高級中學名校試題PAGEPAGE1江西省鷹潭市2025屆高三下學期一模數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案的序號填涂在答題卡上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則.故選：C.2.已知i是虛數單位，復數滿足，那么的虛部是（）A B. C. D.【答案】A【解析】，故的虛部是.故選：A3.已知向量，，若且，則實數（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】由題意可得，，由，則，可得，解得，當時，，；當時，，.故選：B.4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得：，又，所以，所以，所以，故選：A5.已知直線：和：相交于點，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，則，由，則直線過定點，由，則直線過定點，易知動點的軌跡為為直徑的圓，圓心，半徑，由題意易知直線的斜率存在，則交點不能是，則動點的軌跡方程為.故選：C.6.已知，隨機變量，若，則的值為（）A.81 B.242 C.243 D.80【答案】B【解析】因為隨機變量，則，，因為，則，，所以，，解得，令，所以，，故.故選：B.7.過橢圓上的點作圓的兩條切線，切點分別為，.若直線在軸，軸上的截距分別為，，若，則橢圓離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，則，即，又，令坐標原點為，，因為切圓于，所以，則，所以，同理可得，因此直線的方程為，則，因此，即，所以橢圓離心率.故選：C.8.數列滿足，，給出下列四個結論：①存在正整數，且，使得；②存在，使得，，成等比數列；③存在常數，使得對任意，都有，，成等差數列；④其中所有證確結論的是（）A.②③ B.③④ C.①②④ D.①③④【答案】D【解析】對于①，由題意知數列中的項：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，可得，故①正確；對于②，若存在，使得，，成等比數列，則，又，即，解得，由，，得，且為整數，所以，這與相鄰兩項為整數矛盾，故②錯誤；對于③，因為，，，所以，所以，則，，成等差數列，故存在常數，使得對任意，都有，，成等差數列，故③正確；對于④，因為，則，則，故④正確；故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知變量和變量的一組成對樣本數據的散點落在一條直線附近，，，相關系數為，線性回歸方程為，則（）參考公式：，A.當時，成對樣本數據成線性正相關；B.當越大時，成對樣本數據的線性相關程度越強；C.，時，成對樣本數據的相關系數滿足；D.，時，成對樣本數據的線性回歸方程滿足；【答案】ACD【解析】對于A，當時，成對樣本數據成線性正相關，A正確；對于B，當越大時，成對樣本數據的線性相關程度越強；當，時，對應的樣本數據的線性相關程度更強，B錯誤；對于C，當，時，不變且，，C正確；對于D，當，時，不變且，，D正確.故選：ACD.10.正方體的棱長為2，，分別為棱，的中點，為正方形邊上的動點（不與重合）.為平面內一動點，則下列說法中正確的是（）A.存在點，使得直線與平面垂直B.平面把正方體分割成的兩個幾何體的體積相等C.的取值范圍為；D.若動點滿足，當三棱錐的體積取最大值時，該三棱錐外接球的表面積為.【答案】BD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，對于A，，，，即與不垂直，而平面，因此直線與平面不垂直，A錯誤；對于B，線段的中點為正方體的中心，平面過該正方體的中心，由對稱性，平面把正方體分割成的兩個幾何體的體積相等，B正確；對于C，設點為體對角線的中點，，最小為1，，C錯誤；對于D，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設，由可知，，整理為，所以點的軌跡是平面內，以為圓心，為半徑的圓，如圖，點到平面的最大值為4，此時點在的延長線上，且，所以三棱錐的外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積，D正確.故選：BD.11.數學中有許多寓意美好的曲線，曲線：被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示），是上在第一象限內的一點.給出的下列三個結論中，正確結論的選項是（）A.曲線上任意一點到原點的距離都不超過2；B.曲線經過5個整點（即橫縱坐標均為整數的點）；C.存在一個以原點為中心、邊長為的正方形，使曲線在此正方形區域內（含邊界）.D.的最大值為【答案】AD【解析】對于A，不妨設點為曲線：上的任一點，則，化簡得，當且僅當時取等號，于是，即得，故可得曲線上任意一點到原點的距離都不超過2，故A正確；對于B，由A可知，，當時，代入成立，故經過點，當時，不成立，當時，不成立，當時，不成立，當時，不成立，當時，不成立，故曲線經過1個整點，故B錯誤；對于C，由A選項可知，包含該曲線且以原點為圓心的最小圓的半徑為2，邊長為正方形是以原點為圓心2為半徑的圓的內接正方形，故不存在一個以原點為中心、邊長為的正方形，使曲線在此正方形區域內（含邊界），故C錯誤.對于D，如圖，點在射線的上方，則可設，，，代入，得，.