PAGEPAGE2第6節離散型隨機變量的分布列及均值與方差課時作業基礎對點練(時間：30分鐘)1．設隨機變量ξ的分布列為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＜ξ＜\f(7,10)))等于()(A)eq\f(3,5) (B)eq\f(4,5)(C)eq\f(2,5) (D)eq\f(1,5)C解析：由已知，分布列為ξ12345Pa2345由分布列的性質可得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝eq\f(1,15).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＜ξ＜\f(7,10)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(2,5).故選C.2．已知離散型隨機變量ξ的分布列為ξa23Pb2b2b且ξ的數學期望為E(ξ)＝eq\f(11,5)，則∫eq\o\al(10b,)aeq\f(1,x)dx＝()(A)1＋ln2 (B)1(C)－1＋ln2 (D)ln2D解析：∵E(ξ)＝eq\f(11,5)，∴ab＋4ab＋6ab＝11ab＝eq\f(11,5)，∴ab＝eq\f(1,5).又b＋2b＋2b＝5b＝1，即b＝eq\f(1,5)，∴a＝1，則∫eq\o\al(10b,a)eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(2,1)＝ln2－ln1＝ln2.3．隨機變量X的分布列為X－101Pabc其中a，b，c成等差數列，若E(X)＝eq\f(1,3)，則D(X)的值是()(A)eq\f(1,3) (B)eq\f(4,9)(C)eq\f(5,9) (D)eq\f(2,3)C解析：∵a，b，c成等差數列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，且E(X)＝－1×a＋1×c＝c－a＝eq\f(1,3)，聯立三式得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2).∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).4．一個人將編號為1,2,3,4的四個小球隨機放入編號為1,2,3,4的四個盒子中，每個盒子放一個小球，球的編號與盒子的編號相同時叫作放對了，否則叫作放錯了．設放對的個數為ξ，則ξ的期望值為()(A)12 (B)23(C)1 (D)2C解析：將四個小球放入四個盒子，每個盒子放一個小球，共有Aeq\o\al(4,4)種不同放法，放對的個數ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ＝0)＝eq\f(9,A\o\al(4,4))＝eq\f(3,8)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)×2,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，所以E(ξ)＝0×eq\f(3,8)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,24)＝1，故選C.5．將一個各面都涂有油漆的正方體，切割成1000個同樣大小的小正方體．經過攪拌后，從中隨機取出一個小正方體，記它的涂油漆面數為X，則X的數學期望E(X)＝()(A)eq\f(27,125) (B)eq\f(6,5)(C)eq\f(51,125) (D)eq\f(3,5)D解析：由題意知，X全部可能取值為0,1,2,3.①8個頂點處的8個小正方體涂有3面，∴P(X＝3)＝eq\f(8,1000)；②每一條棱上除了兩個頂點處的小正方體，還剩下8個，一共有8×12＝96個小正方體涂有2面，∴P(X＝2)＝eq\f(96,1000)；③每個表面去掉四條棱上的36個小正方形，還剩下64個小正方形，因此一共有64×6＝384個小正方體涂有1面，∴P(X＝1)＝eq\f(384,1000).綜上，還剩下1000－(8＋96＋384)＝512個內部的小正方體的6個面都沒有涂油漆，∴P(X＝0)＝eq\f(512,1000).故X的分布列為X0123Peq\f(512,1000)eq\f(384,1000)eq\f(96,1000)eq\f(8,1000)∴E(X)＝0×eq\f(512,1000)＋1×eq\f(384,1000)＋2×eq\f(96,1000)＋3×eq\f(8,1000)＝eq\f(3,5).故選D.6．一個袋中有4個紅球，3個黑球，小明從袋中隨機取球，設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球，則小明得分大于6分的概率是()(A)eq\f(13,35) (B)eq\f(14,35)(C)eq\f(18,35) (D)eq\f(22,35)A解析：記X得分為X，則X＝5,6,7,8.P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)；P(X＝8)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35).所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).7．在15個村莊中有7個村莊交通不便利，現從中隨意選10個村莊，用ξ表示這10個村莊中交通不便利的村莊數，下列概率等于eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是()(A)P(ξ＝2) (B)P(ξ≤2)(C)P(ξ＝4) (D)P(ξ≤4)C解析：15個村莊中有7個村莊交通不便利，8個村莊交通便利，Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(6,8)表示選出的10個村莊中恰有4個交通不便利，6個交通便利，故P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15)).8．已知離散型隨機變量X的分布列如下：X012P0.51－2qq2則常數q＝________.答案：1－eq\f(\r(2),2)9．隨機變量ξ的取值為0,1,2，若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________.解析：設ξ＝1時的概率為p，則E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×p＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－p－\f(1,5)))＝1，解得p＝eq\f(3,5)，故D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)10．