換面(a)立體圖(b)投影圖用換面法進行兩次換面的基本作圖：2.3.2.2用換面法解題的六個基本情況圖2.143將一般位置直線變換成V1面平行線(a)立體圖(b)投影圖(1)一次換面可將一般位置直線變換為投影面平行線，新投影軸應平行于直線的原有投影。圖2.144將V面平行線變換成H1面垂直線(a)立體圖(b)投影圖(2)一次換面可將投影面平行線變換成另一投影面的垂直線。新投影軸應垂直于直線所保留的反映真長的投影。圖2.145將一般位置直線變換成投影面垂直線(3)兩次換面可將一般位置直線變換成投影面垂直線。先將一般位置直線變換成投影面平行線，再將投影面平行線變換成投影面垂直線。圖2.146將一般位置平面變換成V1面垂直面(a)立體圖(b)投影圖(4)一次換面可將一般位置平面變換成投影面垂直面。新投影軸應與平面上平行于原有投影面的直線的原有投影相垂直。圖2.147將V面垂直面變換成H1面平行面(5)一次換面可將投影面垂直面變換成投影面平行面。新投影軸應平行于這個平面的有積聚性的原有投影。圖2.148將一般位置平面變換成H2面平行面(6)兩次換面可將一般位置平面變換為投影面平行面，先將一般位置平面變換成投影面垂直面，再將投影面垂直面變換成投影面平行面。[例題2.33]已知直線AB的正面投影a′b′和點A的水平投影a，并知點B在點A的前方，AB與V面的傾角為30，用換面法補全AB的水平投影ab。圖2.149按給定條件補全AB的水平投影ab［解］①在適當位置作O1X1∥a′b′。②由a′、a作出a1。由a1按a′b′的方向作與O1X1軸成30°的直線；由b′作O1X1的垂線，與上述直線交得b1。分析：將AB線變換成H1面平行線，則可反映AB與V面的傾角。③將H1、V新投影面體系中的點B返回H、V原投影面體系，即由新投影b1反求被更換的投影b。2.3.2.3用換面法求解定位和度量問題示例[例題2.34]如圖所示，已知在V、W兩面體系中的側垂的三角形ABC，用換面法作出它的真形。圖2.150作出三角形ABC的真形［解］①在適當位置作O1Z1∥a″b″c″。②分別由a″、b″、c″和a′、b′、c′作出a1′、b1′、c1′，將a1′、b1′、c1′連成三角形，即為三角形ABC的真形。[例題2.35]如圖所示，已知由四個梯形平面所構成的料斗的兩面投影，求料斗相鄰兩平面之間的夾角的真實大小。圖2.151作料斗相鄰壁面間夾角的真實大小［解］①在適當位置作O1X1∥cd。將CD變換為新投影面體系中的平行線。②進行第二次換面。同時處于H2面垂直面位置的后壁面和右壁面的有積聚性的H2面投影，它們之間的夾角，就是兩相鄰壁面的夾角。分析：將兩個相鄰平面用變換成同時垂直于同一投影面，也就是將這兩個平面的交線變換成投影面垂直線。[例題2.36]如圖所示，已知一般位置的三角形ABC的兩面投影，用換面法求作它的真形，并作出它的外接圓圓心E的兩面投影。圖2.152作三角形的真形和外接圓圓心的投影［解］②將V1面垂直面變換為H2面平行面而作出真形。①將一般位置的三角形ABC變換為V1面垂直面。③在反映三角形ABC真形的H2面投影中作出外接圓圓心E的投影e2，然后再逐步作出點E的其它投影。2.3.3以投影面垂直線為軸的旋轉法簡介（2）應使幾何元素能旋轉到有利于解題的位置來選擇旋轉軸。如一次旋轉不能解決問題，可以再繞垂直于另一投影面的旋轉軸旋轉。在旋轉法中也有與換面法相類似的六個基本情況。2.3.3.1旋轉的原理和基本作圖（1）旋轉軸必須垂直投影面中任一個，所有幾何元素都繞旋轉軸按同一方向旋轉同一個角度。這樣就不會改變所有幾何元素彼此間的相對位置。用旋轉法解題時必須遵循下述的規定：圖2.153只繞鉛垂線旋轉示例(a)立體圖(b)投影圖在H、V兩面體系中，將A點繞鉛垂直線BD旋轉。①在旋轉軸垂直的投影面中，以旋轉軸的有積聚性的投影為圓心，過點的原投影作圓弧，將原投影轉到選定的新位置處，得新投影。②在另一投影面中，過點的原投影作投影軸的平行線，然后由旋轉軸垂直的投影面上的新投影作投影連線，交得該點的另一新投影。用旋轉法進行點的旋轉的基本作圖：過空間點繞旋轉軸作圓弧。①在旋轉軸垂直的投影面中投影：以旋轉軸的有積聚性的投影為圓心，過點的原投影作圓弧。②在另一投影面中，過點的原投影作投影軸的平行線。圖2.154只繞正垂線旋轉的投影圖示例①在旋轉軸垂直的投影面中，以旋轉軸的有積聚性的投影為圓心，過點的原投影作圓弧，將原投影轉到選定的新位置處，得新投影。②在另一投影面中，過點的原投影作投影軸的平行線，然后由旋轉軸垂直的投影面上的新投影作投影連線，交得該點的另一新投影。用旋轉法解題時，通常只要畫出旋轉軸的有積聚性的投影以及點的旋轉過程，不畫出旋轉軸的另一投影。在H、V兩面體系中，將A點繞正垂線旋轉。用旋轉法進行點的旋轉的基本作圖：(a)立體圖(b)投影圖2.3.3.2用一次旋轉解題