高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，，而，所以.故選：A.2.已知，那么使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，解得，即命題，對(duì)于A，是成立的充要條件，A不是；對(duì)于B，是成立的必要不充分條件，B不是；對(duì)于C，是成立的充分不必要條件，C是；對(duì)于D，是成立的不充分不必要條件，D不是.故選：C.3.若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，所以.故選：B.4.已知平面向量，且，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】向量，則，由，得，所以.故選：A.5.聲音的強(qiáng)弱可以用聲波的能流密度來計(jì)算，叫做聲強(qiáng).通常人耳能聽到聲音的最小聲強(qiáng)為（瓦/平方米）.在某特殊介質(zhì)的實(shí)驗(yàn)中對(duì)于一個(gè)聲音的聲強(qiáng)，用聲強(qiáng)與比值的常用對(duì)數(shù)來表示聲強(qiáng)的“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)”，即，則“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)7”的聲強(qiáng)是“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)5”的聲強(qiáng)的（）A20倍 B.倍 C.10倍 D.100倍【答案】D【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)7”的聲強(qiáng)是“聲強(qiáng)級(jí)數(shù)5”的聲強(qiáng)的100倍.故選：D.6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)中，，即，解得，函數(shù)定義域?yàn)椋瘮?shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，選項(xiàng)AC不滿足；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)D不滿足，B符合題意.故選：B.7.已知函數(shù)，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】依題意，，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)在上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，于函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式，則，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故選：C.8.設(shè)函數(shù)且關(guān)于方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為方程，即的兩個(gè)根，則，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，作出函數(shù)的圖象，觀察圖象知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根，由，得，，而當(dāng)或時(shí)，，因此，所以的取值范圍是.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7B.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件C.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為18D.若事件相互獨(dú)立，，則【答案】BC【解析】對(duì)于A，數(shù)據(jù)由小到大排列：，眾數(shù)為9，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連續(xù)射擊三次，事件“至少兩次中靶”包括兩次中靶和三次中靶；事件“至多有一次中靶”包括沒有中靶和中靶一次，它們不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，因此事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件，B正確；對(duì)于C，數(shù)據(jù)的方差為2，數(shù)據(jù)的方差為，C正確；對(duì)于D，事件相互獨(dú)立，，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.B.的值域?yàn)镃.是上的增函數(shù)D.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，，則，函數(shù)的值域?yàn)椋珺錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此是上的增函數(shù)，C正確；對(duì)于D，，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D正確.故選：ACD.11.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最小值4，故A正確；對(duì)于B，由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋裕裕裕?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取到最小值，故C正確；對(duì)于D，，由A選項(xiàng)可知，由函數(shù)在上單調(diào)遞減可知，，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式的解集為__________.【答案】【解析】不等式化為：，即，則，解得，所以原不等式的解集為.13.如圖，在中，已知是線段與的交點(diǎn)，若，則的值為__________.【答案】【解析】設(shè)，由得，故，由得，故，由于三點(diǎn)共線，故，則，又，故，所以.14.若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為奇函數(shù)；②；③對(duì)任意的，且，都有，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】因?qū)θ我獾模遥加校瑒t在上單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)及，所以，則為偶函數(shù)，且，故在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，則，當(dāng)時(shí)，，得，解得或，故；當(dāng)時(shí)，，即，得或，解得或，綜上，不等式的解集為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知冪函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值，并寫出的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；（2）若，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，故，解得或；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋瑵M足，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋瘮?shù)非奇非偶函數(shù)，不符題意；故，，其單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）由（1）知為偶函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.由于，故，即且，解得或，即的取值范圍為.16.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值（保留兩位小數(shù)）以及估計(jì)該地區(qū)月均用水量的分位數(shù)；（2）現(xiàn)在該地區(qū)居民中任選2位居民，將月均用水量落入各組的頻率視為概率，不同居民的月均用水量相互獨(dú)立，求恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù)的概率；（3）現(xiàn)有4位居民甲、乙、丙、丁，經(jīng)調(diào)查，甲和乙月均用水量大于分位數(shù)，丙和丁月均用水量不大于分位數(shù)，現(xiàn)從該4人中隨機(jī)選2人，求所選2人中恰有1人月均用水量大于分位數(shù)的概率.解：（1）由頻率分布直方圖，得，解得；數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為，數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率和為，則用水量的分位數(shù)，由，解得，所以，估計(jì)該地區(qū)月均用水量的分位數(shù)為.（2）設(shè)事件表示第位居民月均用水量大于分位數(shù)，，事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù)，，因此，所以所求概率為.（3）試驗(yàn)的樣本空間(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6個(gè)樣本點(diǎn)，事件表示所選2人中恰有1人月均用水量大于分位數(shù)，則(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以.17.已知函數(shù).（1）求關(guān)于的一元二次不等式的解集；（2）若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）不等式，，當(dāng)時(shí)，，原不等式無解；當(dāng)或時(shí)，，原不等式解為；當(dāng)或時(shí)，，由，解得，不等式的解為，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，原不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由，使得成立，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù).（1）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；（2）若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.（i）求實(shí)數(shù)的值；（ii）若是的零點(diǎn)，滿足，求的值.解：（1）由題意，，得，所以曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（2）（i）由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，需且，即，解得.（ii）由（i）得，因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，得；由，得，令，則，得，即.即都是方程的解，即都是函數(shù)的零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞增，且，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故，即，所以.19.已知函數(shù)滿足為圖象上不同的兩點(diǎn).（1）求函數(shù)；（2）若函數(shù)的