PAGEPAGE1小題必刷卷(六)解三角形考查范圍:第22講~第23講題組一刷真題角度1正弦定理1.[2024·全國卷Ⅰ]△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,則C= ()A.π12 B.C.π4 D.2.[2024·全國卷Ⅲ]在△ABC中,B=π4,BC邊上的高等于13BC,則sinA= (A.310 B.C.55 D.3.[2024·全國卷Ⅱ]△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,則b=角度2余弦定理4.[2024·全國卷Ⅰ]△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,則b= (A.2 B.3C.2 D.35.[2024·全國卷Ⅱ]在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,則AB= (A.42 B.30C.29 D.256.[2024·山東卷]△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA),則A= ()A.3π4 B.C.π4 D.7.[2013·全國卷Ⅰ]已知銳角△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b= ()A.10 B.9C.8 D.58.[2024·北京卷]在△ABC中,∠A=2π3,a=3c,則bc=角度3三角形的面積9.[2024·全國卷Ⅲ]△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為a2+b2-cA.π2 B.C.π4 D.10.[2013·全國卷Ⅱ]△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,則△ABC的面積為 (A.23+2 B.3+1C.23-2 D.3-111.[2024·全國卷Ⅰ]△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為.

12.[2024·北京卷]若△ABC的面積為34(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=;ca的取值范圍是角度4正、余弦定理綜合應用13.[2024·浙江卷]在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,則sinB=,c=.

14.[2024·上海卷]已知△ABC的三邊長分別為3,5,7,則該三角形的外接圓半徑等于.圖X6-115.[2014·全國卷Ⅰ]如圖X6-1,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=60°,C點的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,則山高MN=m.

題組二刷模擬16.[2024·浙江紹興3月模擬]在△ABC中,內角C為鈍角,sinC=35,AC=5,AB=35,則BC= (A.2 B.3 C.5 D.1017.[2024·新疆維吾爾自治區二模]在△ABC中,“A>60°”是“sinA>32”的 (A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件18.[2024·北京朝陽區二模]在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=1,A=π6,B=π4,則c= (A.6+22 B.6-22 C19.[2024·成都七中月考]在△ABC中,角B為3π4,BC邊上的高恰為BC邊長的一半,則cosA= (A.255 B.55 C.2320.[2024·廣東茂名二模]在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcosC+c=2a,且b=13,c=3,則a= ()A.1 B.6 C.22 D.421.[2024·合肥三模]△ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若sin(C-A)=12sinB,且b=4,則c2-a2= (A.10 B.8 C.7 D.422.[2024·山東濰坊二模]在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,且2sinC-sinBsinB=acosA.π6 B.π4 C.π3 23.[2024·云南保山二模]在△ABC中,若3(CA·AB+CB·AB)=2|AB|2,則tanA+1tanB的最小值為 (A.5 B.25 C.6 D.624.[2024·廣東江門一模]已知平面四邊形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD,∠BCD=90°,則四邊形ABCD面積的最大值為 ()A.6 B.2+23 C.2+22 D.425.[2024·廣西欽州三模]△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=52b,A=2B,則cosB=圖X6-226.[2024·東北三省四市二模]如圖X6-2,測量河對岸的塔高AB時,可以選與塔底B在同一水平面內的兩個觀測點C,D,測得∠BCD=15°,∠CBD=30°,CD=102m,并在C處測得塔頂A的仰角為45°,則塔高AB=m.

27.[2024·昆明二模]在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若cosC=14,c=3,且acosA=bcosB,28.[2024·馬鞍山二模]在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若cos2A+3cosA=1,b=5,△ABC的面積S=53,則△ABC的周長為.

29.[2024·江西上饒二模]在銳角三角形ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b2=a(a+c),則ca的取值范圍是

