高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省大連市三校聯(lián)考2025屆高三下學(xué)期模擬考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋忠驗(yàn)榧希瑒t.故選：B.2.復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B.3.有四張卡片，每張卡片的一面上寫著英文字母，則另外一面上寫著數(shù)字.現(xiàn)在規(guī)定：當(dāng)牌的一面寫著數(shù)字7時，另外一面必須寫著字母.你的任務(wù)是：為了檢驗(yàn)下面4張卡牌是否有違反規(guī)定的寫法，你需要翻看哪些牌？（）A.①② B.②③ C.②④ D.④③【答案】B【解析】根據(jù)題意可知：數(shù)字7后面一定是字母H，H后面可以不是數(shù)字7，即M后面是數(shù)字7就違反規(guī)則，所以只用看7和M，其他卡牌無此顧慮.故選：B.4.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】正實(shí)數(shù)滿足，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，設(shè)則，代入整理可得，解得或，因，故，故當(dāng)時，取得最小值為2.故選：B.5.某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步恰好走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，共種走法，若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，共，所以第二步走兩級臺階的概率為.故選：C6.墻上掛著一幅高為1m的畫，畫的上端到地面的距離為2m，某攝像機(jī)在地面上拍攝這幅畫．將畫上端一點(diǎn)A、下端一點(diǎn)B與攝像機(jī)連線的夾角稱為視角（點(diǎn)A，B與攝像機(jī)在同一豎直平面內(nèi)），且把最大的視角稱為最佳視角．若墻與地面垂直且攝像機(jī)高度忽略不計(jì)，則當(dāng)攝像機(jī)在地面上任意移動時，最佳視角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示：最佳視角,且當(dāng)最大時，最大，且最大，又，又設(shè)所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時解得：故選：A.7.已知點(diǎn)M是橢圓上一點(diǎn)，，分別是C的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)N在的平分線上，O為原點(diǎn)，，，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，延長ON交于A，如圖所示.由題意知，O為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A為中點(diǎn).又，點(diǎn)N在的平分線上，∴，∴是等腰三角形，∴，則，所以.又，所以.又在中，由余弦定理得，即，即，化簡得：.又，所以，所以，即故選：B.8.，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】將不等式變形可得，即，構(gòu)造函數(shù)，可得，令，則，所以當(dāng)時，，即上單調(diào)遞減，當(dāng)當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性并根據(jù)可得，則有，又，即可得，即對恒成立，因此即可，令，，則，顯然當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，因此正實(shí)數(shù)的最大值是.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，若及其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D.的最大值為【答案】AB【解析】因?yàn)椋裕鶕?jù)圖象可知，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，故，從而．又，所以，由得，故，．選項(xiàng)A：的最小正周期為，故，A正確．選項(xiàng)B：令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，B正確．選項(xiàng)C：由于，，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C錯誤．選項(xiàng)D：，其中為銳角，且，（輔助角公式的應(yīng)用）,所以的最大值為，D錯誤．故選：AB10.已知正四棱錐的棱長均為2，下列說法正確的是（）A.平面與平面夾角的正弦值為B.若點(diǎn)滿足，則的最小值為C.在四棱錐內(nèi)部有一個可任意轉(zhuǎn)動的正方體，則該正方體表面積的最大值為D.點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)軌跡的長度為【答案】BCD【解析】如圖，對于A，∵正四棱錐的棱長為2，∴正四棱錐的高為，設(shè)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，得，，則平面與平面的夾角為，則，故A錯誤；對于B，∵，，根據(jù)空間向量基本定理可得點(diǎn)P在平面MAD上，∴當(dāng)平面時，最小，此時根據(jù)等體積法可求出，即可求得，即的最小值為，故B正確；對于C，設(shè)正方體的棱長為，則正方體的體積為，正方體可以在正四棱錐內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動，所以正方體對角線的長度不超過該正四棱錐內(nèi)切球的直徑，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，正四棱錐的體積為，根據(jù)另一個體積公式，可得，∴正方體對角線，，∴正方體表面積，故C正確；對于D，如圖，以A為原點(diǎn)，，所在直線為，軸，過點(diǎn)A向上作垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，∵，∴，即，化簡整理可得，∴點(diǎn)的軌跡是在平面ABCD內(nèi)以為圓心，半徑為的圓在四邊形ABCD內(nèi)的部分（圓弧）如圖，由于，則點(diǎn)Q的軌跡長度為，故D正確.故選：BCD.11.設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，，因?yàn)椋鶕?jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，所以，所以，故A正確；對于B，，所以，，，所以，故B正確；對于C，，，所以，累乘可得：，所以，所以，故C錯誤；對于D，因?yàn)椋裕裕裕瑪?shù)列的前項(xiàng)和為，所以，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)，寫出一個使得不等式成立的自然數(shù)的值__________.