令，則，所以，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以是的最大值點，即，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則___________.【答案】9【解析】根據題意，故答案為：913.若正實數，滿足條件：（是自然對數的底數），則的最大值是______.【答案】【解析】構造函數，求在處的切線方程，，此時切線斜率為，切線方程為：，即，畫出圖象，所以由可得：，所以，即，當且僅當時取等號，所以的最大值是，故答案為：14.如圖：在中，，，三點分別在邊，，上，則，，的外接圓交于一點，稱點為密克點.運用上述結論解決如下問題：在梯形中，，，，為邊的中點，動點在邊上，與的外接圓交于點（異于點），則的最小值為______.【答案】【解析】延長，交于點，則由題可知為正三角形，為正三角形，由題設結論，，的外接圓有唯一公共點，該公共點即為題中的點，故點在的外接圓上，如上圖，又由題可知，即為的外心，且外接圓半徑為2，，在中，由余弦定理，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數（是自然對數的底數），為的導函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若函數，求函數在上的極值.解：（1）易知，令，解得，，又，所以的解集為（2）由題可知，當時，，當時，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減，所以函數的極大值為函數的極小值為.16.如圖，在三棱柱中，，，（1）求證：；（2）側棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.（1）證明：在三棱柱中，取的中點，連接，，在與中，，由，同理，，由平面；（2）解：在中，，，則，在中，，，，同理，在等腰，，，在中，由余弦定理得：，即，在平面內過作，則平面，于是直線，，兩兩垂直，以原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，在平面內過作于，則平面，則，，，，則，，設平面的法向量為，則，取平面的一個法向量，設，，則，由與平面所成角的正弦值為，得，整理得，解得或（舍），即在靠近的三等分點處.17.預防接種是預防掌握傳染病最經濟、最有效的手段，是預防疾病傳播和保護群眾的重要措施.為了考查一種新疫苗預防某一疾病的效果，研究人員對一地區某種動物（數量較大）進行試驗，從該試驗群中隨機抽查了50只，得到如下的樣本數據（單位；只）：發病沒發病合計接種疫苗71825沒接種疫苗19625合計262450（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為接種該疫苗與預防該疾病有關？（2）從該地區此動物群中任取一只，記表示此動物發病，表示此動物沒發病，表示此動物接種疫苗，定義事件的優勢，在事件發生的條件下的優勢，利用抽樣的樣本數據，求的估計值.（3）若把表中的頻率視作概率，現從該地區沒發病的動物中抽取3只動物，記抽取的3只動物中接種疫苗的只數為，求隨機變量的分布列、數學期望.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）根據列聯表可得，所以，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為接種該疫苗與預防該疾病有關.（2）由于.所以，，,由列聯表中的數據可得，，所以.（3）由題可知，抽取的24只沒發病的動物中接種疫苗和沒接種疫苗的動物分別為18人和6人，所以從沒發病的動物中隨機抽取1只，抽取的是接種了疫苗的概率為，則由題意可知，且，，，，，所以隨機變量的分布列為0123所以隨機變量的數學期望為.18.已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸的正半軸上，過焦點作直線交拋物線于，兩點，且.（1）求拋物線的標準方程；（2）如圖，過拋物線上的三個不同點，，（在，之間），作拋物線的三條切線，分別兩兩相交于點，，.是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）當點的橫坐標為4時，以為直角頂點，作拋物線的兩個內接及（拋物線的內接三角形是指三角形的三個頂點都在拋物線上），求線段，的交點坐標.解：（1）設拋物線的標準方程為，直線的方程為，聯立，消去，得，設，，則，，所以，解得或（舍去），所以拋物線的標準方程為（2）存在常數1，使得，理由如下，設，，，，則在點處的坐切線方程為，即，在點處的坐切線方程為，即，由，解得，所以，同理可得，，，，，，所以，可得，所以存在，使得（3）（解法一）因為、是拋物線的兩個內接三角形，所以直線，，，的斜率存在且不為0，當點的橫坐標為4時，代入得，所以.設，，，，由為直角頂點，設，則，直線的方程為，與聯立得，則，，，可得，同理可得，所以直線的方程為整理得，即，設，則，同理可得，，所以直線的方程為，由得，所以，的交點坐標為.（解法二）當點的橫坐標為4時，代入得，即設，，直線的方程為，聯立得，即，所以直線的方程為可化為，即直線恒過定點，同理直線也過定點，所以的交點坐標為.19.設為正數，若以為首項的等比數列滿足：，，也構成等比數列，則稱為所對應的一個型數列.（1）若型數列存在并且唯一，求的值；（2）若，，其中，是一個型數列.（i）求的值；（ii）令，，探究，，之間的關系，并求的值.解：（1）設數列的