小題必刷卷(六)1.B[解析]因為sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC=(sinA+cosA)sinC=0,所以sinA=-cosA,得A=34π.又由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC2.D[解析]作AD⊥BC交BC于點D,設BC=3,則有AD=BD=1,AB=2,由余弦定理得AC=5.由正弦定理得5sinπ4=3sinA,解得sin3.2113[解析]因為cosA=45,cosC=513,且A,C為三角形內角,所以sinA=35,sinC=1213,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365,又因為asinA=4.D[解析]由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×23,解得b=3或b=-13(舍去),故選5.A[解析]由已知得cosC=2cos2C2-1=2×552-1=-35,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC=25+1-2×5×1×-35=32,所以AB=6.C[解析]∵b=c,a2=2b2(1-sinA),∴2b2sinA=b2+c2-a2=2bccosA=2b2cosA,∴tanA=1,即A=π47.D[解析]由23cos2A+cos2A=0,得25cos2A=1.因為△ABC為銳角三角形,所以cosA=15.在△ABC中,依據余弦定理,得49=b2+36-12b×15,即b2-125b-13=0,解得b=5或-1358.1[解析]由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得,3c2=b2+c2-2bccos2π3,整理得bc2+bc-2=0,解得bc=1或bc=-2(9.C[解析]由三角形的面積公式可得,a2+b2-c24=12absinC,由余弦定理得a2+b2-c22ab10.B[解析]bsinB=csinC?c=22.又A+B+C=π,∴A=712π,∴△ABC的面積為12×2×22×sin7π12=2211.233[解析]由b2+c2-a2=8得2bccosA=8,可知A為銳角,且bccosA=4.由已知及正弦定理得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,因為sinB≠0,sinC≠0,所以可得sinA=12,所以A=30°,所以bccos30°=4,即bc=833,所以△ABC的面積S=12bcsinA=1212.π3(2,+∞)[解析]由正弦定理得S△ABC=12acsinB=34(a2+c2-b2),即sinB=3cosB,∵∠B為三角形的內角,∴∠B=π3.由正弦定理得ca=sinCsinA=sin(2π3-A)sinA=32·1tanA+12,又∵∠C為鈍角,∴π13.2173[解析]由正弦定理asinA=bsinB,得sinB=37=217.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-14.733[解析]利用余弦定理可求得最大邊7所對角的余弦值為32+52-722×3×5=-12,所以此角的正弦值為32.15.150[解析]在Rt△ABC中,BC=100(m),∠CAB=45°,所以AC=1002(m).在△MAC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°,由正弦定理有AMsin∠MCA=ACsin∠AMC,即AM=sin60°sin45°×1002=1003(m),于是在Rt△AMN中,有MN=sin60°×16.A[解析]因為C為鈍角,sinC=35,所以cosC=-45,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC,即45=25+BC2-2×5×BC×-45,解得BC=2(舍去BC=-10)17.B[解析]由“A>60°”不肯定推出“sinA>32”,如A=135°>60°,但sin135°<sin120°=32,反之,若sinA>32,則有A>60°.18.A[解析]在△ABC中,a=1,A=π6,B=π4,由正弦定理可得b=asinBsinA=2.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=32,可得c2-6c+1=0,所以c=6+19.A[解析]作AH⊥BC,垂足H在CB的延長線上,易知△AHB為等腰直角三角形,設BC=2a,則AB=2a,AH=a,CH=3a,由勾股定理得AC=10a,由余弦定理得cosA=2a2+10a2-420.D[解析]因為2bcosC+c=2a,由正弦定理可得2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,所以sinC=2cosBsinC,因為sinC≠0,所以cosB=12,又0<B<π,所以B=π3.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,又因為b=13,c=3,所以a2-3a-4=0,可得a=4(負值舍去).故選21.B[解析]sin(C-A)=12sinB=12sin(A+C),即2sinCcosA-2cosCsinA=sinAcosC+cosAsinC,即sinCcosA=3sinAcosC,由正弦定理和余弦定理得c·b2+c2-a22bc=3a·a2+b2-c22ab,即b2+c2-a2=3a2+3b2-3c2,即4c2-4a222.C[解析]利用正、余弦定理將已知等式化為2c-bb=a·a2+c2-b22acb·b2+c2-a22bc,23.B[解的]設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則有3(CA·AB+CB·AB)=3(-bccosA+accosB)=2c2,由正弦定理得sinAcosB=5cosAsinB,所以tanA=5tanB,則tanA+1tanB=5tanB+1tanB≥25,當且僅當tanB=55時,24.C[解析]如圖,設∠DAB=θ,BC=CD=x,則BD=2x.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosθ,即(2x)2=4+4-8cosθ=8-8cosθ,所以x2=4-4cosθ.所以四邊形ABCD的面積S=12×22×sinθ+12x2=2sinθ+(2-2cosθ)=22sinθ-π4+2,因為0<θ<π,所以-π4<θ-π4<3π4,所以當θ-π4=π2,即θ=3π4時,S有最大值,且Smax=225.54[解析]因為△ABC中,a=52b,A=2B,依據正弦定理,得sinA=52sinB,又sinA=sin2B=2sinBcosB,所以cos26.20[解析]D=180°-15°-30°=135°,在△BCD中,BCsinD=CDsin∠CBD,即BCsin135°=102sin30°,得BC=102sin135°sin30°=20(m),因為△27.3154[解析]由題意得sinAcosA=sinBcosB,即tanA=tanB,所以A=B,即a=b,由余弦定理得c2=2a2-2a2cosC=32a2=9,得a=6(負值舍去),易得sinC=154,所以S△28.9+21[解析]由cos2A+3cosA=1,得2cos2A+3cosA-2=0,解得cosA=12或cosA=-2(舍去),所以sinA=32,又因為S=53,b=5,所以12bcsinA=12×