在心理學探討中，常采納對比試驗的方法評價不同心理示意對人的影響，詳細方法如下：將參與試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理示意，另一組接受乙種心理示意，通過對比這兩組志愿者接受心理示意后的結果來評價兩種心理示意的作用．現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理示意，另5人接受乙種心理示意．(1)求接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.解析：(1)記接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事務為M，則P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由題意知X可取的值為：0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42).因此X的分布列為X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)X的數學期望是EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0＋1×eq\f(5,21)＋2×eq\f(10,21)＋3×eq\f(5,21)＋4×eq\f(1,42)＝2.實力提升練(時間：15分鐘)11．50個乒乓球中，合格品45個，次品5個，從這50個乒乓球中任取3個，出現次品的概率是()(A)eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,50)) (B)eq\f(C\o\al(1,5)＋C\o\al(2,5)＋C\o\al(3,5),C\o\al(3,50))(C)1－eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50)) (D)eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,45),C\o\al(3,50))C解析：出現次品，可以是一個、兩個或是三個，與其對立的是都是合格品，都是合格品的概率是eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50))，故有次品的概率是1－eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50)).12．(2024衡水模擬)若ξ～B(n，p)且Eξ＝6，Dξ＝3，則P(ξ＝1)的值為()(A)3·2－2 (B)3·2－10(C)2－4 (D)2－8B解析：Eξ＝np＝6，Dξ＝np(1－p)＝3?p＝eq\f(1,2)，n＝12，p(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))12＝eq\f(3,210).故選B.13．m是從集合{－1,0,1,2,3}中隨機抽取的一個元素，記隨機變量ξ＝cos(m·eq\f(π,3))，則ξ的數學期望E(ξ)＝________.解析：ξ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m·\f(π,3)))的取值是eq\f(1,2)時，概率為eq\f(2,5)；取值是1時，概率為eq\f(1,5)；取值是－eq\f(1,2)時，概率為eq\f(1,5)；取值是－1時，概率為eq\f(1,5).所以E(ξ)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－1))＝eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)14．有10件產品，其中3件是次品，從中任取2件，若X表示取到次品的件數，則E(X)＝________.解析：由題意知，從10件產品中任取2件，一共有Ceq\o\al(2,10)＝45種選法，對于X的取值有0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＝eq\f(21,45)＝eq\f(7,15)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,7)·C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，∴E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)15．一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數：f1(x)＝x3，f2(x)＝5|x|，f3(x)＝2，f4(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，f5(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，f6(x)＝xcosx.(1)從中隨意取2張卡片，求至少有一張卡片寫著的函數為奇函數的概率．(2)在(1)的條件下，求兩張卡片上寫著的函數相加得到的新函數為奇函數的概率．(3)現從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數的卡片，則停止抽取，否則接著進行，求抽取次數ξ的分布列和數學期望．解：(1)f1(x)＝x3為奇函數；f2(x)＝5|x|為偶函數；f3(x)＝2為偶函數；f4(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)為奇函數；f5(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))為偶函數；f6(x)＝xcosx為奇函數．全部的基本領件包括兩類：一類為兩張卡片上寫的函數均為奇函數；另一類為兩張卡片上寫的函數為一個是奇函數，一個是偶函數，故基本領件總數為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3).故所求概率為P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(4,5).(2)P＝eq\f(\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6)),\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,6)))＝eq\f(1,4).(3)ξ可取1,2,3,4，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))·eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,4))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20).故ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,20)＝eq