【答案】3或4（寫對一個即可）【解析】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得，則，不等式可化為，解得，所以符合條件的自然數(shù)可以是3或4.故答案為：3或4（寫對一個即可）13.點(diǎn)為圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)，則向量在方向上的投影數(shù)量的最大值為__________.【答案】2【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為圓上的一個動點(diǎn)，所以設(shè)點(diǎn)，則,又，所以，，所以在方向上的投影數(shù)量為，又，所以在方向上的投影數(shù)量的取值范圍為，即在方向上的投影數(shù)量的最大值為.故答案：.14.記表示三個數(shù)中的最大數(shù)．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的最小值為______．【答案】【解析】若函數(shù)的值域?yàn)椋洠瑒t，故，由，得，且，所以，又，所以，故.則由且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.的最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點(diǎn)是棱上靠近端的三等分點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，點(diǎn)是棱上靠近端的三等分點(diǎn)則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得，則，又，可得，因?yàn)槠矫妫云矫?（2）解：易知，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，由（1）知，平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.16.為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.年齡次數(shù)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010（1）若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；（2）從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求ξ的分布列與期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都進(jìn)行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運(yùn)動項(xiàng)目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運(yùn)動項(xiàng)目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)：體育鍛煉頻率的高低與年齡無關(guān)，由題得列聯(lián)表如下：青年中年合計(jì)體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計(jì)200200400，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷不成立，即認(rèn)為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，所以，，，所以的分布列：：012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，星期天選擇跑步為事件，則，，所以所以小明星期天選擇跑步的概率為.17.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線在處的切線垂直于直線，對任意恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值；（3）若為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：．解：（1），定義域?yàn)椋裕?dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由，得；由，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）因?yàn)椋€在處的切線垂直于直線，則在處的切線的斜率為，即，解得：，則.對任意恒成立，即對任意，即對任意恒成立，令，，令，得，當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；，，則實(shí)數(shù)b的最大值．（3）函數(shù)，因?yàn)闉楹瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，所以，要證明不等式：成立，只需證，令，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即，所以，當(dāng)時，因?yàn)椋裕?dāng)時，因?yàn)椋裕裕C成立，只需證，即證對成立．令，因?yàn)椋?dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，即時，成立．綜上所述，原不等式成立．18.如圖，直線與直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，和點(diǎn)（在軸同側(cè)），線段與交于點(diǎn).當(dāng)經(jīng)過的焦點(diǎn)時兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積等于（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）線段與交于點(diǎn)，線段與的中點(diǎn)分別為①求證：三點(diǎn)共線；②若，求四邊形面積.解：（1）因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)為，則，即，所以直線，代入拋物線方程可得：，即，則，由題意，解得，所以所求拋物線方程為.（2）①證明：設(shè).若，則直線斜率不存在，由對稱性，可知均在軸上，則三點(diǎn)共線；若，則直線斜率存在，直線方程為：，結(jié)合，則，同理可得方程：方程：，方程：.設(shè)，因，則.則直線與軸平行，設(shè)直線與線段交點(diǎn)為.將代入直線方程，則；將代入直線方程，則.注意到，又，則兩點(diǎn)重合，即為線段與交點(diǎn)，且點(diǎn)三點(diǎn)共線；②由（2），直線與軸平行，則.又，同理可得，又由（2），則，由，則，即.則如圖，過作平行線，交為，則四邊形為平行四邊形，結(jié)合，則.因，則，結(jié)合，則，又M為中點(diǎn)，則E為NC中點(diǎn).則，則四邊形的面積19.已知是無窮數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，對于，給出下列三個條件：①；②；③；（1）若，對任意的，數(shù)列是否恒滿足條件②，并說明理由；（2）若，數(shù)列同時滿足條件①②，且